精品解析：湖北省咸宁市通城县第二高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

2026—2027学年度上学期湖北省通城县第二高级中学10月月考试卷 高二数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、单选题（共40分） 1. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 2. 已知，且，则（　　） A. 2 B. 6 C. 1 D. 3. 某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点A₁到直线DE的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于”，“掷出点数为”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件包含于事件 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 10. 如图，在正四棱柱中，为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线无交点 B. 直线不可能与直线垂直 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点到平面的距离为 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 12. 如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角的大小为________. 13. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 14. 边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 四、解答题（共77分） 15. 一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. （1）当时，求考生填空题得分的概率； （2）若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 16. 为了解居民用水情况，相关部门通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该地区月均用水量的60%分位数； （2）现从该地区居民中任选2户居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同户居民的月均用水量相互独立，求恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于60%分位数，现从该4户中随机选2户，求所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 19. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度上学期湖北省通城县第二高级中学10月月考试卷 高二数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，请将答题卡上交． 一、单选题（共40分） 1. 已知向量，，若，则的值是（ ） A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，利用坐标公式计算求解. 【详解】，，，，. 故选：D. 2. 已知，且，则（　　） A. 2 B. 6 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出和的坐标，利用向量平行的公式求解即可. 【详解】向量， 则 因，于是得， 解得，故． 故选：B． 3. 某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型即可. 【详解】记学生甲通过人脸识别为，刷卡为；学生乙通过人脸识别为，刷卡为. 则样本空间为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的样本点为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的概率为. 4. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为7的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先后抛掷次骰子，属于古典概型。先求出全部基本事件总数，再找出点数之和等于的基本事件个数，代入古典概型概率公式计算. 【详解】先后抛掷一颗骰子次，总基本事件数：种， 点数和为的情况有：，共种， . 5. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 6. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则点A₁到直线DE的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立空间直角坐标系,如图所示，则，从而， 故点到直线的距离是. 故选：A. 7. 如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以， 由，，得，， 又因为，所以 ， 所以，即． 8. 已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体外接球的表面积为可得正方体棱长为，建立空间直角坐标系，根据点到直线距离、点到平面距离空间向量法结合计算求解. 【详解】设正方体的棱长为， 由题意可得，解得， 以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设， 因为，所以，所以， 设点到直线的距离为， ，，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 设三棱锥的高为，则， 因为， 所以四面体的体积为. 二、多选题（共18分） 9. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，定义如下事件：“掷出的点数为偶数”，“掷出的点数小于”，“掷出点数为”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件包含于事件 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件相互独立 【答案】BD 【解析】 【详解】由题可知，设掷出点数为， 则试验的样本空间表示为， 事件，事件，事件， 对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B正确； 对于C，由于，故C错误； 对于D，由题意知，，则， 又，， 所以， 则事件与事件相互独立，故D正确． 10. 如图，在正四棱柱中，为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线无交点 B. 直线不可能与直线垂直 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 点到平面的距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，与所在平面平行，两直线无交点；选项B，取与点重合时的特殊位置证两直线垂直；选项C，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球，直接求半径后得体积；选项D，利用等体积法求距离. 【详解】选项A，在正四棱柱中，平面，因为平面，平面，所以不在同一平面且不平行，是异面直线，因此无交点，A正确； 选项B，当与点重合时，在正四棱柱中，因为底面是正方形， 所以，平面， 所以，因为，平面，平面， 所以平面，此时，B错误； 选项C，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球， 则外接球半径， 则外接球体积为，C错误； 选项D，由题，， 因为，所以为等腰三角形，则中边上的高， 设点到平面的距离为，因为， 所以，D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 12. 如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成的角的大小为________. 【答案】 【解析】 【分析】如图建立空间直角坐标系，找到坐标，据此可得答案. 【详解】如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则，. 则异面直线与所成的角满足：， 又，则. 13. 在如图所示的电路图中，开关闭合与断开的概率分别是和，、闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件开关闭合，事件开关闭合，事件开关闭合， 若灯亮，则开关闭合，开关、至少闭合一个， 故所求事件的概率为. 14. 边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，垂直于平面的方向为轴，求出、、的坐标，可求得、的值，根据，可得为线段的中点，求出其坐标，由空间中点到线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得, 过作于，则在翻折过程中， 过作于，作交的其延长线于, 过作交的延长线于，作于， 在中，，， 所以，所以， 因为，，， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，，，故四边形为矩形， 所以， 以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴， 过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，因为，， 所以二面角的平面角为， 则、、， 又因为，且， ， 所以， 所以为线段的中点，所以， 所以， 取的一个方向向量， 因此点到直线的距离. 又因为，所以， 所以. 四、解答题（共77分） 15. 一次数学考试有道填空题，共分，每道题完全答对得分，否则得分.在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能完全答对的概率分别为，，，且每道题答对与否相互独立. （1）当时，求考生填空题得分的概率； （2）若考生填空题得分与得分的概率相等，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法原理，将得分相关独立事件概率相乘，即. （2）先分别按概率乘法与加法原理算出，再由建立方程求解. 【小问1详解】 设考生填空题得20分、15分、10分分别为事件A，B，， 考生填空题得20分的概率 【小问2详解】 由题意可得：， ， 由，得 16. 为了解居民用水情况，相关部门通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该地区月均用水量的60%分位数； （2）现从该地区居民中任选2户居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同户居民的月均用水量相互独立，求恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率； （3）现有4户居民甲、乙、丙、丁，经调查，甲和乙月均用水量大于分位数，丙和丁月均用水量不大于60%分位数，现从该4户中随机选2户，求所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率. 【答案】（1），2.25吨 （2）0.48. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用各小矩形面积和为1求出，再利用分位数的意义列式求解. （2）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解. （3）利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，因此； 数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率为，则用水量吨数的分位数， 由，解得， 所以估计该地区月均用水量的分位数为2.25吨. 【小问2详解】 设事件表示第i户居民月均用水量大于分位数，则， 事件B表示恰有1户居民月均用水量大于分位数，， 因此， 所以恰有1户居民月均用水量大于分位数的概率为0.48. 【小问3详解】 试验的样本空间(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)，共6个样本点， 事件M表示所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数， 则(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁)，共4个样本点，则， 所以所选2户中恰有1户月均用水量大于分位数的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线与平面夹角的正弦值即可求出角度； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 直线与平面夹角的正弦值为， 则直线与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为. 18. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1） 正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，平面 ，，又，， 中，， ，， ，，， 又，平面，平面， 平面. （2） 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 设点，， ， ，， ，， 设平面的法向量为， ， 令，，，， 显然，平面的法向量为， ， 即，即， 解得或（舍去）， 所以存在点，且时，使得二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明； （2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作． （1）若，，求的斜坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”． ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求． 【答案】（1） （2）, 2 【解析】 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到 ，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【小问1详解】 ， 的斜坐标为． 【小问2详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $