精品解析：江苏省连云港市海州高级中学2026～2027学年高一上学期第一次阶段测试数学试卷

江苏省海州高级中学 2026 级高一年级第一次阶段测试 数 学 出卷人：卢琪 审核人：黄明明 考试时间：120 分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集运算，即可求解. 【详解】， 故选： 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶次根式有意义的要求可解不等式求得集合，根据交集定义可得结果. 【详解】由得：，即，又，. 故选：B. 3. 命题“，”的否定是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题：改量词、否结论，条件中的范围不变． 【解答】“，”的否定是“，”． 4. “”是“”的（ ）条件 A. 充分 B. 必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】判断充分性：若，当时，，因此无法推出，不是充分条件； 判断必要性：若，则和都不能为0，可推出，因此是必要条件. 综上，“”是“”的必要条件. 5. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题为真，得出即可求参. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：A. 6. 设全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到与集合的关系. 【详解】由题知， ， 所以又， 所以. 故选：C. 7. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式的解集为，依题意有，可求实数的范围. 【详解】不等式解得， 若“”的一个必要不充分条件是“”， 则有，所以. 故选：D. 8. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】把条件变形为 ，用“ 的代换”求 的最小值． 【解答】由 两边同除以 得 ． 于是 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故最小值为 ． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 若 ，则错误的结论是 （ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】取 ，， A项：，，而 ，故A错误； B项：，故B错误； D项：，，而 ，故D错误； C项：因为，不等式两端同乘以，则，故C正确. 10. 下列命题正确的是 （ ） A. “”是“”的充分不必要条件， B. ， 是真命题， C. 如果集合 满足 ，则满足条件的集合 的个数为， D. “”的充要条件是，都不为. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A项：，反之不成立（如 ）满足，不满足，充分不必要条件，正确； B项：，方程无解，命题为假，错误； C项： 必含 ，还可从 中任选若干个，共 个，去掉 等于全集的情形，得 个，正确； D项： 且 ，正确． 11. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为 【答案】AB 【解析】 【详解】利用基本不等式结合已知条件逐项分析判断． 【解答】对于A：，当且仅当时取等号，A正确； 对于B：，当且仅当时取等号，B正确； 对于C：因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，结合得， 与矛盾，故最大值取不到，C错误； 对于D：，最小值为（此时，），D错误． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知集合 ，若 ，则实数 ______． 【答案】 【解析】 【分析】按 是哪个元素分类，再检验元素的互异性． 【详解】若 ，则 ，不满足互异性，舍去； 若 ，则 ，解得 （舍去）或 ， 当 时 ，符合题意． 所以 ． 13. 不等式的解集是___________________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得，解得. 所以不等式的解集为. 14. 若“，使得”为假命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】命题为假即其否定为真，转化为二次不等式恒成立即可． 【解答】原命题为假，等价于命题“，”为真命题， 所以 ， 解得 ， 所以的取值范围为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知非空集合，，设命题：“”，命题：“”． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入集合A，根据集合交集运算可得结果； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出A是B的真子集，再由包含关系得出实数m的取值范围． 【小问1详解】 当时，，又， 所以. 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，故A是B的真子集， 由题，则，解得：， 所以实数的取值范围为. 16. 设，，为实数，不等式的解集是或． （1）求的值； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）关于的二次方程的两根分别为，利用韦达定理可求得结果. （2）代入后解二次不等式即可． 【小问1详解】 由不等式的解集是或， 可知，且是的两根， 由韦达定理，，即，， 所以． 【小问2详解】 由，得， 两边同除以，得，即， 即，解得或， 所以解集为． 17. 命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 18. 某养殖场计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为平方米的矩形区域修建一个养殖场，规定的每条边长均不超过米．如图所示，矩形为养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为米宽的鹅卵石小径．设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）． （1）用表示，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出此最大值． 【答案】（1）， （2） 米时，取得最大值平方米 【解析】 【分析】（1）设出另一边，把长、宽各减去两侧小径后相乘可得，利用每边不超过米，可求得的取值范围； （2）利用（1）的函数解析式，结合基本不等式求最值即可． 【小问1详解】 因为矩形的面积为，，所以， 四周小径宽均为米，故，， 所以． 由每条边不超过米，得且，即， 所以的取值范围是． 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当米时，取得最大值平方米． 19. 已知集合 为非空数集．定义：，．求解下述两个问题： （1）若集合 ，直接写出集合 ，；（不必写过程） （2）实际上 为“集合 的 次自相加集合”．在此基础上，再进行 次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合 的 次自相加集合”．若集合 的任意 次自相加集合都不相等，则称集合 为“理想自相加集合”．已知 ，判断集合 是否是“理想自相加集合”，并说明理由． 【答案】（1），； （2）集合 是“理想自相加集合”．理由： 中任意 个元素（可重复）之和的最小值为 ，最大值为 ， 且由于 连续， 到 之间的每个整数都能取到， 所以 的 次自相加集合为 （）． 对任意正整数 ，第 次与第 次自相加集合分别为 与 ，两者的最小元素不同，故不相等； 又各次集合的最小元素互不相同，所以任意 次自相加集合都不相等， 故 是“理想自相加集合”． 【解析】 【分析】（1）按定义把 的所有取值代入计算； （2）求出 的 次自相加集合的通式，再说明它们两两不相等． 【小问1详解】 ； ． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海州高级中学 2026 级高一年级第一次阶段测试 数 学 出卷人：卢琪 审核人：黄明明 考试时间：120 分钟 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “”是“”的（ ）条件 A. 充分 B. 必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设全集，集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 7. 若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 若 ，则错误的结论是 （ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是 （ ） A. “”是“”的充分不必要条件， B. ， 是真命题， C. 如果集合 满足 ，则满足条件的集合 的个数为， D. “”的充要条件是，都不为. 11. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知集合 ，若 ，则实数 ______． 13. 不等式的解集是___________________. 14. 若“，使得”为假命题，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知非空集合，，设命题：“”，命题：“”． （1）若，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 设，，为实数，不等式的解集是或． （1）求的值； （2）解不等式． 17. 命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 某养殖场计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为平方米的矩形区域修建一个养殖场，规定的每条边长均不超过米．如图所示，矩形为养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为米宽的鹅卵石小径．设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）． （1）用表示，并写出的取值范围； （2）当为多长时，取得最大值？并求出此最大值． 19. 已知集合 为非空数集．定义：，．求解下述两个问题： （1）若集合 ，直接写出集合 ，；（不必写过程） （2）实际上 为“集合 的 次自相加集合”．在此基础上，再进行 次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合 的 次自相加集合”．若集合 的任意 次自相加集合都不相等，则称集合 为“理想自相加集合”．已知 ，判断集合 是否是“理想自相加集合”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $