精品解析：广东省梅州市五华县高级中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段考数学试题

五华县高级中学2026-2027学年度第一学期高一级 第一次阶段考试数学 满分150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设集合，则下列结论中正确的有 A. B. C. D. 10. 已知实数，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______． 13. 已知集合，，且，则______． 14. 设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 16. ①，②，③ （1）求方程①②③的解． （2）解不等式①，② （3）设，，求，． 17. 已知，，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 18. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五华县高级中学2026-2027学年度第一学期高一级 第一次阶段考试数学 满分150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中的元素，最后求得结果. 【详解】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得，故选A. 点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知：，则. 故选：C. 【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 3. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，的否定为，， 所以为，. 4. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断. 【详解】由且，得；反之，由，得且，或者且， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数的定义域和值域均为，则的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义可判断；根据图象一一分析函数的定义域和值域，即可判断其它选项. 【详解】对于，直线与图象有两个交点，不符合函数的定义，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，符合题意，故正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确； 对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确. 故选：. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，解得，故原函数的定义域为. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及基本不等式可得，即可求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，当且仅当时取等号， 则，所以，即， 当且仅当时取等号，故的最小值为9. 故选：C 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设集合，则下列结论中正确的有 A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，；对B，；对C，D，通过集合运算，可知都是正确； 【详解】对A，集合中，故错误； 对B，，故B错误； 对C，因为，，显然，故C正确； 对D，或，，故D正确 故选CD. 【点睛】本题集合间的基本关系、集合间的交、并、补运算，考查基本运算求解能力. 10. 已知实数，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，逐项作差或利用不等式性质判断，并注意平方、倒数在符号不确定时的变化. 【详解】对于A，不等式等价于，与矛盾，所以A不成立. 对于B，取，满足，但，所以B不成立. 对于C，由，两边同乘得. 两边同加，得，所以C成立. 对于D，取，满足，但，所以D不成立. 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是______． 【答案】， 【解析】 【详解】原命题是存在量词命题，故该命题的否定为，. 13. 已知集合，，且，则______． 【答案】3 【解析】 【详解】因为， 所以，或， 当时，解得，此时，不符合集合元素互异性，舍去； 当时，解得，或， 当时，且，不符合集合元素互异性，舍去； 当时，，，显然符合集合元素互异性， 综上所述：. 14. 设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数是__________，子集的个数是__________. 【答案】 ①. 3 ②. 8 【解析】 【分析】根据条件求出，进而可得结果. 【详解】按的定义，中元素为，共3个，子集个数为个. 故答案为：①3②8. 四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集. （1）求，； （2）求. 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【小问1详解】 易知，又， 所以，. 【小问2详解】 已知全集，易知或，， 因此或. 16. ①，②，③ （1）求方程①②③的解． （2）解不等式①，② （3）设，，求，． 【答案】（1）①，②或，③或 （2）①或②或 （3）或，或 【解析】 【分析】（1）①运用直接开平方法进行求解即可； ②③运用十字相乘法进行求解即可； （2）①②运用（1）的结论，根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （3）运用（2）的结论，根据集合交集的定义进行求解即可. 【小问1详解】 ①； ②，或； ③或. 【小问2详解】 ①，或， 所以该不等式的解集为或； ②或. 所以该不等式的解集为或. 【小问3详解】 因为或， 或， 所以或，或. 17. 已知，，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 18. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． （1）当时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【小问1详解】 ，故， ， 故； 【小问2详解】 是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； 【小问3详解】 由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $