2026-2027学年北师大版九年级数学上学期期中复习题（1-3章）-

2026-2027学年九年级数学上学期期中复习题（1-3章) 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分.) 1.如图，已知ABCD,对角线AC,BD相交于点O,则添加下列条件不能判定口ABCD是菱形 的是() A.AB=AD B.∠BAC=∠CADC.AC⊥BD D.AC=BD 2.菱形的面积为24cm2,一条对角线是12cm,那么菱形的另一条对角线长为() A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 3. 已知一元二次方程2x(x+7)-10(x+7)=0 的两根为a、b,且a>b,则0+2h=() A.-13 B.-9 C.4 D.-3 4.如图，要设计一本书的封面，封面长27cm,宽21©m,正中央是一个与整个封面长度比例 相同的长方形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽， 左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为xcm,左、右边衬 的宽均为9xcm.那么x满足的方程是() A.(21-9xj021-7-x27x21 B.(27-9如021-7)-}x27x21 C.(27-18x021-14w)=4x27x21 D.(27-18021-14w)-子x27x21 5.已知关于x的方程am2+4x-2=0有两个实数根，则a的取值范围是() A.a≥-2 B.a>-2 C.a≥-2且a≠0D.a≤2且a≠0 6.在平面直角坐标系中，△MBC的顶点A的坐标为2)，若以原点O为位似中心，画△MBC的 位似图形△AB'C',使△AB'C与△ABC的相似比为2，则点A的坐标为() B.(2,6) c引 D.(2,6)或(-2,6) 7.已知，如图，在矩形ABCD中，菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边 1B,CD,D1上，其中”为定点，B、G为动点，连接CF.当点6从D点移动到C点的过程 中，△FCG的面积（) G A.逐渐增大B.逐渐减小 C.不变 D.先增大，再减小 8.如图，在等边△ABC中，AB=5,点D,E分别是AB,AC上的点，将△ADE沿着DE折叠得到 △FDE,点F落在边BC上，若当BF:CF=1:4时，则4B的长为《) D 10 7 A.3 B.3 C.2 D.4 9.如图，∠A=∠B=90°，AB=m,AD=2,BC=3,在边AB上取点P,使得△PAD与△PBC相 似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是() dB A.m=2W6或m=5 B.m=5 C.m>2W6D.,26<m<5 10.如图，在矩形ABCD中，AB=l,BC=2,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向作矩 形ACCB,使矩形ACCB∽矩形ADCB:再连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形 ACC2 2，使矩形 CCB2∽，ACCB 矩形 ,,按照此规律作下去，则边4C的长为 C C2 B B 2026 A.5x 5 C.V5x226 D.2×(5) 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，菱形ABCD的周长是40cm,且DE⊥AB,菱形ABCD的面积为40cm2，则DE= 12.一个三角形的边长分别为4,5,6，和它相似的另一个三角形的最长边为24，则较大三 角形的周长为 13.如图，在矩形纸片ABCD中，已知BC=16,折叠纸片使边AB与对角线AC重合，点B落 在点F处，折痕为AE,且EF=6,则矩形纸片ABCD的周长为 B-- 14.在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为aCm的矩形卡纸剪成如图1所示的四块 图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1， 则该矩形卡纸的宽a= Cm. ① ① ② ② ① ② ① ② 图1 图2 15.对于实数9，我们用符 min(pg}表示B9两数中较小的载，如min化2=， min-2,-3}=-3,若mm{x+,rl,则x 16.如图，正方形ABCD中，AB=8,M为CD中点，P是BD上一动点，则PC+PM的最小值为 M B 三、解答题：本题共8小题，第1718题6分，第1920题每题7分，第2122题8分，第 2324题10分，共64分. 17.解方程 (1)x2+8x-9=0;(配方法) (2)3x2=4-2x;(公式法) 18.如图，平行四边形ABCD的面积为24，点E、F、G分别是边AB、BC、AD的中点，连接 EF、EGEF⊥EG EF+EG=7 ， 垂足为E,且 A E D C (I)求证：四边形ABCD是菱形； (2)求AB的长. 19.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为，x. (1)求m的取值范围； (2)若+5-2xx=0，求m的值. 20.已知四边形ABCD为菱形，AH⊥BC于点H,延长BC至点E,使得CE=BH,连接AC, 交于点Q,连接DE; BD B H (1)求证：四边形AHED为矩形； (2)已知菱形ABCD的周长20，菱形的面积为24，试求线段CH的长； 21.小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长 60分钟.慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练 时，第一分钟消耗3.1千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗02千卡. (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟(t为整数)，则最后一分钟消耗的 热量是 (用含t的代数式表示)千卡，t分钟总消耗热量是 (用含t的 代数式表示)千卡. 东：若-列数a,4凸，，a2,满足凸4=4-4=三，-则4+凸++a,=（4士 2. (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可 能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由. 22.在正方形ABCD中，G为BC上的任意一点，BF⊥AG于点F. B G G 图1 图2 (1)如图1，作DE⊥AG于点E,请写出AF,BF与EF之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接DF,若∠BAG=30°，BF=4,求△ADF的面积. 23.如图，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=3Cm,点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，点 2从点D出发，沿DB方向匀速运动，两点同时出发，速度均为1cm/s,设运动时问为付( 0<t<4、 )· B (1)当以B,P,卫为顶点的三角形与aDC相似时，求t的值； 21 (2)当1取何值时，四边形PBC0的面积等于亏cm? (3)是否存在某一时刻1，使C1P吧？若存在，求出1的值；若不存在，请说明理由. 24.如图1，在锐角△ABC中，AD是BC边上的高，BC=6,AD=4,动点P沿线段AD从点A向 点D运动，过点P作EF∥BC,EF交AB于E,交AC于F,以EF为边向下作正方形EFGH. P D C B D BH DG H 图1 图2 图3 (1)设AP长为x,利用相似三角形的性质，可用含x的代数式表示正方形的边长为EF= ；如图2，当x=时，GH恰好落在边BC上，此时EF长为； (2)如图3，当GH在△ABC外部，且正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6时，求点P的位 置（即求AP的值）， 参考答案 一、选择题 1.D 解：A、添加AB=AD,能判定口ABCD是菱形，故本选项不符合题意； B、添加∠BAC=∠CAD, ,四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC, ∴.∠CAD=∠ACB, .∠BAC=∠CAD, ..∠BAC=∠ACB, .'AB=CB, ∴，口ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、添加AC⊥BD,能判定口ABCD是菱形，故本选项不符合题意； D、添加AC=BD,不能判定口ABCD是菱形，故本选项符合题意； 2.B 解：设另一条对角线长为xcm, .菱形的面积为24cm,一条对角线是12cm, :212=24 6x=24 x=4 3.B 解： 2x(x+7)-10(x+7）=0 (x+7)(2x-10)=0 x+7=02x-10=0 或 解得=5，x2=-7 .a>b ∴.a=5b=-7 :0+26=5+2x(-7列=-9 4.D 解：设上、下边衬的宽均为Txcm,左、右边衬的宽均为9xcm,则中央矩形的长与宽为 (27-18x)cm(21-14x)cm 由题意得：(27-1821-14)-子x27x21. 5.C 解：方程a2+4x-2=0有两个实数根， a≠0,4=4-4-a(-2)=16+8a≥0 ∴.a的取值范围是a≥-2且a≠0. 6.C 解：：以原点O为位似中心，△4BC与△ABC的相似比为2，点A坐标为(2,3)，位似图形有两 种位置情况， ÷当△C与4C右煤克月食时，点f的华标多2x3》) 当△C与低c在原放并衡时，点不的坐新专23写)(L-引 点的生标克〔)威引 7.B 解：如图，过点F作FM⊥CD交DC的延长线于点M,连接GE, G M D H “四边形 ABCD 是矩形， .∠A=90°，DCI‖AB .∠MGE=∠AEG “四边形 EFGH 是菱形， ∴.HE=GFGF∥HE ∴.∠FGE=∠HEG :∠MGF=∠MGE-∠FGE,∠AEH=∠AEG-∠HEG ∴.∠MGF=∠AEH ∠FMG=∠HAE=90° {∠MGF=∠AEH 在 和 △MFG △HAE 中，GF=EH ∴.△MFG≌△HAE(AAS) .FM=HA :H为定点，A为定值，即ACG的高 M不变， S.c-CG-FM-CG.HA 2 当点G从D点移动到C点的过程中，CG逐渐减小， .△FCG 的面积逐渐减小. 8.C 解：△ABC是等边三角形，AB=5, .BC=AB=5,∠A=∠B=∠C=60°. .BF:CF=1:4, .BF=1,CF=4. 由折叠的性质，得AD=DF,AE=EF,∠DFE=∠A=6O°. .∵∠DFE=60°， ∴.∠DFB+∠EFC=180°-60°=120° 又∠B=60°， ∴.∠BDF+∠DFB=180°-60°=120°， ∴.∠BDF=∠EFC. 又，∠B=∠C=60°， .△BDF∽ACFE, 设AE=x,则EF=x,EC=5-x;设AD=DF=y,则DB=5-y. BD BF DF n5-y=1=Y 由相似三角形的性质，得CF=CEEF,即45-xx, 女.即56-4，架得3. 15 1 经检验，x=2是原分式方程的解， 1 故B的长为2： 故选：C 9.A 解：设AP=x,则BP=m-x 情形①△PAD∽△PBC, PAAD x=2 则PBBC,即m-x3 解得：x=” 5； 情形②△PAD∽aCBP, PAAD =2 .BC=BP,即3m-X ∴.x2-mx+6=0, .:△=(-m)2-4x1x6 ,△PAD与△PBC相似，这样的P点共有2个， 当①成立时，则②中只有唯一的一个解， 即△=0，解得：m=2V6 当②有两个解时（即情形②有两个P点），则①中的解与②中的一个解相同， 即x行是-m+6=0的解， 255+6=0 解得：m=5(负值舍去) 综上所述，m=2W6或m=5, 故选：A. 10.A 解：四边形ABCD是矩形， .AD⊥DC, ..AC=VAB2+BC2=1+4=5, ,按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形ACCB, .矩形ACCB的边长和矩形ABCD的相似比为V5:2, 矩形ACCB的对角线和矩形ABCD的对角线的比为V5:2, .矩形ABCD的对角线为V5, ∴.矩形AB,CC的对角线 4C=V5x5_5 22, 依此类推，矩形MB,CG的对角线和矩形AB,CC的对角线的比为V5:2, 矩形6的对有线G=5个， 短形cG的对有线G-5 按此礼第n个矩形的对肩线4C=5x汽) 202 4Ca=5X2) 5 二、填空题。 11.4cm 解：菱形ABCD的周长是40cm, ∴.AB=BC=CD=AD=10cm, .DE⊥AB, ∴.菱形ABCD的面积=AB×DE=40, ∴.10×DE=40, ∴.DE=4cm. 12.60 解：，一个三角形的三边长分别为4,5,6，与其相似的三角形的最长的边为24， 61 ∴其相似比244， 设较大三角形的周长为L, 4+5+61 L=4, 解得L=60, 即较大三角形的周长为60. 13.56 解：由于翻折，得 ∠B=∠AFE=90°BE=EF=6AB=AF ∴.EF⊥AC CE=BC-BE=10 在aCFE中， CF=VCE2-EF2=V102-62=8 设AB长为x,则AF=x 在△ABC中， AB2 +BC2=AC2 即+162=(x+8} 解得x=12 即AB=12 ∴.矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(12+16)=56 1+V5 14. a= 2 解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直 角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中AE=DF=1, ED=CF=a AB=a+1 D ① ② ② ① ② ① ① ② 图1 图2 .矩形的长为a+a+1=2a+1, 根据矩形和正方形的面积相等，得a(2a+)=(a+, 整理得a2-a-1=0, 1+V5 解得4 2, 5<0(含去)· 02=1 2 1+5 15.1或-2 解：分情况讨论：当+>时，展开不等式得2+2x+1>,化筒得>， mimx+,}=1, ∴.较小的数x2=1,解得x=1或x=-1, 又日，舍去：得，轮合条年； 当(+<2时，展开不等式得+2x+1<2,化简得<-： mn《x+,}=l :较小的数x+旷，开方得x+1=山，解得x=0或x=2, 又x<,舍去x=0,得2，将合条件： 1 当(x+=2时，解得x=2,此时两数都为41，不符合题意，舍去； 综上，x=1或x=-2; 16.4V5 解：连接AP,AC,AM D M ,四边形ABCD是正方形 ∴.BD垂直平分AC,∠ADC=90°，AB=AD=CD=8 ∴.PA=PC ∴.PC+PM=PA+PM≥AM 当点A,P,M共线时，PC+PM取得最小值，为AM ,M为CD中点， DM=CD=4 2 AM=AD+DM=18+4=45 三、解容题 17.(1)解：x2+8x-9=0, 移项得：x2+8x=9, 配方得：+8x+16=9+16,即x+4=25 开方得：x+4=5, .x=1,x2=-9: (2)解：3x2=4-2x,即3x2+2x-4=0, ∴.a=3,b=2,c=-4, :A=-4ac=2-4x3x(4)=52>0 :-222丽1t 2×3 6 3, 即+ 3 ,专以馆 3 18.(1)证明：连接AC,BD交于点O,如图 E D .点E、F、G分别是边AB、BC、AD的中点， ∴.EF是△ABC的中位线，EG是△ABD的中位线， .EF∥AC,EG∥BD, .EF⊥EG,EF∥AC, .AC⊥EG, .EF∥AC, .AC⊥BD, ∴.平行四边形ABCD是菱形. (2)解：设EF=m,EG=n, ∴.m+n=7, ,EF是△ABC的中位线，EG是△ABD的中位线， .'AC=2EF =2m,BD=2EG=2n :S发形面现Cn-24C-BD=24, .72m-2n=241 解得mn=12, :四边形ABCD是菱形， 40=4C=m,a0=D=n, 2 :AC⊥BD, :.AB=√A0+B0=m2+m=V(m+m-2m=V7P-2x12=5 19.(1)解：.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0有两个实数根， ∴.△=b2-4ac20,其中a=1,b=3,c=m-1,代入得 △=32-4×1×(m-1)=13-4m≥0 13 解得m≤4； (2)解：由根与系数的关系可得：+号=名3,45m1 a +x2-2xx2=0 -3-2(m-)=0,解得m=- 2· 113 :-2≤4，符合m的取值范围， 1 m的值为2 20.(1)证明：，四边形ABCD为菱形， .AD∥BC,AD=BC, .AD∥HE, ..BH =CE, ∴.BH+CH=CE+CH, .BC=HE, .AD=HE, 又：AD∥HE, .四边形AHED为平行四边形， .AH⊥BC, ∴.∠AHC=90°， ∴.四边形AHED为矩形. (2)解：四边形ABCD为菱形，周长为20， ∴.AB=BC=5, ,菱形ABCD的面积为24， .S菱形HCD=BC·AH=24, ∴.5AH=24, :AH=24 5, .AH⊥BC, ∴.∠AHB=90°， 在RtABH中，∠AHB=90°、 :=a8-m-5(-子， CH=BC-BH=5-7_18 55· 21.（1)解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：31+02-)021+29)千5： t分钟总消耗热量是： [3.1+021+29_02r+6c=(0.r+3刘千卡： 2 2 (2)解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为3x分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为 整数)， 则总消耗热量为：6x3r+12x+0.1r+3x=(30r+0r+3刘千卡， 根据题意可列方程，x+3x1=60,则x=60, 4 则总消耗热量为：30x0+0.1㎡+3-01r-45+450)千卡， 4 当总消耗热量为380千卡时，0.12-4.5t+450=380，整理可得，0.12-4.51+70=0， 则A=(45-4x01x70=-7,75<0,即方程没有实数根， ·总消耗热量不可能达到380千卡. 22.(1) 解：AF-BF=EF, 理由如下：四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=90°AB=AD ∴.∠BAG+∠DAE=90° 由条件可知∠AED=90°. ∴.∠DAE+∠ADE=90° .∴.∠ADE=∠BAG .·BF⊥AG .∠AFB=∠DEA=90° ∴.△ADE≌△BAF(AAS) ∴.BF=AE .AF-BF AF-AE EF (2)解：如图，作DE⊥AF于点E, E B G 在RtAABF中，∠BAG=30°，BF=4, ∴.AB=2BF=8 AF=AB2-BF2=82-42=43 由(1)得AE=BF=4,DE=AF=4V3, Sm=4F-DE=2x45x45=24 1 2 23.(1)解：.矩形ABCD, .CDI AB,CD=AB=4,∠DAB=90°， ∴.∠CDQ=∠QBP .在R1△ABD中，∠DAB=90°，AB=4,BC=3, ∴，根据勾股定理得，BD=VAB2+AD2=V42+32=5, ,由题意可得，OD=BP=t, ..BO=BD-OD=5-t :以B,P,2为顶点的三角形与△DC相似， 又.∠CDQ=∠OBP ∴.△COABOP或aDCQ∽aBP2, DC DO DC DO .BOBP或BPBO .5-1i或15-t, 4= 解方程5-ti,得t=1, 41 解方程75-1，得4=-2+26,6=-2-26（舍去）， 综合上述，当以B,P,Q为顶点的三角形与△DCQ相似时，t的值为1或-2+2W6: (2)解：如图，过点Q作QE⊥AB,F⊥BC,垂足分别为E,F, D B 由(1)得QD=BP=1,B0=5-1, :矩形ABCD, .DA⊥AB,DC⊥BC, ,DA⊥AB,QE⊥AB .DAllOE .△BOEABDA QE_B≌ E_5-t ADD,即35， :E=5-), .DC⊥BC,OF⊥BC, ..DCIIOF .△BOFABDC OF BO OF 5-1 CD8D,即4=5， 0r-6-0, :形g=Saem+an- 5 8p0+c0s-.则735-)+x36-小-到. 13 整理得2-t-6=0, 解得4=3,4=-2（舍去）， 1=3时，四边形paC0的面积等于m; (3)解：如图，过点作QE⊥AB,QF⊥BC,垂足分别为E,F, 由(1)得QD=BP=1,B0=5-1, 由2)得0-5-)，05-5-)， ,矩形ABCD, .AB LBC,AD BC =3,AB=CD=4, .OE⊥AB,QF⊥BC, .四边形FOEB为矩形， ·∠F0E=90P,BF=OE=5-）,BE=QF-4（5-4）. .CF=BC-BF=3-6-),EP=BE-BP=6-小-4， :C0⊥P№，则∠CQF+∠P№F=90, 又.∠FOE=∠EQP+∠PQF=90° ∴.∠EOP=LCQF. 又.∠PE0=∠CFQ=90° .△PQE∽△CQF 46-03-36-0 5 六8器部，即606小-，解得1-9 24.(1)解：，EF∥BC,AD⊥BC, ∴.△AEF∽AABC,△AEPP△ABD,AD⊥EF, AP AE EF AE ·ADAB'BCAB AP EF ∴.ADBC, 又BC=6,AD=4,AP=x, xEF .。46, .正方形EFGH, ∴.EF=EH,∠FEH=∠EHG=90°， 又PD⊥BC, .四边形EPDH是矩形， PD=EH=EF-3x X 又AD=AP+PD, .3 +2=4 部香 :即号号 255; (2)解：设AP=x, 由(1)同理可求F=多x 2，PD=EM=4-x, .GH在△ABC外部， ,正方形EFGH与△ABC公共部分的面积为6， .四边形EMNF的面积为6， 2(4-x)=6 3 解得x==2, 即AP的值为2.