精品解析：安徽合肥市第三十八中学2026-2027学年度上学期九年级第一次学情自测数学试题

数学练习 试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而减小 3. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 7. 二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 10. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 12. 在某闭合电路中，通过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为_________． 13. 如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． （1）求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； （2）请判断，的大小关系． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，二次函数与反比例函数的图象交于． （1）求k的值； （2）根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求的值及点的坐标； （2）将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． （1）判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 20. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 六、（本题满分12分） 21. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 七、（本题满分12分） 22. 二次函数的图象与直线相交于、两点（如图），点在y轴上，过点作轴，垂足为． （1）点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值； （2）在（1）的条件下，点在何位置时，与相互垂直平分？并求出所有满足条件的点的坐标． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点，，都在抛物线上． ①求，的值（用含a的代数式表示）； ②当时，线段上所有横坐标为整数的点个数为m，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习 试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 3. 抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 4. 若点，都在函数的图象上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：在函数中，， ∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，， ∵， ∴点在第一象限，， ∴． 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 6. 如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 7. 二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 8. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 9. 已知点在函数的图象上，点在函数的图象上，点在函数的图象上，，，均大于0．三个函数的图象位于第一象限的部分如图所示，当时，下列大小关系不可能的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出三个函数图象在第一象限的交点，再根据图象分情况解答即可； 【详解】解：联立与得，整理得，解得：， 联立与得，解得：或， 联立与得，整理得，解得：或， ∴函数、函数、函数的图象在第一象限交于点， 故三个函数的图象位于第一象限的部分， 当时，，B选项可能； 当时，根据图象可得，，A选项可能； 当时，根据图象可得，，C选项可能； 综上，D选项不可能． 10. 反比例函数与二次函数（）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质；先根据反比例函数图象确定的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可 【详解】A、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向上，且与轴交于负半轴，故此选项错误； B、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项正确； C、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，且与轴交于正半轴，故此选项错误； D、由反比例函数图象知：，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误； 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中  为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式为， ∵开口向下， ∴， 二次函数的解析式为（答案不唯一）． 12. 在某闭合电路中，通过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的数据如下表所示． … 4 5 6 … … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据待定系数法求出与的函数关系式，再计算的值． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设 将，代入，得， ∴关于的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴． 13. 如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图象上，则线段扫过的面积为_________． 【答案】 4 【解析】 【分析】设点坐标，根据平移性质确定点纵坐标，结合反比例函数解析式求点横坐标，从而得出平移距离，利用平行四边形面积公式计算． 【详解】设点的坐标为 ． ∵线段沿轴向右平移至线段 ， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，为 ． ∵点落在反比例函数的图象上 ， ∴ ． ∴ ． ∴点的坐标为 ． ∴平移的距离为 ． ∴线段扫过的图形为平行四边形，其面积为． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式进行计算即可； （2）根据对称性得到和时的函数值相等，根据增减性结合题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线． （2）∵，抛物线的对称轴为直线， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，和时的函数值相等． ∵当，时，均满足， ∴， ∴t的取值范围为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． （1）求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； （2）请判断，的大小关系． 【答案】（1）直线 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可； （2）根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小． 【小问1详解】 解：∵二次函数（m为常数） ∴二次函数的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点到对称轴的距离比到对称轴的距离远． ∵抛物线开口向上， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若抛物线过点，求该抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出顶点纵坐标，根据抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度， ∴，解得或． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，二次函数与反比例函数的图象交于． （1）求k的值； （2）根据图象，写出二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与二次函数综合，图象法求不等式的解集．熟练掌握反比例函数解析式反比例函数与二次函数综合，图象法求不等式的解集是解题的关键． （1）将代入得，可求，则，将代入，计算求解可得的值； （2）根据二次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为二次函数图象在反比例函数图象上方部分所对应的的取值范围，结合图象作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴k的值为； 【小问2详解】 解：由图象可知，二次函数值大于反比例函数值时x的取值范围为或． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求的值及点的坐标； （2）将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）将代入即可求解；然后根据中点得到，再结合点的坐标求解点的坐标即可； （2）由题意可设平移后的，将点代入即可求解，得到点的坐标，再由点的坐标即可求解平移的距离． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 生活中有各式各样的电子屏幕，不同尺寸的屏幕，在同一分辨率下，像素密度也会不同．某班学生收集了在同一分辨率下，某些电子屏幕尺寸（单位：英寸）和像素密度（单位：）的相关数据，在图中描出了部分数据所对应的点，发现像素密度和屏幕尺寸之间近似存在一个函数关系． （1）判断：是关于的__________函数（填“一次”或“反比例”）； （2）求这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； （3）某电子屏幕尺寸为50英寸，根据（2）中求出的函数解析式，求它在该分辨率下的像素密度． 【答案】（1）反比例 （2）这个函数的解析式为； （3）它在该分辨率下的像素密度为． 【解析】 【分析】（1）根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）把代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象得像素密度和屏幕尺寸之间近似存在反比例函数关系； 【小问2详解】 解：设反比例函数解析式为， 将时，代入得： ， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问3详解】 解：把代入得 ， 答：它在该分辨率下的像素密度为． 20. “运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． （1）建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． （2）当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图： 抛物线表达式为 （2）拱顶到水面的距离为 【解析】 【分析】（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，再由待定系数法求解即可； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为，将代入，求出水面距离的高度，即可求解拱顶到水面的距离． 【小问1详解】 解：以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为． 六、（本题满分12分） 21. 政府要对某音乐广场上的圆形喷水池及其装置进行改造． 问题 圆形喷水池中心竖直安装一根水管，水管顶端安装一个向外喷水的喷水头，喷出抛物线形水柱．现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变，圆形喷水池的直径至少是多少米，水才不会喷到池外． 过程 方法说明 利用皮尺进行测量，利用二次函数模型进行计算． 操作说明 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 数据测量 原喷水池直径为16米，喷水头距离地面0.8米，喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水管水平距离为3.5米处达到最高． 建立模型 计算，交流展示…… 请根据上述信息，完成下列问题： （1）设改造前喷出水柱所在抛物线对应的函数解析式为，求a，b的值； （2）求改造后圆形喷水池的直径至少是多少米？ 【答案】（1）， （2）米 【解析】 【分析】（1）抛物线经过，对称轴为直线，再由待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的平移求出平移后的抛物线的表达式，再令，求出，即可求解半径． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线经过，对称轴为直线， ∴ 解得； ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）可得原抛物线的表达式为， 配方可得， ∵现将水管向上增高1米，喷出的抛物线形水柱形状保持不变 ∴新抛物线的表达式为，即， 当时，， 解得，（舍去）， ∴（米） ∴改造后圆形喷水池的直径至少米． 七、（本题满分12分） 22. 二次函数的图象与直线相交于、两点（如图），点在y轴上，过点作轴，垂足为． （1）点是二次函数图象上一点（点在上方），过作轴，垂足为点，交于点，求的最大值； （2）在（1）的条件下，点在何位置时，与相互垂直平分？并求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设M，N横坐标为，利用纵坐标之差表示铅垂线段，构造二次函数，配方法求最值；注意自变量范围，对称轴在区间内． （2）由，且、互相平分，可证四边形为平行四边形；由平行四边形对边相等列方程求出候选横坐标，再结合条件，利用勾股定理验证邻边是否相等，筛选出符合菱形要求的解． 【小问1详解】 解：把代入直线得， 即； 已知，轴， 将代入直线解析式，得 ，即， ． 设点M、N的横坐标为， ，． 在上方， ， ∴抛物线开口向下，自变量取值范围为，对称轴在此区间内， 当时，取得最大值． 【小问2详解】 连接，， 轴，轴， ． 又与互相平分， 四边形是平行四边形． 由平行四边形对边相等，得： 整理得， ， 解得． ①当时， ，，， ，， 由勾股定理，， ，平行四边形邻边相等，是菱形，满足，符合题意． ②当时， ，，， ，， ，邻边不相等，对角线不垂直，舍去． 综上，满足条件的点坐标为． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线． （1）求抛物线顶点的纵坐标； （2）点，，都在抛物线上． ①求，的值（用含a的代数式表示）； ②当时，线段上所有横坐标为整数的点个数为m，求m的值． 【答案】（1）3 （2）① ② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式求出抛物线与轴的两个交点，再根据对称性代入对称轴横坐标，即可求出顶点纵坐标； （2）①根据点的纵坐标，令求出即可； ②根据①求出，进一步可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：令， ∴， ∴或， ∴抛物线与轴的两个交点为， 则抛物线的对称轴为直线：， 把代入抛物线解析式得 解得，即为抛物线顶点的纵坐标． 【小问2详解】 解：①令，可得， 即， ∴， ，， 故解得； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴的整数值为：， 故线段上所有横坐标为整数的点个， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $