专题4 乘法公式与因式分解——2027年中考数学一轮分层训练

专题4 乘法公式与因式分解——2027初中数学中考一轮分层训练 一、基础题 1．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的有（　　)个. ②同位角相等； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3． 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若多项式能因式分解为，则的值是（　　） A． B．1 C． D．6 7．分解因式：　 　． 8．已知 则 　 　. 9．已知，，则　 　． 10．先化简，再求值：，其中． 二、能力题 11．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 12．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（　　）． A． B． C． D． 13．已知是完全平方式，则的值为（ ） A．或 B． C． D． 14．赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　） A． B． C． D． 15． 如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示。点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是和，已知，图中阴影部分面积为6。则（　　） A．20 B．35 C．40 D．50 16．有两个正方形，，现将放在的内部如图①，将，并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形，的面积之和为　 　． 17．设x1，x2为一元二次方程 的两根，则的值为　 　. 18．计算：　 　． 19．分解因式：x2y-4y=　 　． 20． 转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为，，则=　 　. 21．数学探究： （1）例：代数式（a+b）2表示a、b两数和的平方，代数式（a+b）（a-b）表示a、b两数的和与这两个数的差的积；仿照上例填空：代数式a2-b2表示　 　； （2）试计算a、b取不同数值时，a2-b2及（a+b）（a-b）的值，填入下表（侯老师已经算了三个，请把剩余的值补充完整）： a、b的值 当a=5，b=1时 当a=-4，b=2时 当a=-3，b=-6时 a2-b2 24 12 　 　 （a+b）（a-b） 　 　 12 　 　 （3）请你再任意给a、b各取一个数值，并计算a2-b2及（a+b）（a-b）的值： 当a=　 　，b=　 　时，a2-b2=　 　，（a+b）（a-b）=　 　. （4）我的发现：a2-b2　 　（a+b）（a-b）；（填“”、“＜”或“=”） （5）用你发现的规律计算：78.352-21.652. 22．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形 （1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ （2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法 方法 （3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，． （4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若，，则 ． 三、拓展题 23．探究题： 【问题情景】 （1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___________；__________；___________； 【探究发现】 （2）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明发现：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为__________； 【问题解决】 （3）若多项式是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出的值． 24．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： （1）因式分解：． （2）已知，，求式子的值． （3）已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 【分析】本题考查整式的相关运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式以及合并同类项的法则，需逐一验证每个选项。对于同底数幂的乘法，法则是底数不变、指数相加，所以A选项中应等于，而非，运算错误；幂的乘方遵循底数不变、指数相乘的法则，B选项中，运算正确；完全平方公式为，C选项遗漏了中间的项，运算错误；合并同类项时只需将系数相加减、字母及指数保持不变，D选项中，而非1，运算错误，据此可得出正确选项。 2．【答案】A 【解析】【解答】解： ，错误 ②同位角不一定相等，错误 ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确 ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，错误 故答案为：A 【分析】根据完全平方公式，同位角的定义，点到直线的距离逐项进行判断即可求出答案. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，故此选项原计算错误，不符合题意； B、，故此选项原计算错误，不符合题意； C、x与2x2不是同类项，不能进行合并，故此选项原计算错误，不符合题意； D、(x-2)(x+2)=x2-4，故此选项原计算正确，符合题意. 故答案为：D. 【分析】根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断A选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断B选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断C选项；由平方差公式的展开式等于完全相同项的平方减去只有符号不同项的平方，可判断D选项. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A中左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B中左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C中右边不是积的形式（含有减法），不是因式分解； D中左边是多项式，右边是，即积的形式，符合因式分解定义； 故答案为：D． 【分析】由因式分解的概念：因式分解是将一个多项式变形，化成几个整式相乘（积）的形式，核心特点：左边多项式，右边是整式的积；和整式乘法是互逆变形，到依次对 A、B、C、D 四个选项逐一对比判断. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，等式成立，计算正确． 故选：D； 【分析】 依次运用积的乘方、整式乘除运算、完全平方公式以及单项式除法法则进行演算，通过逐项核验确定最终答案 ． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴； 故选C． 【分析】本题考查因式分解与多项式乘法的逆运算，核心是利用恒等式对应项系数相等求解。因为多项式能分解为，所以先将按照多项式乘法法则展开：用x分别乘得，用-2分别乘得，合并同类项后得到；由于展开后的多项式与原多项式恒等，所以对应项的系数必须相等，即一次项系数，常数项，再计算。 7．【答案】 【解析】【解答】解： ， 故答案为：． 【分析】分解因式时，先将提取负号变形为，再提取公因式，即可得到最终分解结果. 8．【答案】 【解析】【解答】解： = = = 故答案为： 【分析】根据平方差公式化简代数式，再将a，b值代入，结合二次根式的乘法即可求出答案. 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵ ， ∴， ∵ ， ∴2(a-b)=12， ∴a-b=6. 故答案为：6. 【分析】将第一个等式的左边利用平方差公式分解因式后，将a+b=2整体代入可求出a-b的值. 10．【答案】解：原式 ； 当时，原式 【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式，完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案. 11．【答案】B 【解析】【解答】解：A．，运算错误，不合题意； B．，运算正确，符合题意； C．，运算错误，不合题意； D．，运算错误，不合题意； 故选：B. 【分析】根据分式的加减法，分式的乘除法，平方差公式以及完全平方公式等计算求解即可. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：首先计算左边图形的阴影面积：大正方形边长为a，面积为a2；小正方形边长为b，面积为b2。 阴影部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积 = a2 - b2。 然后计算右边图形的阴影面积：拼接后的矩形，长为(a + b)，宽为(a - b)。 阴影部分面积 = 长 × 宽 = (a + b)(a - b)。 建立等式：因为拼接前后阴影面积不变，所以有：a2 - b2 = (a + b)(a - b)。 故答案为：D。 【分析】左边图形的阴影面积可以用大正方形面积减去小正方形面积来表示。右边图形的阴影面积可以用新拼成的矩形的长和宽来计算。利用面积相等，就能推导出对应的代数恒等式。 13．【答案】A 【解析】【解答】 是完全平方式，且，完全平方公式为， ， ， 即或， 解得或． 故答案为：A. 【分析】由完全平方公式结构：(a±b)2=a2±2ab+b2，对比多项式x2+2(m−3)x+49，确定首尾平方项；由首尾项确定a、b：首项x2=x2，得a=x；末项49=72，得b=7；由中间项为±2ab建立等式：多项式一次项2(m−3)x对应±2⋅x⋅7，约去x得到一元一次方程；分两种正负情况解方程，求出m两个取值，匹配选项. 14．【答案】A 【解析】【解答】解：如图， ∵大正方形的面积为13，小正方形的面积为1， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴或（舍），，故Ｂ错误，Ａ正确. ∴，故Ｃ错误. ∵， ∴，故Ｄ错误. 故答案为：A． 【分析】根据大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，得，，进一步根据完全平方公式变形得，，进一步得，，即可得答案. 15．【答案】C 【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b 由题意可得，，即ab=12 ∴ 故答案为：C 【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，根据边之间的关系可得a+b=8，根据三角形面积可得ab=12，再根据正方形面积，结合完全平方公式即可求出答案. 16．【答案】 【解析】【解答】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则 图①中阴影部分面积为 图②中阴影部分面积为 ∴ ∴ ∴． 故答案为： 【分析】设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，联立化简即可求出答案. 17．【答案】20 【解析】【解答】解：∵x1，x2为一元二次方程 ∴ ∴ 故答案为：20 【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案. 18．【答案】3 【解析】【解答】解：原式 =5-2 =3 故答案为：3. 【分析】利用平方差公式得到原式，然后根据二次根式的性质化简得到原式=5-2，最后进行加减运算即可. 19．【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】【解答】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式因式分解即可。 20．【答案】7 【解析】【解答】解：设重合部分面积为，则 ，由，，根据平方差公式. 故答案为：7 . 【分析】通过设重合部分面积，将转化为两个等腰直角三角形面积之差，再用平方差公式结合已知、的值计算. 21．【答案】（1）a、b两数的平方的差 （2）-27；24；-27 （3）2；1；3；3 （4）= （5）解： 78.352-21.652 = （78.35-21.65）×（78.35+21.65） =56.70×100 =5670. 【解析】【解答】（1）根据代数式意义知， 代数式a2-b2表示 ：a、b两数的平方的差， 故答案为：a、b两数的平方的差. （2）当 a=5，b=1时 ， （a+b）（a-b） =（5+1）（5-1）=24； 当a=-3，b=-6时 ， a2-b2 =（-3）2-（-6）2=-27， （a+b）（a-b） =【-3+（-6）】【-3-（-6）】=-9×3=-27； 故答案为：-27；24；-27. （3）当a=2，b=1时， a2-b2= 22-12=3， （a+b）（a-b）= （2+1）（2-1）=3； 故答案为：2；1；3；3. （4） a2-b2 = （a+b）（a-b） ， 故答案为：=. 【分析】（1）根据代数式的意义作答. （2）将a、b代入求值即可. （3）任意取一组a、b的值代入 a2-b2及（a+b）（a-b） 求值即可. （4）根据（2）（3）得出结论 a2-b2=（a+b）（a-b）. （5）根据a2-b2=（a+b）（a-b）计算即可. 22．【答案】（1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于 （2）解：方法一、阴影部分的面积； 方法二、阴影部分的边长；故阴影部分的面积． ​​​​​​​ （3）解： 三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：． 故答案为：、；；29． 【解析】【分析】 （1）观察图2可以看出阴影部分的边长是矩形的长与宽的差； （2）方法一：可直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；方法二：用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积； （3）通过观察（2），大正方形的面积等于阴影部分正方形的面积加上四个小长方形的面积； （4）将，，代入三个代数式之间的等量关系即可求出的值． （1）解：图2中的阴影部分的正方形的边长等于； （2）解：方法一、阴影部分的面积； 方法二、阴影部分的边长；故阴影部分的面积． （3）解： 三个代数式之间的等量关系是：； （4）解：． 故答案为：、；；29． 23．【答案】（1）；；； （2）； （3）∵多项式是一个完全平方式， ∴， 整理得：，解得：， ∴的值为3. 【解析】【解答】解：（1）；， 故答案为：；；． （2）∵观察上述三个多项式的系数，有，，， ∴若多项式是完全平方式，那么系数、、之间存在的关系式为：． 故答案为：． 【分析】(1)本题考察完全平方公式的逆用（因式分解），解题时观察每个多项式的结构，判断是否符合完全平方公式的形式。对于，x是a，3是b，中间项-6x是，因此分解为；对于，5x是a，1是b，中间项10x是，因此分解为；对于，2x是a，3是b，中间项12x是，因此分解为。 (2)本题考察对完全平方式系数规律的总结，解题时观察(1)中三个完全平方式的系数关系：第一个多项式中，，，满足；第二个多项式中，，，满足；第三个多项式中，，，满足，由此可归纳出完全平方式中系数的关系式为。 (3)本题考察完全平方式系数关系的应用和一元二次方程的解法，解题时首先明确多项式是完全平方式，结合(2)中得出的，确定该多项式中，，；将其代入关系式，得到；展开方程左边得，右边得；整理方程，移项、合并同类项后得到，解这个方程即可求出k的值。 24．【答案】（1）解： （2）解： ， ∵，， ∴， 原式。 （3）解：等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】【分析】（1）先分组，将利用完全平方公式分解，然后再利用平方差公式分解即可； （2）先分组，然后分别利用提公因式法提取公因数a和b进行分解，再提取公因式a-c得出分解结果，结合条件求得，最后整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解得出，再利用偶次幂的非负数的性质即可得出，从而确定△ABC的形状。 （1）解：因式分解： ； （2）解： ， ∵，， ∴， 原式； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $