第3章函数的概念与性质单元测试试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质单元测试 高一数学第三章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（　　） A．A＝B＝Z，对应关系 B．A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝R，对应关系f：x→y＝±x C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2 D．A＝B＝R，对应关系 2．若幂函数的图像过点（2，），则它的单调递增区间为是（ ） A.(0，+∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞) 3．已知为奇函数，当时，，则在上（ ） A.单调递增，最小值为 B.单调递增，最大值为 C.单调递减，最小值为 D.单调递减，最大值为 4.设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x3+x，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A．﹣x3+x B．﹣x3﹣x C．x3﹣x D．x3+x 5.已知定义在R上的函数f（x）为增函数，则关于m的不等式f（2m+1）＞f（m+2）的解集是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 6.函数的单调增区间为（　　） A． B． C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣3] 7.定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意的x1，x2∈[3，+∞）（x1≠x2），都有， 若f（m﹣1）＜f（2），则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，3） B．（3，+∞） C．（3，5） D．（﹣∞，3）∪（5，+∞） 8.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为偶函数．当x≤2时，f（x）＝2f（x﹣1），且当x∈（﹣1， 0]时，f（x）＝（x+1）x．对∀x∈[m，+∞），都有，则m的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A.或 B.一定为奇函数 C.一定为减函数 D.的图象必过点 10.已知函数，则下列结论正确的是（） A.若，则 B.若为上的增函数，则的值可以为 C.当时，函数的单调递增区间为和 D.若的值域为，则的取值范围为 11.已知函数的定义域为，对任意实数满足：.当时，，则下列选项正确的是（ ） A. B.函数为奇函数 C.为上的减函数 D.对，恒有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.给出下列4个函数：①y＝3﹣x；②y＝x2+2x；③；④y＝|x|﹣1．其中值域为[﹣1，+∞）的函 数有　 　（写出所有正确的序号） 13.若函数y＝f（x+1）的定义域是[0，3]，则函数的定义域是 　． 14.已知f（x）＝|x|•x满足f（kx2+1）≥f（kx）恒成立，则k的取值范围是　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数． （1）证明函数f（x）为偶函数； （2）用定义法证明函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递增； （3）求函数f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值和最小值． 16．（15分）已知函数()在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）若存在,使对任意的都成立，求实数的取值范围. 17．（15分）某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量为：. 单株施用肥料及其他成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为(单位：元). （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18．（17分）已知二次函数满足且. （1）求函数在区间上的值域； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求的最大值（用含的表达式表示）. 19．（17分）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且当时，. （1）证明：当时，； （2）判断函数的单调性并加以证明； （3）如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念与性质单元测试 高一数学第三章 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（　　） A．A＝B＝Z，对应关系 B．A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝R，对应关系f：x→y＝±x C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2 D．A＝B＝R，对应关系 解：A：因为集合A是整数集合，其中奇数除以2的结果不是整数，y不是x的函数； B：显然2∈A，此时y＝±2，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数； C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义，y是x的函数； D：因为0∈A，但是没有意义，y不是x的函数．故选：C． 2．若幂函数的图像过点（2，），则它的单调递增区间为是（ ） A.(0，+∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，0) D.(－∞，＋∞) 解：设幂函数解析式为y=，将点（2，）代入得：=，解得：=-2<0，则它的单调递增区间为(－∞，0).故选：C. 3．已知为奇函数，当时，，则在上（ ） A.单调递增，最小值为 B.单调递增，最大值为 C.单调递减，最小值为 D.单调递减，最大值为 解：，图象为开口向下，对称轴为的抛物线，所以时在上单调递减，最大值为.因为为奇函数图象关于原点对称，所以函数在也单调递减，最小值为. 故选：C. 4.设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x3+x，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A．﹣x3+x B．﹣x3﹣x C．x3﹣x D．x3+x 解：根据题意，f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）＝x3+x， 则当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）3+（﹣x）]＝x3+x．故选：D． 5.已知定义在R上的函数f（x）为增函数，则关于m的不等式f（2m+1）＞f（m+2）的解集是（　　） A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 解：因为函数f（x）为定义在R上的增函数，且f（2m+1）＞f（m+2）， 所以2m+1＞m+2，解得m＞1，故m的范围为（1，+∞）．故选：A． 6.函数的单调增区间为（　　） A． B． C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣3] 解：由x2+3x≥0，得x≤﹣3或x≥0，令t＝x2+3x，其对称轴方程为x，图象是开口向上的抛物线， 函数t＝x2+3x的增区间为[0，+∞），而函数y是定义域内的增函数，∴函数的单调增区间为[0，+∞）．故选：C． 7.定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x），且对任意的x1，x2∈[3，+∞）（x1≠x2），都有， 若f（m﹣1）＜f（2），则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，3） B．（3，+∞） C．（3，5） D．（﹣∞，3）∪（5，+∞） 解：定义在R上的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（3+x）， 且对任意的x1，x2∈[3，+∞）（x1≠x2），都有， 所以函数f（x）的图象关于直线x＝3对称，f（x）在[3，+∞）上单调递增， 若f（m﹣1）＜f（2），则|m﹣1﹣3|＜|2﹣3|，解得3＜m＜5，即m的取值范围是（3，5）． 故选：C． 8.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为偶函数．当x≤2时，f（x）＝2f（x﹣1），且当x∈（﹣1， 0]时，f（x）＝（x+1）x．对∀x∈[m，+∞），都有，则m的最小值为（　　） A． B． C． D． 解：因为定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）为偶函数， 所以函数f（x）关于x＝2对称，因为当x∈（﹣1，0]时，f（x）＝（x+1）x， 当x≤2时，f（x）＝2f（x﹣1）， 所以当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0]，则f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）x， 当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，则f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣1）， 当x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，则f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣3）（x﹣2）， 当x∈（3，4]时，x﹣1∈（2，3]，则， 如图，画出函数图象： 当x∈（2，3]时，令，解得或， 对∀x∈[m，+∞），都有，结合图象，得，所以m的最小值为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，则下列说法正确的有（ ） A.或 B.一定为奇函数 C.一定为减函数 D.的图象必过点 解：根据幂函数的定义可得或，故A正确；当或时，或都为奇函数，故B正确；当时，是增函数，当时，是减函数，故C错误；因为对任意都有，所以幂函数的图象均经过点，故D正确.故选ABD. 10.已知函数，则下列结论正确的是（） A.若，则 B.若为上的增函数，则的值可以为 C.当时，函数的单调递增区间为和 D.若的值域为，则的取值范围为 解：因为函数， 对于选项：可得，则，解得，故正确； 对于选项：若在R上单调递增，则，解得，显然，故错误； 对于选项：若，则函数 当时，令，解得，且在内单调递增； 当时，则，且在内单调递增； 则函数的定义域为，且在定义域内单调递增，所以函数的单调递增区间为和，故正确； 对于选项：若的值域为，则，得在上单调递增. 当时，则在上单调递增，可得，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则，可得恒成立，符合题意. 综上所述：的取值范围为，正确.故选：. 11.已知函数的定义域为，对任意实数满足：.当时，，则下列选项正确的是（ ） A. B.函数为奇函数 C.为上的减函数 D.对，恒有 解：对于：令，则，选项正确； 对于：令，则，则，所以， 所以，所以不为奇函数，故错误； 对于：，，则，则， 因为，所以，又时，，所以，所以， 所以为上的减函数，故正确； 对于：由选项的计算可知，且由选项为R上的减函数，因为， 所以，故错误.故选：. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.给出下列4个函数：①y＝3﹣x；②y＝x2+2x；③；④y＝|x|﹣1．其中值域为[﹣1，+∞）的函 数有　 　（写出所有正确的序号） 解：由一次函数的性质可知①的值域为R； 由二次函数的性质可知y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1≥﹣1，即其值域为[﹣1，+∞）； 由反比例函数的性质可知③的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）； 由分段函数的性质及绝对值的意义可知y＝|x|﹣1≥﹣1，即其值域为[﹣1，+∞）． 综上可知：②④正确．故答案为：②④． 13.若函数y＝f（x+1）的定义域是[0，3]，则函数的定义域是 　． 解：由题意可得，0≤x≤3，则1≤x+1≤4，故f（x）的定义域为[1，4]， 要使函数有意义，则，解得1≤x＜3，故g（x）的定义域为[1，3）． 故答案为：[1，3）． 14.已知f（x）＝|x|•x满足f（kx2+1）≥f（kx）恒成立，则k的取值范围是　 　． 解：因为f（x）＝|x|•x定义域为R，又f（﹣x）＝|﹣x|•（﹣x）＝﹣|x|•x＝﹣f（x）， 所以f（x）＝|x|•x为奇函数， 又当x≥0时，f（x）＝x2，则f（x）在[0，+∞）上单调递增， 则f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，又f（x）为连续函数， 所以f（x）在R上单调递增， 因为f（kx2+1）≥f（kx）恒成立，所以kx2+1≥kx恒成立， 即kx2﹣kx+1≥0恒成立， 当k＝0时，1≥0恒成立，所以k＝0符合题意； 当k≠0时，则，解得：0＜k≤4， 综上可得k的取值范围是[0，4]． 故答案为：[0，4]． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数． （1）证明函数f（x）为偶函数； （2）用定义法证明函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递增； （3）求函数f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值和最小值． 解：（1）证明：因为f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称， 且f（﹣x）f（x）， 所以该函数为偶函数； （2）证明：不妨取x1，x2∈（﹣∞，0]，令x1＜x2，所以x1+x2＜0，x2﹣x1＞0， 则f（x1）﹣f（x2）0， 则f（x1）＜f（x2），即f（x）在（﹣∞，0]上单调递增； （3）解：因为f（x）是定义域上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减， 所以f（x）在[﹣3，0]上单调递增，在（0，2]上单调递减， 又f（0）＝1＞f（2）f（﹣3）， 所以f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值是1，最小值是． 16．（15分）已知函数()在区间上有最大值4和最小值1. （1）求的值； （2）若存在,使对任意的都成立，求实数的取值范围. 解：（1）由，且，可知的图象开口向上， 且其图象的对称轴为直线，则在上单调递增， 则 （2）由(1)得，因为存在，使对任意的都成立，所以. 由(1)可知在上单调递增，则，可得， 即对任意的都成立. 因为，所以. 故实数的取值范围为. 17．（15分）某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量为：. 单株施用肥料及其他成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为(单位：元). （1）求的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由已知得， 又 . 即. （2）当时，，其图象的对称轴为直线， 开口向上，. 当 时， . 当且仅当，，即时等号成立，故. ， 的最大值为， 当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元. 18．（17分）已知二次函数满足且. （1）求函数在区间上的值域； （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求的最大值（用含的表达式表示）. 解：（1）,, 则, 解得. 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，函数取得最小值，且，又,则. 因此函数在区间上的值域为. （2）由得，即. 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 则，解得.因此实数的取值范围是. （3）， 易知图象的对称轴为直线. ①当，即时，的大致图象如图①所示，； ②当，即时，的大致图象如图②所示，. 综上所述，. 19．（17分）已知定义在上的函数，对任意的，都有，且当时，. （1）证明：当时，； （2）判断函数的单调性并加以证明； （3）如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）证明：在中， 令，得，所以， 令，得，所以， 当时，，所以，所以． （2）在上单调递减． 证明如下：任取，且， ， 因为，所以，所以，所以，即， 所以在上单调递减． （3）由题意知， 由得， 由(2)知在上单调递减， 所以，即， 易知，当且仅当时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $