精品解析：湖南株洲市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次检测数学（A）卷

株洲市一中2026级高一第一次检测数学（A）卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的性质，转化为即可求解. 【详解】由可得， 解得或，即不等式解集为， 故选：C 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法和不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，但是不成立，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 故选：D. 3. 下列结论中不正确的有（    ） A. （）的最大值是 B. 如果，，，那么的最大值为3 C. 函数的最小值为2 D. 如果，，且，那么的最小值为2 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解AC，根据一元二次不等式即可求解B，将“1”替换为，代入用基本不等式求解D. 【详解】对于A，如果，那么，当且仅当时取等号，故最大值为；A正确， 对于B，如果，，，则，整理得，解得，当且仅当，时取等号，所以的最大值为3，故B正确； 对于C，函数，当且仅当时取等号，此时x无解，故不能取得最小值2，故C错误； 对于D，如果，，且，那么，当且仅当，时取等号，故D正确． 故选：C 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，列出方程组，得到，结合基本不等式的性质，即可求解. 【详解】设，可得，即， 解得，即， 因为，，可得， 所以，即. 5. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合题中定义、充分不必要的性质进行求解即可. 【详解】. 因为表示不大于的最大整数， 所以由. A：显然当成立时，成立，所以本选项符合条件； B：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件； C：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件； D：显然当成立时，不一定成立，所以本选项不符合条件. 6. 命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果． 【详解】因为“，使”是假命题， 所以，恒成立是真命题， 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 故选：C. 7. 若关于x的不等式恒成立，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】结合绝对值函数的最小值性质，确定的取值，再根据的区间最值条件求解的值，再代入对数公式计算。 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立， 即当时，恒成立， 所以只需， 所以； 2、恒成立恒成立， 即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需， 所以， 联立即， 计算. 8. 已知，集合有8个子集，则的一个值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，所以，故A正确； 令，满足，此时，故B错误； 因为，所以，，所以，故C正确； 因为，则， 因为，，所以，即，故D正确； 故选：ACD 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 与集合相等的是 D. 中含有四个元素 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，讨论的符号并列出以下表格： 由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A正确. 对于B，选项:由，， 所以解不等式组得，其整数解所组成的集合为，故B正确. 对于C，若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格： 0 1 2 3 4 5 8 由表可知集合可以化简为，故C不正确. 对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格： 1 2 3 6 2 1 0 因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，，则下列选项一定正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为 C. 的最大值为16 D. 的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，，结合基本不等式和重要不等式，逐一判断即可. 【详解】因为， 所以， 又因为， 所以， 对于A，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为2，故A正确； 对于B，因为， 由A可知，当时，等号成立， 所以， 又因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，由题意可得， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 所以，不能取到等号，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可. 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 已知为正实数，且，则当取最小值时，_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据常值代换1的活用应用基本不等式求解，注意计算取等条件即可. 【详解】因为， 所以, 当且仅当即时取最小值. 故答案为：. 14. 若不等式 对任意恒成立，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得与异号或至少有一个为，分、与进行讨论即可得. 【详解】由题意可得与异号或至少有一个为， 若，即或时，有，即恒成立，则； 若，即时，有，即恒成立，则； 当，即时，在上恒成立，符合； 综上所述：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为实数集，集合， （1）当时，求； （2）若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，化简集合即可求解； （2）由题意集合是的真子集，分集合是否是空集两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由可得，解得， 所以， 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，则集合是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，，要使是的真子集， 则（等号不同时成立），解得， 当时，，此时，不满足是的真子集， 综上，的取值范围是. 16. 为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查. （1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围； （2）某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数. 【答案】（1） （2）28人 【解析】 【分析】（1）由条件得到，求解即可； （2）借助venn图即可求解. 【小问1详解】 由题意得，且，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 设只玩的人数为， 由图得，解得， 则人. 故班上这三种游戏都不玩的同学有28人. 17. 已知关于的方程的两根均在集合内． （1）求实数的取值集合； （2）设，满足 时，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的两个解，再根据两根均在集合内，列出不等式组，求出实数的取值集合； （2）根据集合间的包含关系求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由， 或 . 【小问2详解】 集合， 由题， ： 当时，，解得：；满足题意， 当时，或， 解得：. 综上所述：. 18. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】（1） 集合是“封闭集”，理由如下： 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，，，， 所以集合是“封闭集”； （2） （3） 因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以， 即 命题得证． 【解析】 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题. 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. （1）若，求的最小值； （2）求的最大值； （3）若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）3 （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可； （2）构造应用柯西不等式计算即可； （3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解； 【小问1详解】 因为柯西不等式可得， 又因为， 所以，即得. 当且仅当取最小值3； 【小问2详解】 因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得，化简得， 当且仅当取最大值9； 【小问3详解】 因为， 所以，所以， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以m的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市一中2026级高一第一次检测数学（A）卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列结论中不正确的有（    ） A. （）的最大值是 B. 如果，，，那么的最大值为3 C. 函数的最小值为2 D. 如果，，且，那么的最小值为2 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式恒成立，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知，集合有8个子集，则的一个值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 与集合相等的是 D. 中含有四个元素 11. 已知，，则下列选项一定正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最大值为 C. 的最大值为16 D. 的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是______. 13. 已知为正实数，且，则当取最小值时，_________. 14. 若不等式 对任意恒成立，则实数___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集为实数集，集合， （1）当时，求； （2）若命题，命题，且是的充分且不必要条件，求实数的取值范围． 16. 为积极响应国家对于网络游戏的防沉迷政策，某中学学生会对同学假期游戏时长进行调查. （1）小丁同学某天玩游戏的时长取值范围为非空集合，合理游戏时长为，若小丁游戏时长在合理游戏时长范围之内，求的取值范围； （2）某班共50人，其中10人玩游戏，12人玩游戏，7人玩游戏，已知玩游戏的均不玩游戏，只玩游戏的人数与游戏和游戏都玩的人数相同，只玩游戏的人数与和都玩的人数相同，求班上这三种游戏都不玩的同学人数. 17. 已知关于的方程的两根均在集合内． （1）求实数的取值集合； （2）设，满足 时，求实数的取值范围． 18. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. （1）若，求的最小值； （2）求的最大值； （3）若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $