精品解析：广东深圳南方科技大学附属中学2026-2027学年上学期高一年级综合测评（一）数学试卷

南科大附中2026年秋季学期高一年级综合测评（一） 数学 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全集先求出，进而可得到. 【详解】因为全集，集合，所以， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题的否定是特称命题，只改量词与结论，前提条件不变. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 4. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合集合运算以及分式不等式的运算，直接判断充分性和必要性即可. 【详解】由得，， 所以， 又，所以， 则若，可得， 若，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知，且，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】整理得，，，进而比较大小即可. 【详解】由， ， ， 而， 则，即. 故选：D. 7. ，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先排除的情况，再根据一元二次不等式恒成立，得出的值，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】当时，不会恒成立，所以， 所以，即， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A. 8. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解，即可求解. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是正确的． 9. 已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. ，，则 C. 若， D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的性质结合特例一一分析选项即可. 【详解】对于A：由同向可加性知，两侧同时减去， 则成立，故A正确； 对于B：作差有，即，故B错误； 对于C：若时，显然不成立，故C错误； 对于D：由知，由同向同正可乘性知， 所以，故D正确. 故选：AD 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本大题包括3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得二元一次方程组求解计算即可求得所求的点集. 【详解】由题意得：，解得：， ∴ 故答案为： 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 【答案】0 【解析】 【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式，解得， 由根与系数的关系可得： ，， ∵， ∴， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， ∵， ∴舍去， 故． 14. 若，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】等式两边平方，结合基本不等式可求答案. 【详解】由，可得， ，当且仅当时，等号成立； 即，解得，故的最大值为. 四、解答题（本大题包括5小题，共77分．） 15. 已知集合，. （1）若，求，，； （2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） ，或， 或； （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式，再根据交集、并集、补集的概念计算即可； （2）利用充分条件、必要条件的定义转化为集合间的关系，计算参数即可. 【小问1详解】 解不等式可得，时，， 则或，或， 所以，或， 或； 【小问2详解】 由题意可知是A的真子集，， 若，即时，显然符合题意； 若，即时，要满足条件需， 解得；综上所述. 16. 已知，命题恒成立；命题存在，使得． （1）若p为真命题，求m的最大值； （2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1）3 （2）或 【解析】 【分析】（1）恒成立问题转化为最值问题； （2）p，q有且只有一个真命题，即一真一假. 【小问1详解】 ∵∴，解得， 故实数m的取值范围是， ∴m的最大值为3； 【小问2详解】 当q为真命题时，则，解得， ∵p，q有且只有一个真命题， 当p真q假时，，解得； 当p假q真时，，解得； ∴或 17. 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本. 【答案】（1）每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得（舍去）或， 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 18. 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）转化为不含参数的一元二次不等式求解. （2）转化为在给定区间上，二次不等式恒成立的问题，再结合分离参数法，求参数的取值范围. （3）分类讨论，解含参数的一元二次不等式. 【小问1详解】 当时，或. 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 ，因为，所以，. 问题转化为，. 设，则二次函数，对称轴为， 所以在上单调递减，所以. 所以.. 即的取值范围为. 【小问3详解】 即. 当时，不等式可化为：，解得； 当时，不等式可化为：. 若即时，解得； 若即时，不等式无解； 若即时，解得. 当时，不等式可化为，解得或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 【答案】（1） （2），当且仅当且同号时等号成立 （3）当时，有最小值 【解析】 【分析】（1）根据“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）根据“1”的代换，有，利用基本不等式求解判断； （3）令且，由（2）得到，求得，得到，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 则， 当且仅当即时，. 【小问2详解】 由，可得， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立， 此时满足. 【小问3详解】 令且， 由，即， 则，解得， 因为，所以，则， 所以， 当且仅当，即等号成立，此时， 所以当时，有最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南科大附中2026年秋季学期高一年级综合测评（一） 数学 （本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡左上角“条形码粘贴处”． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回． 一、选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 4. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则的最小值（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. ，不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. D. 10 8. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题（本大题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题列出的四个选项中，有多个选项是正确的． 9. 已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. ，，则 C. 若， D. 若，，则 10. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 三、填空题（本大题包括3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，，则______. 13. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则m的值为______． 14. 若，则的最大值为________． 四、解答题（本大题包括5小题，共77分．） 15. 已知集合，. （1）若，求，，； （2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知，命题恒成立；命题存在，使得． （1）若p为真命题，求m的最大值； （2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围． 17. 中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元? （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本. 18. 已知函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围； （3）解关于的不等式． 19. 学习与探究问题：正实数，满足，求的最小值.求解本问题的方法很多，其中一种求解方法是：，当且仅当即且时，即时等号成立.这种解题方法叫作“1”的代换，利用上述求解方法解决下列问题： （1）已知正实数，满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较与的大小，并注明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并注明使得取得最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $