专题1 有理数——2027年中考数学一轮分层训练

专题1 有理数——2027中考数学中考一轮分层训练 一、基础题 1．规定：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作（　　） A． B． C． D． 2．若是最小的正整数，是绝对值最小的数，是相反数等于它本身的数，是到原点的距离等于2的负数，是最大的负整数，则的值为（　　） A．1 B．2 C．-1 D．-2 3．有理数中，最小的一个数是（　　） A．3 B． C．0 D． 4．实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若，，且，那么的值是（　　） A．1或 B．或 C．或 D．或 6．的相反数是（　　） A． B．2023 C． D． 7．选择适当的不等号填空： （1） 2　 　3； （2） 　 　； （3） 　 　0； （4） 若x≠y，则-x　 　-y。 8．计算： ①； ②； ③； ④. 9．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，． 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果这天汽车共耗油升，那么这辆汽车平均每千米耗油是多少升？ 10．已知，互为相反数，和互为倒数，的绝对值为，求． 二、能力题 11．若，反比例函数的图象在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 12．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 13．计算结果等于2的是（　　） A． B． C． D． 14．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为相反数的点是（　　） A．点B与点D B．点A与点C C．点A与点D D．点B与点C 15．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则　 　． 16．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.意思是今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数.如果钟表的分针逆时针方向旋转50°，记作+50°，则顺时针方向旋转35°，记作　 　°. 17．计算： （1） ； （2） （3） （4）． 18．计算： （1）； （2）． 19．计算： （1）； （2）． 三、拓展题 20．根据所学数轴知识，解答下面的问题： （1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示. ①A点表示的数是　 　；AB之间的距离是　 　； ②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是　 　； （2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合. ①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　cm？ ②图中点A所表示的数是　 　，点B所表示的数是　 　； （3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？ 琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为-37， 根据琪琪的想法，完成一下问题： ①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 ▲ ， ②求奶奶现在多少岁了. 21．先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令①， 则②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 （1）填空：______；______； （2）已知，且，求的值； （3）设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 22．“归纳”是我们研究数学问题的重要思想方法，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程， “归纳”是我们发现数学结论，解决数学问题的一种重要策略．“数形结合”也是研究数学问题的一种重要思想方法，在归纳的过程中，借助这种方法能帮助我们直观发现与推理，获得规律与结论． （1）【探究】 数学小组由特殊到一般，利用“归纳”的研究方法，将数字转化为图形变化，对1+2+3+4+…+n的结果进行探究．具体操作如图： 分别将①②③④中的图形复制，标上阴影后与对应的原图组成新的图形如下：直观发现： 小正方形的数量和依次为1×2， 2×3， 3×4， 4×5， …因此空白部分的小正方形的数量和依次为 请你归纳总结： 1+2+3+4+5+…+n=　 　； （2）【迁移】 数学小组受此启发，继续对连续奇数的和、连续偶数的和进行研究．如图： ①连续奇数的和 请你归纳总结： 1+3+5+7+…+(2n-1)= ▲ ； ②连续偶数的和 请你在网格中画出第④个图，并归纳总结： 2+4+6+8+…+2n= ▲ ； （3）【应用】 利用以上结论，计算(101+103+105+…+199)+(202+204+206+…+300)的值． 23．定义：若数轴上有两个点位于一点两侧，且到该点的距离相等，则称这两个点是关于该点的“联盟点”． （1）【初步感知】 ①在数轴上，若点B表示的数是5，点M表示的数是3，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则点A表示的数是　 　； ②在数轴上，若点A表示的数是a，点B表示的数是b，点M表示的数是m，点A与点B是关于点M的“联盟点”，则a，b，m满足的数量关系是　 　； （2）【问题探究】 如图1，点O为原点，点M表示的数是3，如果点C所表示的数是c(c<-3)，点C关于O点的“联盟点”是点D，点C关于点M的“联盟点”是点E，求线段DE的长度； （3）【拓展延伸】 如图2，点F表示的数是1，点P， Q分别从数轴上表示的数是3和—2的点出发向右匀速运动，点P的速度是1个单位长度/秒，点Q的速度是k个单位长度/秒，设运动时间为t秒．点F关于点P的联盟点为点G，点G关于点Q的联盟点为点 H，是否存在一个k值，使得FH为定值．若存在，请求出k的值．若不存在，请说明理由． 答案解析 1．【答案】A 【解析】【解答】解：（）表示向左移动3．记作，则（）表示向右移动5，记作， 故答案为：A． 【分析】 根据正负数表示具有相反意义的量：（）表示负，那么（）表示正，由此解答即可． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ 若a是最小的正整数， ∴a=1， ∵b是绝对值最小的数， ∴b=0， ∵c是相反数等于它本身的数， ∴c=0， ∵d是到原点的距离等于2的负数， ∴d=-2， ∵e是最大的负整数， ∴e=-1， ∴a+b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2. 故答案为：D. 【分析】根据有理数的分类、绝对值的性质、相反数的定义及数轴上的点所表示数的特点分别得到a、b、c、d、e的值，最后求和即可. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵|-3|=3，|-1|=1，且3＞1， ∴， 故答案为：D． 【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，进行比较即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意，， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故答案为：B ． 【分析】 根据题意，由数轴上表示数右边数大于左边数，得到，结合实数的运算法则逐一判断即可． 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， 故答案为：D． 【分析】根据绝对值意义可得a=±2，b=±3，然后根据同号两数相乘积为正可判断出a与b同号，进而确定出a=2，b=3或a=-2，b=-3，最后根据有理数加法法则“同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加”求出a与b的和即可. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：-2023的相反数是2023， 故答案为：B. 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义求解即可。 7．【答案】（1）＜ （2）＞ （3）≤ （4）≠ 【解析】【解答】⑴解：∵2＜3 故填： ＜. ⑵解：∵， ∴ 故填： ＞ . ⑶解：∵a2≥0， ∴-a2≤0 故填： ≤ . ⑷解：∵x≠y， ∴-x≠-y 故填： ≠ . 【分析】⑴根据实数大小选择正确的不等号即可. ⑵根据实数大小选择正确的不等号即可. ⑶根据偶数次幂非负性选择正确的不等号即可. ⑷根据不等关系选择正确的不等号即可. 8．【答案】解：①原式=-3+1+5 =3； ②原式=+12.5+2.5 =+(12.5+2.5) =-20+15 =-5； ③原式=-4×5+8÷4-2 =-20+2-2 =-20； ④原式= =21-18+30 =33. 【解析】【分析】①先去括号，再计算即可； ②先去括号，再计算即可； ③根据有理数的运算法则进行计算即可； ④根据乘法分配律 进行计算即可. 9．【答案】（1）解：（千米）， 答：B地在A地的南方，他们相距5千米； （2）解：设这辆汽车平均每千米耗油是升， 由题意得， 即，解方程得， 答：这辆汽车平均每千米耗油是升． 【解析】【分析】(1)要确定B地相对于A地的位置和距离，需要将当天汽车的行驶记录相加，根据结果的正负判断方向，绝对值表示距离； (2)要计算平均每千米的耗油量，需要先求出汽车行驶的总路程，再用总耗油量除以总路程. 10．【答案】解：∵，互为相反数， ∴， ∵和互为倒数， ∴， ∵的绝对值为， ∴， ∴， ∴ ． 【解析】【分析】 先利用定义和性质得出，，，再代入求值即可解答． 11．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ ∴-k>0，即k<0 ∴反比例函数的图象在第二、四象限 故答案为：C 【分析】根据绝对值的非负性可得k<0，再根据反比例函数的图象与系数的关系即可求出答案. 12．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ ，所以A选项正确； ∵ ，∴B选项错误； ∵ ，∴C选项错误； ∵ ，∴D选项错误. 故答案为：A. 【分析】根据异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值即可判断A；根据两数相乘，同号得正，异号得负并把绝对值相乘即可判断B；根据有理数的乘方运算意义即可判断C；根据两数相除，同号得正，异号得负并把绝对值相除即可判断D. 13．【答案】A 【解析】【解答】解：A、|-2|=2，故A符合题意； B、-|2|=-2，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、（-2）0=1，故D不符合题意； 故答案为：A. 【分析】利用绝对值的性质，可对A，B作出判断；利用负整数指数幂的性质进行计算，可对C作出判断；再根据任何不等于0的零次幂为1，可对D作出判断. 14．【答案】C 【解析】【解答】 解：2与-2互为相反数. 故答案为：C． 【分析】数轴上表示的互为相反数的两个数，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，据此判断可得答案. 15．【答案】1 【解析】【解答】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”求出抛物线的解析式，后令，列求出x值解答即可． 16．【答案】-35° 【解析】【解答】解： 逆时针方向旋转记为正， 则顺时针方向旋转记为负， 所以顺时针方向旋转 35° 记作 -35°. 故答案为： -35°. 【分析】 本题主要考查了正数和负数表示相反意义的量. 先根据题意确定一对相反意义， 再按规定方向为正、相反方向为负写出结果. 17．【答案】（1）原式 （2）原式 ​​​​​​​ （3）原式 （4）原式 ​​​​​​​ 【解析】【分析】本题考查有理数混合运算的顺序以及加法、乘法的运算律（交换律、结合律、分配律）. （1）利用加法交换律和结合律，将小数和分数分组计算，最后相加即可； （2）利用加法交换律和结合律，将同分母分数分组计算，最后相减即可； （3）利用乘法分配律展开计算即可； （4）先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算减法即可． （1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 18．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】（1）根据有理数的加法，乘法即可求出答案. （2）根据有理数的混合运算，结合有理数的乘方即可求出答案. （1）解： ； （2）解： ． 19．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法分配律的计算方法及步骤分析求解即可； （2）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可. （1）解： ； （2）解： ． 20．【答案】（1）-2；4；-2 （2）8；14；22 （3）解：①119； ②妙妙和奶奶的年龄差为：[119-（-3）]÷3=52（岁）， ∴奶奶现在的年龄：119-52=67（岁） 【解析】【解答】（1）据数轴知，A表示的数是-2，B表示的数是2， ∴AB=2-(-2)=4， 将 点B向左平移4个单位 ，则2-4=-2， 此时 该点表示的数是 -2. 故答案为：①-2；4；②-2. （2）①设 点A所表示的数是 a， 点B所表示的数是 b，木棒长为 （b-a） cm， 则b+（b-a）=30，6+（b-a）=a， ∴a=14，b=22， ∴x=b-a=8 cm， 故答案为：①8；②14；22. 【分析】（1）根据有理数在数轴上的表示方法及数轴相关知识点完成作答. （2）根据题意列出方程组求解得a、b，从而确定木棒的长度. （3）根据（2）的结论知：119与（-37）得差除以3即为两人的年龄差，再根据年龄差计算奶奶的年龄.完成作答. 21．【答案】（1） （2）解：，且， ， ； （3）解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 【解析】【解答】解：（1）解：，， 故答案为：； 【分析】 本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； （1）根据题设中新定义的运算法则，直接列出算式，进行计算求值，即可得到答案； （2）根据题意，先判断y的范围，结合题设中新定义，列出算式，进行化简，整体代入求值，即可得到答案； （3）根据非负性，求得，结合新定义，得到，求出a的值，再根据数轴上两点之间的距离公式，列式求得，分类讨论，列式求解，即可得到答案. （1）解：，， 故答案为：； （2）解：，且， ， ； （3）解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 22．【答案】（1） （2）①n2 ②如图： n(n+1) （3）解： ． 【解析】【解答】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）①由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为： ； 故答案为：； ②第④个图，如图： 由图片知： 第1个图案所代表的算式为：， 第 2 个图案所代表的算式为：； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； ； ∴第个图案所代表的算式为：； 故答案为：； 【分析】本题考查图形变化与数字规律的归纳，以及利用规律进行有理数混合运算，核心是“数形结合”和“归纳推理”思想。 (1)根据图形组成的新正方形数量与空白部分小正方形数量的关系，空白部分数量即为连续自然数的和，归纳出的规律； (2)①观察连续奇数和的图形，发现图形是边长为项数的正方形，正方形面积即为奇数和，归纳出规律； ②先根据前面的图形规律画出第④个图，再观察连续偶数和的结果与项数的关系，归纳出规律； (3)将所求式子转化为“1到199的连续奇数和减去1到99的连续奇数和”加上“2到300的连续偶数和减去2到200的连续偶数和”，再利用前面归纳的规律分别计算各部分，最后求和得到结果。 23．【答案】（1）1；a+b=2m （2）解：因为 点C 关于O 点的“联盟点”是D， 所以点D表示的数为-c， 因为点C关于点M的“联盟点”是E， 所以点E所表示的数为 6-c， 所以DE=6-c-(-c)=6， 所以线段DE 的长度为6 ； （3）解：存在，理由如下： 根据题意得：点P 表示的数为3+t，点Q 表示的数为-2+kt， 因为 点 F关于点 P 的联盟点为点 G， 所以 点G表示的数为5+2t， 因为 点 G 关于点Q的联盟点为点 H， 所以 点 H 表示的数为(2k-2)t-9， 所以 因为 DF为定值，所以2k-2=0 解得：k=1 所以 当k=1时，DF为定值． 【解析】【解答】解：（1）①设点A表示的数为x，点B表示的数是5，点M表示的数是3， ∴点在点的右边， ∴点在点的左边， 根据题意可得， 解得， 故点A表示的数为1， 故答案是：1； ②根据题意可得点是的中点， 故， 化简得． 故答案为： 【分析】本题考查数轴上的“联盟点”定义、中点性质、数轴上点的坐标计算以及动点问题，核心是理解“联盟点”本质是两点关于某点对称（该点为两点中点）。 (1) ①根据联盟点定义，点是、中点，利用中点坐标公式列方程求出点表示的数； ②由中点坐标公式，中点等于两点坐标和的一半，推导、、的数量关系； (2) 根据联盟点定义，原点是、中点，得出表示的数为，点是、中点，得出表示的数为，再计算两点间距离； (3) 先表示出运动秒后、的坐标，再根据联盟点定义求出、的坐标，进而表示出的长度，若为定值，则含的项系数为0，据此求出的值。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $