精品解析：江苏省常州市金坛区第四中学2026～2027学年高一上学期10月监测数学试卷

2026 年秋金坛四中高一年级 10 月监测 数学试卷 满分：150 分　　时间：120 分钟　　命题人：张国兵　　审核人：马云 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列语句为命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形 B. 同位角相等 C. D. 3. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列结论正确的是（ ） A. 当 且 时， B. 当 时， C. 当 时， 的最小值为 D. 当 时， 的最小值为 6. 若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为（ ） A. 25 B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（   ） A. 6 B. C. D. 8. 某校计划在九月底召开运动会，某班共有 名同学参加 米、 米、 米三个项目，其中有 人参加“ 米比赛”，有 人参加“ 米比赛”，有 人参加“ 米比赛”，“ 米和 米”都参加的有 人，“ 米和 米”都参加的有 人，“ 米和 米”都参加的有 人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有 人 B. 只参加 米比赛的有 人 C. 只参加 米比赛的有 人 D. 只参加 米比赛的有 人 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 若，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知命题：或，那么命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 设，且，则　________　. 13. 命题“，”的否定是______． 14. 已知，且，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 16. （1）已知 ，，，求的最小值； （2）已知 ，求 的最大值． 17. 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知集合，. （1）若全集，写出集合的补集； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 19. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. （1）将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年秋金坛四中高一年级 10 月监测 数学试卷 满分：150 分　　时间：120 分钟　　命题人：张国兵　　审核人：马云 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐个判断元素与数集的从属关系，注意 是含有一个元素 的集合． 【详解】① 是无理数，当然是实数，，正确； ②是分数，则，正确； ③ 是自然数，则，正确； ④是集合 的元素，，正确． 所以正确的个数为 ． 2. 下列语句为命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形 B. 同位角相等 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【详解】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 3. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义取两集合的并集. 【详解】集合 ，，根据并集的定义可知． 4. 已知，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 当 且 时， B. 当 时， C. 当 时， 的最小值为 D. 当 时， 的最小值为 【答案】B 【解析】 【详解】A项：当 时 ，为负值，故最小值不为2，故A错误； B项：，，当且仅当 时取等号，正确； C项： 时 ，，故，则， 故没有最小值，所以C错误； D项： ，根据三元均值不等式， 得出，，故D错误. 设，， ，， 故，即，当且仅当时取等号， 令，则. 6. 若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为（ ） A. 25 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由a>0，b>0知，结合基本不等式有目标式，又a＋2b＝5即可求最大值 【详解】a>0，b>0，a＋2b＝5 而，当且仅当时取等号 故选：D 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，找到目标式与已知等式中代数式的关系，应用基本不等式的知识转化为不等式形式且让不等号的一边含已知等式的代数式部分即可求最值，另外注意基本不等式使用前提“一正二定三相等” 7. 已知，，且，则的最小值为（   ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D 8. 某校计划在九月底召开运动会，某班共有 名同学参加 米、 米、 米三个项目，其中有 人参加“ 米比赛”，有 人参加“ 米比赛”，有 人参加“ 米比赛”，“ 米和 米”都参加的有 人，“ 米和 米”都参加的有 人，“ 米和 米”都参加的有 人，则下列说法错误的是（ ） A. 三项比赛都参加的有 人 B. 只参加 米比赛的有 人 C. 只参加 米比赛的有 人 D. 只参加 米比赛的有 人 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，设集合并作出韦恩图，利用容斥原理求三项都参加的人数，再分别求“只参加一项”的人数并与选项比对． 【详解】不妨记参加“ 米比赛”、参加“ 米比赛”、参加“ 米比赛”分别为集合,如图所示. 设三项都参加的有 人，由容斥原理 ，解得 ，A正确； 只参加 米的： 人，B正确； 只参加 米的： 人，C错误； 只参加 米的： 人，D正确． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 若，，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合的包含关系对的值分类讨论，利用集合元素的互异性进行排除. 【详解】因为，所以； 若，则，时，，不符合集合元素的互异性，舍去；时，，，满足，故A正确； 若，则，时，，，满足，故B正确；时，，，满足，故C正确； 若，则，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，则或0，时，，，满足； 所以或或， 故选：ABC. 10. 已知命题：或，那么命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】设命题对应的范围为集合或． 则命题成立的一个充分不必要条件对应为集合的真子集. 对于A，设，则⫋，故A正确； 对于B，设，则，C不是A的子集，无法推出p,故B错误； 对于C，设，⫋，故C正确； 对于D，设，不是A的子集，无法推出p，故D错误. 11. 已知，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐项用基本不等式（或配方法）求最值，注意“一正二定三相等”． 【详解】对于A：，当 时取等号，正确； 对于B：因为，所以，当且仅当即 时取等号，正确； 对于C：令 ，因为，所以， 那么原式 ，当且仅当即 时取等号， 由于，所以上式无法取等式，所以，故 的最小值不是 ，错误； 对于D：，当且仅当即 时取等号，正确． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 设，且，则　________　. 【答案】 【解析】 【详解】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，即是方程的根. 将代入方程得，解得. 13. 命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，”的否定是： “，”． 14. 已知，且，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知条件含，目标式含有，故先对条件变形，构造出和为定值，再利用“1的代换”结合基本不等式求解最小值，最后验证等号能够成立即可． 【详解】因为（），则， 两边同除以得 ，  则，其中，，  根据基本不等式可知 ， 当且仅当，即时取等号， 联立，解得，，满足，的条件， 因此，即最小值为． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知全集，集合或. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或. （2）或. 【解析】 【小问1详解】 ∵集合或， ∴或. 【小问2详解】 ∵全集，集合， ∴或， 又或， ∴或. 16. （1）已知 ，，，求的最小值； （2）已知 ，求 的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）用“”的代换求解的最小值； （2）换元后化为基本不等式求最值． 【详解】（1）已知 ，，， 则， 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号， 故的最小值为 ． （2）已知 ，则， 令 ，则 ， ， 当且仅当，即时取等号，此时，满足 故的最大值为 ． 17. 设集合. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解. （2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足， 所以或. 【小问2详解】 由（1）可知，，， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，由（1）知； 若，则，无解， 所以实数的取值范围是. 18. 已知集合，. （1）若全集，写出集合的补集； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由补集的定义求解； （2）根据求解； （3）根据，为真命题求解. 【小问1详解】 由题意或； 【小问2详解】 若“”是“”的充分条件，则，所以，解得； 【小问3详解】 若命题“，”是假命题，则命题“，”为真命题， 所以①，解得， ②时，或，解得或， 综上，或. 19. 为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）. （1）将表示为的函数，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出最大值. 【答案】（1）， （2）当为时，取得最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围. （2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为，所以，， 因为，，所以. 【小问2详解】 当且仅当，即时，等号成立， 所以当为时，取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $