精品解析：云南德宏傣族景颇族自治州芒市2025年秋季学期九年级数学期末水平测试

2025年秋季学期九年级期末水平测试 数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页：满分 100 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 下面具有美好寓意的“福”、“禄”、“寿”、“禧”四个字的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知与点在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为4，则点（ ） A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 无法确定 3. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 6. “易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 9. 如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 12. 九（1）班全体同学在观看完2025年9月3日盛大的阅兵式后，内心激动不已．王老师抓住这个契机，组织九（1）班全体同学互相赠送勉励卡，以此激励大家努力学习、报效祖国．已知共赠送勉励卡1190张，问：九（1）班共有多少名学生．设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 13. 若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. D. 15. 小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 若关于x的方程其中一个根是1，则为 ___________． 17. 在平面直角坐标系中，若点和关于原点O对称，则_____． 18. 足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国的蹴鞠，是全球体育界极具影响力的体育运动之一．现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m 94 189 375 561 938 1409 1882 优等品的频率 0.94 0.945 0.938 0.935 0.938 0.939 0.941 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是______（结果精确到0.01）． 19. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，根据图中数据，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）为______（结果保留）． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20. 解方程： （1） （2） 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）画出△关于原点的中心对称图形，并写出的坐标； （2）画出△绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 22. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份单台的生产成本为10.53万元．假设该公司今年一季度每个月单台的生产成本的下降率都相同，问每个月单台的生产成本的下降率为多少． 23. 年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： （1）若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； （2）若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 24. 如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求阴影部分的面积（结果保留）． 25. 云南的德昂族酸茶非常独特且极具代表性，它已在2022年作为“中国传统制茶技艺及其相关习俗”的重要组成部分被列入人类非物质文化遗产．某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的德昂酸茶，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该德昂酸茶进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于60元销售． （1）求该德昂酸茶每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）销售单价定为多少元时，才能使商家销售该德昂酸茶每天获得的利润（元）最大，最大利润是多少元？ 26. 已知是常数，函数，记． （1）若，求的值； （2）若，比较与的大小． 27. 如图，已知为的直径，为⊙上一点，平分且交于点，过点作于点，延长，交于点，连接，． （1）若，，求的直径； （2）求证：是的切线； （3）探究，发现与证明：如图，若点是的中点，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期九年级期末水平测试 数学 试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共6页：满分 100 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，满分30分） 1. 下面具有美好寓意的“福”、“禄”、“寿”、“禧”四个字的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 2. 已知与点在同一平面内，如果的半径为5，线段的长为4，则点（ ） A. 在上 B. 在内 C. 在外 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外，则；点P在圆上，则；点P在圆内，则．直接根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径是5，线段的长为4，即点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在内． 故选：B． 3. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明年农历“大雪”节气那天下雪 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 D. 掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，正确掌握各事件的定义即可解题． 【详解】解：A、明年农历“大雪”节气那天下雪为随机事件，不符合题意． B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯为随机事件，不符合题意． C、不在同一条直线上的三个点确定一个圆为必然事件，符合题意． D、掷一枚正方体骰子，向上一面的点数是7为不可能事件，不符合题意． 故选：C． 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，分别对A、B、C、D各选项的方程进行判断即可得答案． 【详解】解：A. 只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程，故A正确． B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故B错误． C. 中未知数最高次数为3，不是一元二次方程，故C错误． D. 含有两个未知数，且不是整式方程，不是一元二次方程，故D错误． 5. 一元二次方程，配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方方法，关键是一次项系数一半的平方． 通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解： 移项得：， 配方：两边加上一次项系数一半的平方，即， ∴， 即， 故选 D． 6. “易有太极，始生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，太极图是我国古代文化关于太极思想的图示，内含表示一阴一阳的图形（一黑一白）．如图，在太极图中随机取一点，则此点取自白色部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设太极图的总面积为． 太极图是中心对称图形，黑色部分与白色部分面积相等． 白色部分的面积为． 此点取自白色部分的概率． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次方程有实数根得判别式非负，列不等式求解a的取值范围． 【详解】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 即， 解得． 8. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得：， 故选：A． 9. 如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂径定理可得，再利用勾股定理求解． 【详解】解：在中，弦的长为8，圆心到的距离， ， ， 在中，， 的半径长为． 10. 已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：由二次函数可知，其对称轴为直线． 图像显示抛物线与轴的一个交点为，且抛物线关于对称轴对称， 抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称． 设另一个交点的横坐标为，则， 解得． 关于的一元二次方程的根为，． 11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质即可直接得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可知：， 故选：． 12. 九（1）班全体同学在观看完2025年9月3日盛大的阅兵式后，内心激动不已．王老师抓住这个契机，组织九（1）班全体同学互相赠送勉励卡，以此激励大家努力学习、报效祖国．已知共赠送勉励卡1190张，问：九（1）班共有多少名学生．设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：每名学生需向除自己外的名学生赠送勉励卡，名学生共送出张， 根据题意可列方程． 13. 若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别将，，代入算出结果，进行比较即可． 【详解】解：分别将，，代入，得 ，，， ， ． 14. 如图，正六边形内接于⊙，若⊙的周长等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，由的周长等于，可得的半径，再求得正六边形的中心角，进而可得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求得答案． 【详解】解：连接，， ∵的周长等于， ∴的半径为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的边长为6． 15. 小亮爸爸想用长为米的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为米，面积为平方米，则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据栅栏总长表示出平行于墙的一边长，利用矩形面积公式列出函数关系式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为米， ∵栅栏总长为米，且一边靠墙， ∴与墙平行的一边长为米， ∴． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，满分8分） 16. 若关于x的方程其中一个根是1，则为 ___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将代入原方程得，， 解得：． 17. 在平面直角坐标系中，若点和关于原点O对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数求解即可． 【详解】解：因为点和点关于原点对称， 所以，， 解得，， 因此． 故答案为：． 18. 足球是一项非常古老的运动，最早起源于中国的蹴鞠，是全球体育界极具影响力的体育运动之一．现从一批足球中随机抽检部分足球的质量，统计结果如下表： 抽取的足球数n 100 200 400 600 1000 1500 2000 优等品的频数m 94 189 375 561 938 1409 1882 优等品的频率 0.94 0.945 0.938 0.935 0.938 0.939 0.941 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是______（结果精确到0.01）． 【答案】0.94 【解析】 【分析】在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数即可作为该事件发生概率的估计值． 【详解】解：观察表格中优等品的频率数据，随着抽取足球的数量不断增加，频率依次为0.94、0.945、0.938、0.935、0.938、0.939、0.941， 结果精确到0.01，整体逐渐稳定在0.94附近． 据此推测，从这批足球中随机抽取一个足球是优等品的概率约是0.94． 19. 如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，根据图中数据，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形获取圆锥的底面直径与母线长，求出底面半径后，利用圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知，圆锥的底面直径为，母线长为， ∴圆锥的底面半径， ∴蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分62分） 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 因式分解得：，即， ∴或， ∴，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）画出△关于原点的中心对称图形，并写出的坐标； （2）画出△绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求，点的坐标为； （2）如图，即为所求，点的坐标为 【解析】 【分析】（）根据中心对称图形的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可； （）根据旋转的性质画出图形，再根据图形写出点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 新能源汽车销量的快速增长，促进了汽车企业持续的研发投入和技术创新．某上市公司今年1月份一品牌的新能源车单台的生产成本是13万元，由于技术改进和产能增长，生产成本逐月下降，3月份单台的生产成本为10.53万元．假设该公司今年一季度每个月单台的生产成本的下降率都相同，问每个月单台的生产成本的下降率为多少． 【答案】 每个月单台的生产成本的下降率为． 【解析】 【分析】根据每月生产成本下降率相同的等量关系，列一元二次方程求解，结合实际意义舍去不合理的根． 【详解】解：设每个月单台生产成本的下降率为， ∵1月份单台生产成本为13万元，每月下降率相同， ∴3月份单台生产成本为万元 ， 由题意得， 解得，， ∵下降率需满足， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：每个月单台的生产成本的下降率为． 23. 年月日下午，在云南省德宏州芒市的泼水广场上，当地举办了民族文化展演活动．某电视台记者计划从以下四个极具民族特色的舞蹈中选取进行报道：“孔雀舞”，“象脚鼓舞”，“景颇刀舞”和“德昂水鼓舞”．请根据题目要求回答下列问题： （1）若记者从中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率是 ； （2）若记者决定选取两个不同的舞蹈进行报道，具体流程为：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个．请用列表法或画树状图法，求出记者选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中选中“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数，计算即可. 【小问1详解】 解：从四个舞蹈中随机选取一个舞蹈，恰好选到“孔雀舞”的概率为； 【小问2详解】 解：第一次随机选取一个舞蹈，第二次从剩余的舞蹈中再随机选取一个，画树状图如下： ∴共有种等可能的结果， 其中选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的次数有：，共种， ∴选取的舞蹈恰好是“象脚鼓舞”和“景颇刀舞”的概率． 24. 如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，进而得到，最终求得的度数； （2）通过证明为等腰直角三角形并结合图形可知，阴影部分面积为圆面积减去，分别求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：为的直径， ， ． ，， ， ． 【小问2详解】 解：为的直径且， ． 是的角平分线且， ． ，， ． ， ， ， 为等腰直角三角形， 阴影部分面积为圆面积减去，即， 即阴影部分面积为． 25. 云南的德昂族酸茶非常独特且极具代表性，它已在2022年作为“中国传统制茶技艺及其相关习俗”的重要组成部分被列入人类非物质文化遗产．某商家利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件30元的德昂酸茶，若销售单价为36元，则每天可卖出88件，为提高利润，欲对该德昂酸茶进行涨价销售，经调查发现：每涨价1元，每天要少卖出2件，按单价不低于成本价，且不高于60元销售． （1）求该德昂酸茶每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）销售单价定为多少元时，才能使商家销售该德昂酸茶每天获得的利润（元）最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） 函数关系式为，自变量的取值范围是 （2） 销售单价定为55元时，每天获得的利润最大，最大利润为1250元 【解析】 【分析】 （1）根据涨价时单价与销量的变化关系推导一次函数关系式，结合涨价要求与售价限制确定自变量范围； （2）根据利润的等量关系列出二次函数解析式，结合二次函数的性质求最大值； 【小问1详解】 解：∵销售单价为36元时，每天可卖出88件，每涨价1元，每天少卖出2件， ∴当销售单价为x元时，销售量，化简得， ∵商家进行涨价销售，故， 又∵销售单价不低于成本价30元，且不高于60元， ∴自变量的取值范围是； 【小问2详解】 解：∵每件德昂酸茶的成本为30元，销售单价为x元， ∴每件的利润为元， ∵每天的销售量为y件， ∴每天的总利润， 将代入上式，得， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下，w有最大值， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为1250元， 答：销售单价定为55元时，商家销售该德昂酸茶每天获得的利润最大，最大利润是1250元． 26. 已知是常数，函数，记． （1）若，求的值； （2）若，比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入函数，计算后即可得到答案； （2）把，代入函数，根据完全平方式的非负性解得，代入关于的表达式，得到的值，与进行比较即可． 【小问1详解】 解：把代入函数，得； 【小问2详解】 解：将，代入，得： ， ∴， 整理得：， ∵， ∴，解得：， ∴将代入，得：， ∵， ∴． 27. 如图，已知为的直径，为⊙上一点，平分且交于点，过点作于点，延长，交于点，连接，． （1）若，，求的直径； （2）求证：是的切线； （3）探究，发现与证明：如图，若点是的中点，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的直径为 （2）解：如下图，连接， 于点， ． ， ． 平分， ， ， ， ． 为的半径且， 是的切线． （3）存在，，使等式成立，即， 证明如下： 如下图，过作于点，则， 在与中， ， ，． ， ， ． 在与中， ， ． 点是的中点， ， 存在，，使等式成立，即． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，再根据勾股定理求解即可； （2）连接，证明半径即可得到是的切线； （3）过作于点，先证明得到，，再证明得到，继而由点是的中点，最终可以得到． 【小问1详解】 解：为的直径， ． ，， ，即的直径为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $