精品解析：湖北武汉市武钢三中2026-2027学年高二上学期10月学科素养调研数学试卷

武汉市武钢三中2026-2027学年度上学期学科素养调研 高二数学 考试时间：2026年10月24日上午10：00-12：00 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（ ） A. B. 0 C. 2 D. ±2 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行的条件计算． 【详解】由题意，， 时，方程是，即，的方程是，两直线重合，舍去， 时，方程可化为，方程化为，平行． 故选：A. 2. 假设，且A与B相互独立，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.58 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式及概率的基本性质计算即得. 【详解】由，，且A与B相互独立，得， 所以. 故选：D 3. 若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量得出斜率，再根据斜率的范围得出倾斜角的范围. 【详解】直线的方向向量， 所以斜率为，， 则， 则倾斜角的取值范围是. 故选：C. 4. 在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b， 即kx－y＋b＝0， 所以，， 解之得k＝0或， 所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0， 所以符合题意的直线有两条，选B. 5. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 6. 已知⊙C1：x2+y2＝r2和⊙C2：x2+y2﹣4x+m＝0的一条公切线方程为，则两个圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用⊙C1和⊙C2的圆心到公切线距离分别等于各自的半径长，求出，进而求出两圆的相交弦所在的直线方程，再求出⊙C1圆心到相交弦的距离，即可求出结论. 【详解】，圆心到公切线的距离为， ，⊙C2：， ，圆心，半径为， 圆心到公切线的距离为，解得， 两方程相减得 即为相交弦所在的直线方程，到相交弦的距离为， 所以相交弦长为. 故选:C. 【点睛】本题考查圆方程、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、弦长公式等基础知识，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可. 【详解】设，，所以，由， 所以，因为且，所以， 整理可得，又动点M的轨迹是，所以， 解得，所以，又， 所以， 因为，所以的最小值， 当M在位置或时等号成立. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可知圆心到直线的距离小于，建立不等式，求出的取值范围，从而得到结果. 【详解】圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于， 则，解得. 显然. 故选：ABC 10. 抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. C. D. 事件与事件相互不独立 【答案】BC 【解析】 【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B；根据独立事件的判定判断D,根据并事件的概率即可求解C. 【详解】对于A，由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，A错误； 抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种， 对于B，事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种， 事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种， 事件的样本点为，，，，，共6种， 所以,， ，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，D错误． 事件的样本点为，共3种 事件的样本点为共12种， 由于互斥，故的样本点共有15种，故，C正确， 故选：BC． 11. 棱长为1的正方体，是的中点，是平面上的动点，平面与平面的交线为，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 存在一点，使得 D. 二面角最小时，平面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，根据空间向量垂直的坐标系形式结合各选项中的条件分别计算后可判断各选项的正误. 【详解】在正方体中建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 对于A，设，故，,当时，的最小值为1，故A正确. 对于B，作点关于平面的对称点，则的最小值为,利用勾股定理计算可得，故B正确. 对于C，因为，,所以不存在一点，使得，故C错误. 对于D，设平面的法向量为，， 故，取，则，故， 又平面的法向量为， ，当时，， 此时二面角最小，此时，，即平面角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 13. 若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】联立，解得交点，代入可得：．再利用两点之间的距离公式、二次函数的性质即可得出． 【详解】解：联立，解得，． 把代入可得：． ． 点到原点的距离，当，时，取等号． 点到原点的距离的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两条直线的交点、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 14. 正四面体的棱长为，记该正四面体外接球的球心为．若点是该球面上的一动点，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四面体的结构特征求外接球的半径，根据数量积运算可得，再结合球的性质分析的最值即可得最值. 【详解】取的中点，的中心为，连接，则平面， 因为正四面体的棱长为， 则，， 设外接球的半径为， 则，即，解得， 可得，，可得， 因为， 又因为，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，求： （1）直线关于点对称的直线的方程． （2）直线关于直线对称的直线的方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用中点公式写出动点的对称点坐标，对称点在原直线上，代入原方程化简得到中心对称直线； （2）先求两直线交点，再取一点求关于对称轴的对称点，两点确定轴对称后的直线. 【小问1详解】 设所求对称直线上任意一点，记点关于的对称点为， 由线段中点公式得，即， 因为在直线上，则， 即，整理得， 故直线关于点对称的直线的方程为. 【小问2详解】 联立，解得，，得到交点， 在直线上取点， 设关于的对称点为， 因直线斜率，则由，可得，整理得①， 又的中点在直线上，得，整理得②， 联立①②，解得，，得对称点 依题意得所求直线过点与，则其斜率为， 故其方程为，即， 即直线关于直线对称的直线的方程为. 16. 如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，是与的交点. （1）在线段上找一点，使得平面; （2）在（1）的条件下，求PQ与平面的距离. 【答案】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量，则，即， 令，得，是平面的一个法向量， 设， 则， 若平面，则， 从而，即，解得， ， 当为线段上靠近的三等分点时，平面; （2） 【解析】 【分析】（1）首先以点为原点建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，并利用参数表示向量，利用向量，即可证明线面平行； （2）根据（1）的结果，利用点到平面的距离的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知， ， 到平面的距离为. 17. 已知圆C关于直线对称，且两点，在圆C上. （1）求圆C的标准方程; （2）直线l经过点，且与圆C交于A，B两点.若的面积为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的性质先求出圆心坐标，再求出圆的半径即可求解； （2）先求出圆心C到直线l的距离为，再由点到直线的距离公式求解即可． 【小问1详解】 因为，点和点的中点为， 所以以两点，为端点的线段的中垂线方程为， 整理得， 由，解得， 所以圆心，所以半径， 所以圆C的标准方程为． 【小问2详解】 因为的面积， 所以， 因为，所以，所以圆心C到直线l的距离为 若直线l的斜率不存在，则l的方程为， 此时圆心C到直线l的距离为2，不符合题意，舍去. 设直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得，或， 所以直线l的方程为或． 18. 已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限． （1）求以为直径的圆的方程； （2）若过点的直线分别交两圆于两个不同的点，，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两圆方程相减得到公共弦AB所在直线方程，结合 “连心线垂直平分公共弦” 的性质确定所求圆的圆心，再通过垂径定理计算半弦长（即半径），最终写出圆的标准方程； （2）设直线的点斜式方程，根据 “弦长|AC|=|AD|” ，利用弦长公式，列方程求解斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 根据题意，圆：，圆心为，半径为3， 圆：，圆心为，半径为4， 两圆方程相减得，所以直线的方程为． 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为． 【小问2详解】 在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点，分别在圆和圆上，易知直线的斜率存在， 设直线的方程是，即， 则点到直线的距离为，点到直线的距离为． 因为， 所以，即， 解得，故直线的方程是， 整理得直线的方程为． 19. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， （1）若点为BC中点，证明： （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 （3）求线段长的最小值 【答案】（1） 法1：因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 法2：因为为正三角形，点为BC中点，， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以， 因为， 所以，则， 因为为正三角形，点为BC中点， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， 所以， 所以； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证法1：由等腰三角形的性质得，由线面垂直的性质得，则得平面，再证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论；证法2：在中求出，在中求出，从而可求出，再在中求出，最后在中利用勾股定理的逆定理可证得结论； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴，然后利用空间向量求解即可； （3）法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，设，由表示出，从而可表示出，进而可求出其最小值；法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为，可得点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧，从而可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中EC，EA为轴，轴的正半轴， 则 ， 设平面PAC的法向量为，则 ，令，则法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面PAC与平面ACF夹角为， 则， 即平面PAC与平面ACF夹角的余弦值为； 【小问3详解】 法1：以的中点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中为轴，轴的正半轴，则， 设 ， ， 令 则， 在上单调递减，上单调递增 当时，， 法2：设BC的中点为，取PA中点，过点作平面PBC垂线，垂足为， 且平面， 点的轨迹为以PA为直径，即的球与平面PBC的相交圆弧， 由（1）可知，，相交圆半径， 点轨迹为在平面PBC中的以为圆心，为半径的圆弧， ， 【点睛】关键点点睛：此题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，解题的关键是根据题意合理建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市武钢三中2026-2027学年度上学期学科素养调研 高二数学 考试时间：2026年10月24日上午10：00-12：00 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（ ） A. B. 0 C. 2 D. ±2 2. 假设，且A与B相互独立，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.58 3. 若直线的方向向量，，则倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知⊙C1：x2+y2＝r2和⊙C2：x2+y2﹣4x+m＝0的一条公切线方程为，则两个圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互为对立事件 B. C. D. 事件与事件相互不独立 11. 棱长为1的正方体，是的中点，是平面上的动点，平面与平面的交线为，则（ ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 存在一点，使得 D. 二面角最小时，平面角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 13. 若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为________. 14. 正四面体的棱长为，记该正四面体外接球的球心为．若点是该球面上的一动点，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线：，求： （1）直线关于点对称的直线的方程． （2）直线关于直线对称的直线的方程； 16. 如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，是与的交点. （1）在线段上找一点，使得平面; （2）在（1）的条件下，求PQ与平面的距离. 17. 已知圆C关于直线对称，且两点，在圆C上. （1）求圆C的标准方程; （2）直线l经过点，且与圆C交于A，B两点.若的面积为，求直线l的方程. 18. 已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限． （1）求以为直径的圆的方程； （2）若过点的直线分别交两圆于两个不同的点，，且，求直线的方程． 19. 如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段BC上的动点， （1）若点为BC中点，证明： （2）在（1）的条件下，求平面PAC与平面ACF夹角的余弦值 （3）求线段长的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $