2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中模拟考试全真模拟卷拔尖卷

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中模拟考试全真模拟卷拔尖卷 （测试范围：第一章特殊平行四边形到第四章投影与视图） 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 考试时间120分钟，全卷满分120分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—24，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．一元二次方程根的情况是（　　） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．关于的一元二次方程的两个根是，，则的值为（　　） A．8 B． C． D．2 4．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业.如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱(如图2)，其示意图的左视图是（　　） A． B． C． D． 5．如果△ABC∽△DEF，相似比为2：1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（　　） A．1 B．4 C．8 D．16 6． 如图， 线段AB 两个端点的坐标分别为A(6， 6)， B(8， 2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的 后得到线段CD，则端点 C 的坐标为(　　) A．(4，3) B．(3，3) C．(3， 1) D．(4，1) 7．如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=6，AE=8，则CE的长为（　　） A． B．10 C． D． 8．顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （　　） A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形 9．如图，周长为24的菱形中，，点E，F分别是边上的动点，点P为对角线上一动点，则线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法： ①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根； ②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1； ③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)； 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．已知，且，则　 　． 12．如图，在中，，平分，交的延长线于点F，若，，，则　 　． 13．若a是方程的一个根，则的值为　 　． 14．如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是　 　. 15．如图，菱形的周长与面积均为20，于点E，则对角线AC的长为　 　. 16．如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点， GE⊥CD于点 E， GF⊥BC于点 F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG=EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点 G在运动过程中，线段EF的最小值为 正确的有　 　. 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解下列一元二次方程 （1） （2） 18．如图，为原点，，两点的坐标分别为，． （1）以为位似中心，在轴左侧将放大2倍，得到，请画出图形（，两点的对应点分别为，）； （2）分别写出点，的坐标； （3）若的面积为，则的面积为________． 19．关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2. （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的两实数根x1，x2满足x1＋x2＝－x1x2，求k的值． 20．靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同． （1）请问每次降价的百分率为多少？ （2）朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？ 21．如图，湘超冠军永州队的训练战术板为矩形ABCD，球员林昊沿AE跑位，防守队员谷文杰沿DF拦截，点E是BC边上一点， AE=AD，DF⊥AE于点F. （1）求证： AB=DF. （2）若AB=8分米， CE=4分米，求BC的长. 22．如图，在中，，点为边上一点，点为边上一点，______．请从“；，”三个关系式中任选一组作为已知条件，将其序号填在横线上，再解决下列问题： （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23．在梯形中，，点E在边上，且． （1）如图1所示，点F在边上，且，联结，求证：； （2）已知； ①如图2所示，联结，如果外接圆的心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长； ②如图3所示，如果点M在边上，联结、、，与交于N，如果，且，，求边的长． 24．利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来. （1）尺规作图：如图1，已知 在 上方作 (保留作图痕迹不写作法)，连接DE，求证：DE=BC. （2）如图2，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点(不与点 A、C重合)，以BE为边作正方形BEFG，点 F恰好落在射线DC 上.写出线段CE、CF、BC之间的数量关系. （3）如图3，在菱形ABCD中， ，点E在对角线AC的延长线上，以DE为边在AC上方作等边三角形DEF，连接AF.若 求 的面积. 参考答案 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A.，该方程中的未知数的指数是1．故本选项错误； B.，该方程符合一元二次方程的定义．故本选项正确； C.，该方程是分式方程．故本选项错误； D.，该方程中含有两个未知数．故本选项错误． 故选：B． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：方程， 这里a=1，b=-2，c=-3， ∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=4+12=16>0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：D． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：根据一元二次方程根与系数关系定理，得， 则． 故选：A． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：该建筑主体是一个正六棱柱，其示意图的左视图是： ， 故答案为：B. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：1， ∴△ABC和△DEF的面积比为4：1， 又△DEF的面积为4， ∴△ABC的面积为16． 故选：D． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半， ∴端点C的坐标为：（3，3）． 故选A． 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ 四边形是矩形 ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A . 8．【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 设点，，，分别是四边形各边的中点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴原四边形一定是对角线互相垂直的四边形． 故答案为：D． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：连接交于点，过点F作FF'⊥BD于点Q，交CD于点F'，如图， ∴∠FQD=∠F'QD=90°. ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， ∴AC⊥BD，∠ADP=∠CDP，∠BAC=∠DAC=60°，CD=AD，AB//CD， ∴△ACD是等边三角形. 又∵DQ=DQ， ∴△FDQ≌△F'DQ（ASA）， ∴FQ=F'Q. ∴F和F'关于BD对称， ∴EP+FP=EP+F'P≥EF'，故当E，P，F'三点共线时，EP+FP最小，最小值为EF'. ∵ 点E，F分别是AB，AD边上的动点， ∴EF'⊥CD时，EF'最小， 根据平行线之间的距离处处相等，可得点E与点A重合，EF'⊥CD时，如图所示： 此时AF'最小. ∵△ACD是等边三角形， ∴. 菱形的周长为24， ， ∴DF'=3， ∴． 故答案为：A． 10．【答案】A 【解析】【解答】解：①当ac<0时，则-4ac>0， ∴b2-4ac>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故说法①正确； ②当x=-1时， 方程的左边=a+bx+c=a·（-1）2+b·(-1)+c=a-b+c=0=方程的右边， ∴x=-1是方程的根， 故说法②正确； ③∵方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根， ∴b2-4ac<0， 即0≤b2<4ac， ∴b2+4ac>0， 而方程根的判别式是b2+4ac ∴该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④若方程有两个实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x-1）（x+2）， 故说法④错误. 综上，说法①②③正确， 故选：A. 11．【答案】 【解析】【解答】解：设，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．【答案】2024 【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024． 14．【答案】 【解析】【解答】解：根据题意可得： ， 解得， 故的最大整数值是． 故答案为：-2. 15．【答案】 【解析】【解答】解：因为菱形的周长为20， 所以边长AB=BC=5， 因为菱形的面积为BC×AE=20， 所以AE=4， 在Rt△ABE中，. 在Rt△AEC中，. 故答案为：. 16．【答案】①②③④ 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠C=90°，AD=DC，∠CBG=∠CDG=∠ADG=45° ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC=∠GFC=90° ∴四边形GFCE是矩形，∠EGD=∠EDG=45°，∠FGB=∠CBG=45° ∴，， ∵G为BD的中点 ∴DG=BG ∴GE=GF， ∴四边形GFCE是正方形，故①正确； 连接GC， ∵四边形GFCE是矩形 ∴EF=GC， 在△ADG与△CDG中， ∴△ADG≌△CDG(SAS) ∴AG=GC ∴AG=EF，故②正确； ∵∠EGD=∠EDG=45° ∴GE=ED ∵四边形GFCE是矩形 ∴GF=CE ∴GE+GF=ED+CE=CD=4 即GE+GF的值为定值4，故③正确； ∵EF=GC ∴当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小， 在Rt△BCD 中，， ∵， ∴， ∴ ∴线段EF的最小值为，故④正确； ∴正确的有①②③④ 故选：A. 17．【答案】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴或， ∴，． 18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：由图形可知，横坐标是-6，纵坐标是2，即， 得横坐标是-4，纵坐标是-2，即； （3）解：∵将放大2倍得到 ∴和的位似比为 ∴和的相似比为 ∴和的面积比为 ∵的面积为 ∴的面积为 19．【答案】（1）解：根据题意，得Δ＝[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋1)＝－4k－3>0， 解得 （2）解：因为x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋1，x1＋x2＝－x1x2， 所以2k－1＝－(k2＋1)， 整理得k2＋2k＝0. 解得k1＝0，k2＝－2， 因为， 所以k＝－2 20．【答案】（1）解：设每次降价的百分率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了盒，由题意得，， 解得， ∴m的最小值为120， 答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒． 21．【答案】（1）证明：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=∠B=90°，AD=BC，AB=CD， ∵DF⊥AE， ∴∠DFA=∠ABE=90°， ∴∠AEB=∠DAF=90°-∠BAE， 又∵AE=AD， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AB=DF； （2）解：设AE=AD=BC=x，则BE=x-4， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得： 即 解得： x=10， ∴BC=10分米. 22．【答案】（1）选择条件，证明如下： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 条件不能证明； 选择条件，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得：或． 23．【答案】（1）证明：连接DE并延长，交CB的延长线于点G，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴. ∴EF∥BC. （2）解：①记点O为外接圆圆心，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为外接圆圆心， ∴， ∵，AE=1， ∴， ∵， ∴， 在△AEO和△ADO中， ， ∴（SSS）， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在△FAO和△OAB中， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴外接圆半径为； ②延长交于点P，过点E作，垂足为点Q， ∵AD=AE=1，， ∴AB=3AE=3， ∵，BC=4， ∴，即， ∴AP=1=AD=AE， ∵BE=AP-AE=2，PE=AE+AP=2， ∴E为BP中点， ∵， ∴， ∴， ∴∠DCN=∠DMC=∠CEM， ∴EM∥CD， ∴M为BC的中点， ∴CM=BM=2， ∵BP=BC=4， ∴∠P=∠DCM， ∵∠ECP=∠DMC， ∴△ECP∽△DMC， ∴， 设DP=a，则CD=3a，CP=4a， ∴， 解得：a=， ∴CD=. 24．【答案】（1）解：如图， ∠EAC， AB 为所求： 证明：∵∠EAC=∠DAB， ∴∠EAC-∠DAC=∠DAB-∠DAC， ∴∠DAE=∠BAC， 在△DAE与△BAC中， ∴△DAE≌△BAC(SAS)， ∴DE=BC； （2）解：将△EFC绕点E顺时针旋转90°得到△EBH，如图2所示： 则∠HEC=90°，△EFC≌△EBH， ∴∠EBH=∠EFC， BH=CF， HE=CE ， ∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形， ∴∠BEF=∠FCB=90°， ∠ECB=45°， ∴∠EBC+∠EFC=360°-90°-90°=180°， ∴∠EBC+∠EBH=180°， ∴H、B、C三点共线， ∴△EHC是等腰直角三角形， （3）解：如图3，连接BD交AE于点O，连接BF. ∵四边形ABCD是菱形， ∵∠DAB=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∵△DBF是等边三角形， ∴DE=DF，∠EDF=60°， ∴∠ADB+∠BDE=∠EDF+∠BDE， ∴∠ADE=∠BDF， 在▱ADE与▱BDF中 ∴∠DBF=∠DAE=30°，AE=BF， ∴∠ABF=∠ABD+∠DBF=60°+30°=90°， ∴AE=BF=16， ∴△ADE的面积 学科网（北京）股份有限公司 $