精品解析：安徽省合肥市瑶海区行知中学 2025-2026学年九年级上学期月考（10月份）数学试卷

2025－2026学年度第一学期九年级数学（学科） 教学调研问卷 温馨提示： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟；试卷由“试题卷”和“答题卷”两部分组成，共23小题； 2.务必在答题卷的装订线内和指定区域答题，否则无效．考试结束后，请将“答题卡”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列两个图形一定相似的是(　　) A. 两个矩形 B. 两个等腰三角形 C. 两个五边形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的判定方法依次进行判断即可. 【详解】解：A.两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意； C．两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； D．两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意． 故选：D. 【点睛】此题主要考查相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似多边形的判定方法. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 3. 对于二次函数，下列说法正确的是：（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数的最大值是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据可得抛物线的开口向下，再根据二次函数的对称轴、增减性和最值逐项判断即可得． 【详解】解：二次函数中，， ∴这个二次函数的图象的开口向下，图象的对称轴是直线，则选项A和B错误； ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；则选项C错误； ∴当时，取得最大值，最大值为，则选项D正确； 故选：D． 4. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，四条线段满足，即与的比等于与的比。将已知数值代入比例式，解方程即可求出的值。 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 将，，代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 故选：C． 5. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：令， 得方程，， 由二次函数的图象与轴有交点， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 6. 在函数（ ）的图像上有A（1，）、B（－1，）、C（－2，）三个点，则下列各式中正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数（ ），当时，函数在第二象限，y随x增大而增大；当时，函数在第四象限，y随x增大而减小，比较函数大小得出结论． 【详解】如图， 函数（ ），当时，点A（1，）在第四象限， ； 当时，点B、点C在第二象限，函数值大于零，且y随x增大而增大， ； 综合以上信息可得： ． 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数图像性质，牢记反比例函数图像特征是解题关键． 7. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线等分线段定理成为解题的关键． 由得，根据可得，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，则，解得：． 故选：A． 8. 函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．先根据函数的图象判断出，再根据二次函数的图象特点逐一判断选项即可． 【详解】解：∵函数的开口向下，与轴的交点位于正半轴，且对称轴位于轴的右侧， ， ， ∴函数的开口向下，对称轴为直线，与轴的交点位于负半轴， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 9. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 10. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：（ ） ① ②当时，； ③若且，则； ④若，则； 其中正确的个数有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象和对称轴可得，，，即可判定①；由二次函数的性质可判定②；由二次函数的对称性可判定③；求出点坐标，得到，即得，再把代入得到，即得可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，与轴的正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴时，函数取最大值，最大值， ∴当时，有， 即，故②正确； ③当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，即，故③错误； ④当时，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确结论的有个， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数，将该二次函数的图象向下平移3个单位，所得新的函数表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位，所得新的函数表达式为， 故答案为：． 12. 已知点是线段的黄金分割点，那么的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点的知识，需要根据黄金分割点的定义，结合已知条件求出的长度．黄金分割点的定义是较长部分与整体的比等于黄金分割比，需注意为较长部分，因此需正确应用公式进行计算． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， ． 故答案为：． 13. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）设，先求出，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，由此即可得； （2）设，先求出，，再求出，反比例函数的解析式为，然后求出，则，，最后根据可得的值，由此即可得． 【详解】解：（1）设， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点的纵坐标为， ∵点为的中点， ∴， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴点的纵坐标为， ∵，， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数得：， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是12， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：5． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知 （1）求的值； （2）若，求，的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键． （1）利用已知表示出，的值，进而求出答案； （2）直接利用已知，进而得出答案． 【小问1详解】 解：由，设，； ； 【小问2详解】 解：， ， 解得：， ，． 16. 已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】（1）次函数的表达式为，对称轴为直线 （2）最大值为8，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【小问1详解】 解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. （1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 【答案】（1）4；（2）2或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． （1）先根据比例的性质可得，，，再得出，代入化简即可得； （2）先根据比例的性质可得，再分两种情况：①当时，则；②当时，则，代入即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，且， ∴， ①当时，则； ②当时，则， ∴； 综上，的值为2或． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是： （1）将点代入，求得，进而可得反比例函数的解析式，再把点代入反比例函数的解析式可求出，将，代入即可得出一次函数的解析式； （2）根据一次函数与反比例函数交于点，，结合函数的图象即可得出当时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：把点代入， 得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵一次函数与反比例函数交于点，， ∴根据一次函数和反比例函数的图象得：当时，x的取值范围是：或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线（a是常数）． （1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）若该抛物线与轴交于点A，B，且，求的值． 【答案】（1） 证明：令，得， 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； （2）1或5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程综合． （1）令，得，证明即可； （2）令，得，根据根与系数的关系可得进而得到根据得到求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，得， 该抛物线与轴交于点A，B，且， 整理，得，解得或． 20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知中，，，平分，求的周长． 【答案】（1） 证明：如图2，过作，交的延长线于， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． （1）过作，交的延长线于，则，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先利用勾股定理可得，再根据（1）的结论可得的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据三角形的周长公式求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∵在中，平分， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴的周长为． 六、（本题满分12分） 21. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 【答案】（1）（0＜x＜3）； （2）不会被淋湿，理由： 当时，有， ∵ ∴不会被淋湿． 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（3，0），求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的函数值，由此即可得出结论． 【详解】（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为（a≠0）， 将（3，0）代入，得：4a+3=0， 解得：， ∴水柱所在抛物线的函数表达式为（0＜x＜3）． （2）略 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， 点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线截线段成比例定理，中点的性质等知识点， （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线截线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 熟练掌握了平行线截线段成比例定理是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点D作交于点H， ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的值为． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求的值； （2）若该二次函数图象经过，两点，求的最小值； （3）在第（2）问的条件下，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象点的坐标特征将点代入，然后求解即可； （2）根据，两点的纵坐标相同，可确定该抛物线的对称轴为直线，再利用二次函数的对称轴公式得，可得，继而得到，再根据二次函数的最值可得结论； （3）由（2）知：二次函数解析式为，对称轴为直线，且当时，取得最小值，当时，，然后分三种情况：当时；当时； 当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点， ∴， ∴或， ∴的值为或； 【小问2详解】 ∵二次函数图象经过，两点，且这两点的对称轴相同， ∴对称轴为直线， 又∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为； 【小问3详解】 由（2）知：，则二次函数解析式为，对称轴为直线， 当时，取得最小值，最小值为：， 当时，， ∵当时，的取值范围是，且， 当时，则，的取值范围是， ∴， ∴，矛盾； 当时，则， ∴， 当时，得：， 解得：或， ∴； 当时，的取值范围是，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的增减性等知识点，掌握二次函数的图象与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期九年级数学（学科） 教学调研问卷 温馨提示： 1.试卷满分150分，考试时间120分钟；试卷由“试题卷”和“答题卷”两部分组成，共23小题； 2.务必在答题卷的装订线内和指定区域答题，否则无效．考试结束后，请将“答题卡”交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列两个图形一定相似的是(　　) A. 两个矩形 B. 两个等腰三角形 C. 两个五边形 D. 两个正方形 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 对于二次函数，下列说法正确的是：（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数的最大值是 4. 若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在函数（ ）的图像上有A（1，）、B（－1，）、C（－2，）三个点，则下列各式中正确的是（　　　） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，点E、F分别在上，且．若，，则的长为（ ） A. 12 B. 6 C. 18 D. 16 8. 函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：（ ） ① ②当时，； ③若且，则； ④若，则； 其中正确的个数有（ ）个 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知二次函数，将该二次函数的图象向下平移3个单位，所得新的函数表达式为_____． 12. 已知点是线段的黄金分割点，那么的长为_____． 13. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点， （1）若点为的中点，则_____． （2）若，且的面积是12，则的值为_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知 （1）求的值； （2）若，求，的值． 16. 已知二次函数经过和． （1）求该二次函数的表达式和对称轴． （2）当时，求该二次函数的最大值和最小值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. （1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知抛物线（a是常数）． （1）求证：无论a为何值，该抛物线与x轴一定有交点； （2）若该抛物线与轴交于点A，B，且，求的值． 20. 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过作，交的延长线于． 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）如图3，已知中，，，平分，求的周长． 六、（本题满分12分） 21. 某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1处达到最大高度为3，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式； （2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过计算说明身高1.8的王师傅是否被淋湿？ 七、（本题满分12分） 22. 在中，点在边上，点在边上，与交于点． （1）如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； （2）如图2，若，，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数． （1）若函数图象经过点，求的值； （2）若该二次函数图象经过，两点，求的最小值； （3）在第（2）问的条件下，当时，的取值范围是，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $