专题2 无理数——2027年中考数学一轮分层训练

专题2 无理数——2027初中数学中考一轮分层训练 一、基础题 1．下列运算正确的是(　　) A． B． C． D． 2．下列实数中，能使函数 有意义的x的值是(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 3．如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 4．下列实数中，最大的数是（　　） A． B． C． D． 5．25的平方根是（　　） A．5 B．－5 C．±5 D．±25 6． 下列关于二次根式的说法不正确的是（　　） A．是2的算术平方根 B． C．与是同类二次根式 D． 7． =　 　． 8．若成立，则x的取值范围是　 　． 9．计算： 10．计算： ． 11．（1）计算：； （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第______________步开始错误； ②错误的原因是____________________． 二、能力题 12．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（　　） A．14 B．13 C．12 D．11 13．正方形的面积为16，则正方形的边长为（　　） A． B． C．2 D．4 14．若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（　　） A．4﹣a B．a﹣4 C．﹣（a＋4） D．无法确定 15．有意义的取值范围是（　　） A． B． C． D． 16．估计的值（　　） A．在和之间 B．在和0之间 C．在0和1之间 D．在1和2之间 17． 若 则整数m的值为（　　) A．5 B．4 C．3 D．2 18．若 a ， b 为两个连续的正整数，且 a < < b，则 a + b 等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 19．下列运算，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 20．　 　； 的平方根是　 　. 21．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是　 　． 22．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是　 　． 23．计算： （1） （2） 24．已知的平方根是的立方根是2． （1）求和的值； （2）求的平方根． 三、拓展题 25．若实数的立方根为2，且实数，，满足 （1）求的值； （2）若，，是的三边，试判断三角形的形状，并说明理由． 26．小明在解决问题：已知求的值. 他是这样分析与解的： ∴ ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）　 　，　 　. （2）化简： （3）若请按照小明的方法求出的值. 27．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； （2）已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 28．阅读材料，解答问题： 材料：，即：，的整数部分为2，小数部分为． 问题：已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分． （1）的小数部分为 ． （2）求的平方根． 答案解析 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意； B：，不能合并，不符合题意； C：，错误，不符合题意； D：，错误，不符合题意； 故答案为：A 【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得，， ， ∴四个选项中，只有D选项中的2满足题意． 故答案为：D. 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出 的取值范围，再判断选项即可． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：A、因为，所以，则，不符合数轴上手掌遮挡点的位置． B、因为，所以，则，符合数轴上手掌遮挡点的位置． C、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置． D、因为，所以，是正数，不符合数轴上手掌遮挡点的位置． 故选：B． 【分析】根据数轴上点的位置关系即可求出答案. 4．【答案】D 【解析】【解答】解： ， 最大的数是， 故选：． 【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：∵（±5）2=25，∴25的平方根是±5，用符号表示为：. 故答案为：C. 【分析】如果一个数x2=a（a≥0），那么x就是a的平方根，根据定义即可得出答案. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A.∵， ∴是2的算术平方根 ，说法正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C.∵，， ∴ 与是同类二次根式，说法正确，不符合题意； D. ：，计算错误，符合题意； 故答案为：D. 【分析】根据二次根式的相关定义和运算法则，对每个选项逐一判断求解即可. 7．【答案】－4 【解析】【解答】解： ， 故答案为：－4. 【分析】根据立方根的定义即可求解。 8．【答案】 【解析】【解答】解：∵成立， ∴， 解得， 故答案为：． 【分析】根据二次根式有意义的条件建立不等式组，解不等式组即可求出答案. 9．【答案】解：原式 . 【解析】【分析】先利用算术平方根，零指数幂，有理数乘方进行化简，然后进行加减运算. 10．【答案】解：原式=1+ ﹣2× +4 =5 【解析】【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 11．【答案】（1） ； （2）①一；②方程右边的这一项漏乘了 【解析】（2）观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了． 故答案为：一；方程右边的这一项漏乘了． 【分析】（1）先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）观察解题过程可知，第一步在去分母时，方程右边的这一项漏乘了，据此可得答案． 12．【答案】B 【解析】【解答】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故答案为：B ． 【分析】根据勾股定理算出前几个直角三角形斜边得长得出规律第n个直角三角形的斜边长为，据此得到第九个直角三角形的斜边长，进而得到该图形周长，根据无理数的估算求出的范围，进而根据不等式性质求出+10的范围，即可判断得出答案. 13．【答案】D 【解析】【解答】解：因为正方形的面积为16， ∴正方形的边长为， 故选：D． 【分析】本题考查了算术平方根的计算，根据正方形的面积，得到正方形的边长为，利用算术平方根的定义，即可求解． 14．【答案】B 【解析】【解答】解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根， ∴Δ＝42﹣4a＜0， ∴a＞4， ＝＝|4﹣a |， ∵a＞4， ∴|4﹣a |＝a﹣4， 故答案为：B． 【分析】根据一元二次方程无实根的条件可得△<0，据此列不等式求出a的范围，然后根据二次根式的性质“”进行化简即可. 15．【答案】D 【解析】【解答】据题意得：， 解得． 故答案为：D． 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，可得，据此求出的取值范围，进而可确定数轴的画法． 16．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴在0和1之间． 故答案为：C． 【分析】根据得，进一步得，进而得在0和1之间． 17．【答案】C 【解析】【解答】解： ∵整数m满足 故答案为：3. 【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可. 18．【答案】B 【解析】【解答】解：∵a＜ ＜b，且a，b为两个连续的正整数， ∴a=3，b=4， ∴a+b=7． 故答案为：B． 【分析】直接利用 的近似值得出a，b的值，进而得出答案 19．【答案】D 【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能相加，故原计算错误，不符合题意； B、，故原计算错误，不符合题意； C、，故原计算错误，不符合题意； D、，故原计算正确，符合题意. 故答案为：D． 【分析】二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A、B选项；由二次根式性质“”先将二次根式化简，再约分计算后可判断C选项；根据二次根式乘法法则“”先计算二次根式乘法，再根据二次根式性质化简，可判断D选项. 20．【答案】4；±3 【解析】【解答】解： 4 =9 9的平方根是±3 ∴ 的平方根是±3 故答案为：4；±3. 【分析】根据一个数x2=a(a≥0），则这个数就是a的平方根；一个正数x2=a(a≥0），则这个正数就是a的算术平方根，即可得出答案. 21．【答案】1 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴， 故答案为：． 【分析】本题需要先估算的范围，确定其整数部分和小数部分，再代入，利用平方差公式计算. 22．【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：由数轴可知，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【分析】根据数轴上点的位置关系可得，则，再根据绝对值，二次根式的性质化简计算即可求出答案. 23．【答案】（1）解： ； ​​​​​​​ （2）解： ． 【解析】【分析】 （1）先化简绝对值，计算乘方，开方运算，，再计算二次根数的加减法，解答即可． （2）先化简：，再运算乘除，最后运算加减法，解答即可. （1）解： ； （2）解： ． 24．【答案】（1）解：∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是2， ∴，解得：． （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 【解析】【分析】 （1）根据平方根的定义得，计算得m=12，根据立方根的定义得，计算得能n=2，解答即可． （2）直接将m和n的值代入计算得9，然后开平方运算，解答即可． （1）解：∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是2， ∴，解得：． （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 25．【答案】（1）∵实数的立方根为2， ∴ 代入得 ∴， ∴， ∴ （2）∵，， 根据勾股定理逆定理， ∴是直角三角形 【解析】【分析】（1）本题考察立方根的定义、算术平方根和平方的非负性应用，立方根的定义为若x3=b，则x是b的立方根；算术平方根和平方数均具有非负性，即结果大于等于0。解题时先由立方根定义得b=8，代入等式得，根据非负性性质列出方程组求出a=15、c=17，再代入代数式计算即可； （2）本题考察勾股定理的逆定理应用，若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时计算a、b、c的平方，152+82=289=172，满足逆定理条件，因此△ABC是直角三角形。 （1）∵实数的立方根为2， ∴ 代入得 ∴， ∴， ∴ （2）∵，， 根据勾股定理逆定理， ∴是直角三角形 26．【答案】（1）； （2）原式：= =4 （3）∴ ∴ ∴ ∴原式 【解析】【解答】解：（1）， ； 故答案为：，； 【分析】（1）根据题目的例子进行计算，进而化简即可求解； （2）根据小明的分析过程结合得到，进而即可求解。 27．【答案】（1）证明：∵ ∴2，8，这三个数是和谐组合， 最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当4≤a≤25时， ，得a=0(舍去)， ②当a<4时， ，得a=1 ，经检验符合题意， ③当a>25时， ，解得a=100 ，经检验符合题意. 综上所述，a的值为1或100. 【解析】【分析】 (1)根据定义分别计算2和8；2和18；18和8的算术平方根，得到的结果都是整数，解答即可； （2）由于a不清楚大小，因而对a分三种情况根据定义分别计算，然后取舍得到符合条件的答案，解答即可. 28．【答案】（1） （2）解：的立方根是3，的算术平方根是2， ，， ，， 是的整数部分， ， ， 的平方根为． 【解析】【解答】解：（1）， ， 的小数部分是； 故答案为：； 【分析】（1）根据，进行估算无理数的大小，即可得出答案； （2）由的立方根是3，的算术平方根是2，得到，，求得，的值，再由无理数的估算得到的值，代入代数式计算求值，即可得到对答案. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $