2026—2027学年浙教版数学八年级上册期中模拟押题卷

浙教版2026—2027学年八年级上册期中模拟押题通关卷 数 学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2025八上·杭州期中）若a<b，c≠0，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+c<b+c B．a-c<b-c C． D． 2．（2025八上·温州期中）如图， △ABC≌△A'B'C， ∠ACB=90°， ∠B'CA=30°， 则∠ACA'的度数为（　　) A．30° B．40° C．60° D．90° 3．（2025八上·平阳期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 4．（2026八上·河北期中）下列命题的逆命题是假命题的是(　　) A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．若，则 D．如果，那么，都是负数 5．（2025八上·上城期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．（2025八上·红桥期中）2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025八上·游仙期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（2025八上·游仙期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 9．（2025八上·凉州期中）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．4.2 D．5 10．（2025八上·余姚期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和，相交于点，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则，其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025八上·宁波期中）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　 　命题(填“真”或“假”). 12．（2025八上·滨江期中）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为 　 　. 13．（2025八上·柯桥期中）如图，若，，，与交于点，则的度数是　 　． 14．（2025八上·东丽期中） 如图，在中，，平分，于，，则的面积为　 　． 15．（2025八上·温州期中）如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°， 分别以四边形ABCD的四条边为直径， 向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为S1，S2，S3和S4，若 则S4的值是　 　. 16．（2025八上·东莞期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025八上·成都期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 18．（2025八上·上城期中）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． （1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 19．（2025八上·萧山期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． （1）在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） （2）若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 20．（2025八上·浙江期中）我们规定：的运算法则为，例如：． （1）填空：若，则__________，若，则的取值范围为__________； （2）若=，，求实数的取值范围． 21．（2025八上·湖州期中）如图，中，，，，为边上的高线． （1）如图1，求的长； （2）如图2，当为的角平分线时，求的长． 22．（2025八上·镇海区期中）在中，，，点为外一点，连接，连接交于点，且满足． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，点为线段上一点，连接、，过点作交的延长线于点，若，．求证：； （3）如图3，点为线段上一点，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是线段上的一个动点，连接、，若，，请求出的最小值． 23．（2025八上·鄞州期中）若一个不等式组A有解且解集为a<x<b(a<b)，则称 为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解(即中点值满足不等式组)，则称不等式组B对于不等式组A中点包含. （1）已知关于x的不等式组A： 以及不等式组B： - 1<x≤5， ①A的解集中点值为　 　. ②不等式组B 对于不等式组A　 　(填“是’或“不是”)中点包含. （2）已知关于x的不等式组( 和不等式组D 若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围. （3）关于x的不等式组E： 和不等式组 F： 若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 浙教版2026—2027学年八年级上册期中模拟押题通关卷 数 学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2025八上·杭州期中）若a<b，c≠0，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a+c<b+c B．a-c<b-c C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A选项，∵a<b， ∴a+c<b+c，故该选项不符合题意； B选项，∵a<b， ∴a-c<b-c，故该选项不符合题意； C选项，∵a<b，c≠0， ∴ac2<bc2，故该选项不符合题意； D选项，∵a<b，c≠0， ∴当c>0时， 当c<0时，，故该选项符合题意； 故选：D. 【分析】根据不等式的基本性质判断即可. 2．（2025八上·温州期中）如图， △ABC≌△A'B'C， ∠ACB=90°， ∠B'CA=30°， 则∠ACA'的度数为（　　) A．30° B．40° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】【解答】解：∵△ACB≌△A'CB'， ∴∠ACB=∠A'CB'=90°， ∵∠B'CA=30°. ∴∠ACA'=∠A'CB'-∠ACB'=90°-30°=60°. 故答案为：C. 【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A'CB'=90°，所以∠ACA'=∠A'CB'-∠ACB'=60°. 3．（2025八上·平阳期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【解析】【解答】解：∵D为边的中点，BC=4， ∴CD=2， ∵的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∵是的垂直平分线， ∴两点关于对称， ∴， 连接，交于点，此时的周长最小， ∵，D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：A． 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得出两点关于对称，得出连接，交于点，从而得出此时的周长最小，利用等腰三角形的性质，得出，再利用三角形的面积公式求出，进而求出的周长的最小值，即可得出答案． 4．（2026八上·河北期中）下列命题的逆命题是假命题的是(　　) A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．若，则 D．如果，那么，都是负数 【答案】C 【解析】【解答】解：A、原命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是平行线的判定定理，为真命题，A错误； B、原命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是“对应边相等的三角形是全等三角形”（SSS判定），为真命题，B错误； C、原命题“若a=b，则a2=b2”的逆命题是“若a2=b2，则a=b”．反例：a=1，b=-1时，a2=b2但a≠b，故逆命题为假命题，C正确； D、原命题“如果ab>0，那么a，b都是负数”本身是假命题，其逆命题“如果a，b都是负数，那么ab>0”是真命题，D错误． 故答案为：C. 【分析】先构造逆命题（交换原命题的条件与结论），再通过定理，判定或举反例的方式，验证逆命题是否成立即可. 5．（2025八上·上城期中）如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为：D. 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等边对等角可得，最后根据三角形的外角性质，即可得出结果． 6．（2025八上·红桥期中）2025年9月9日，常泰长江大桥正式通车．这座公铁合建双层复合型过江通道创下了最大跨度斜拉桥和最大跨度公铁两用钢桁梁拱桥的世界纪录．其斜拉桥部分侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A、添加，不能判定，故此选项错误，符合题意； B、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； C、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； D、添加，能判定，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定（HL、SAS、AAS），先明确已知的直角和公共边，再对照全等判定定理，排除无法形成判定的选项. 7．（2025八上·游仙期中）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得，， ， ， 故答案为：B． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求得，，再根据三角形内角和定理求出∠AGC，最后根据对顶角相等即可解答. 8．（2025八上·游仙期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：由尺规作图可知，， 在和中， ， ∴， 即这两个三角形全等的依据是， 故答案为：C． 【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的作图痕迹可知，故定理是判定三角形全等的依据． 9．（2025八上·凉州期中）如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．4.2 D．5 【答案】B 【解析】【解答】解：设∠BCD= ∵∠ACB=90° ∴∠ACD=90°- ∵AD=AC ∴∠ADC=∠ACD=90°- ∴∠CAB=180°-2∠ACD=2 ∴∠ABC=90°-2 ∵EF⊥CD ∴∠CKF=90° ∴DFK=90°-(90°-)= ∴∠CEF=90°- 延长AC到点G，使AG=AB，连接BG ∵AD=AC ∴CD∥GB，BD=CG=CE ∴∠GBC=∠BCD= ∴∠G=90°- ∴∠G=∠CEF 延长EF和CA交于点H ∴∠H==∠GBC ∵∠CAB=2 ∴∠AFH= ∴∠H=∠AFH ∴AH=AF=2 在△CEH和△CGB中 ∴△CEH≌△CGB(ASA) ∴CH=CB=8 ∴DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AH=4 故答案为：B 【分析】根据补角可得∠ACD=90°-，再根据等边对等角可得∠ADC=∠ACD=90°-，再根据角之间的关系可得∠CEF=90°-，延长AC到点G，使AG=AB，连接BG，根据直线平行性质可得∠GBC=∠BCD=，再根据角之间的关系可得∠G=∠CEF，延长EF和CA交于点H，则∠H==∠GBC，根据角之间的关系可得∠H=∠AFH，根据等角对等边可得AH=AF=2，再根据全等三角形判定定理可得△CEH≌△CGB(ASA)，则CH=CB=8，再根据边之间的关系即可求出答案. 10．（2025八上·余姚期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和，相交于点，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则，其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】【解答】证明：①，，， ， 在，中， ， ， ， ∴此结论正确，符合题意； ③过点作，， ， ，， ， ， ，， 平分， ∴此结论正确，符合题意； ②，， ， ， ∴此结论错误，不符合题意； ④在线段上截取，连接， ， ， 在△AOE和△APD中 ， ， 由②可得， ， 平分， ， ， 为等边三角形， ， ，， ， ∴此结论正确，符合题意； ∴正确的结论有3个. 故答案为：C． 【分析】①由得到，结合已知条件，用边角边可得，然后根据全等三角形的对应边相等可求解； ③过点作，，由全等三角形的面积相等可得，结合三角形面积公式可得，然后根据角平分线的判定“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”即可求解； ②结合①中的全等三角形可得，再根据邻补角互补可求解；④在线段CE上截取，连接，由全等三角形的对应角相等可得，结合已知，用边角边可证明，由全等三角形的对应边相等可得AP=AO，结合已知并根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，由等边三角形的三边相等可得，然后根据线段的和差可求解． 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025八上·宁波期中）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　 　命题(填“真”或“假”). 【答案】真 【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题， 故答案为：真. 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假. 12．（2025八上·滨江期中）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为 　 　. 【答案】22 【解析】【解答】解：设每组预定的学生人数为x人，根据题意得： 解得： ∵x为整数， 故答案为：22. 【分析】设每组预定的学生人数为x人，根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，列出不等式组，求解即可. 13．（2025八上·柯桥期中）如图，若，，，与交于点，则的度数是　 　． 【答案】82° 【解析】【解答】解：∵ ∴∠B=∠B'，∠AOB=∠A'OB' ∴∠AOB-∠A'OC=∠A'OB'-∠A'OC ∴∠AOA'=∠BOB' ∵∠A'CO为△B'OC的外角 ∴∠A'CO=∠B'+∠BOB'=30°+52°=82° 故答案：82°. 【分析】由全等的性质得∠B=∠B'，∠AOB=∠A'OB'，由此得∠AOA'=∠BOB'，由三角形的外角的性质得∠A'CO=∠B'+∠BOB'，代入数据即得度数. 14．（2025八上·东丽期中） 如图，在中，，平分，于，，则的面积为　 　． 【答案】7 【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB交AB于点F， ∵平分，于， ∴DF=DE， ∵ ， ∴， ∴的面积为=7. 故答案为：7 . 【分析】过点D作DF⊥AB交AB于点F，根据角平分线的性质可得DF的长度，再根据三角形的面积公式即可得出答案. 15．（2025八上·温州期中）如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90°， 分别以四边形ABCD的四条边为直径， 向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为S1，S2，S3和S4，若 则S4的值是　 　. 【答案】6π 【解析】【解答】解：连接AC， 根据勾股定理得到， ∴， 即， ∴， 解得 S4=6π， 故答案为：6π. 【分析】连接AC，根据勾股定理得到，然后代入计算解答即可. 16．（2025八上·东莞期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　 　． 【答案】100° 【解析】【解答】 解：如图，作点A关于BC和CD的对称点A'，A"， 连接A'A"，交BC于M，交CD 于N，则A'A"即为AMN的周长最小值， ∵∠BAD= 130°， ∴∠AA'M+∠A"=50° 由对称性可知：∠MA'A=∠MAA'， ∠NAD=∠A"， ∴∠AMN=2∠AA'M， ∠ANM= 2∠A"， ∴∠AMN+∠ANM= 2(∠AA'M+∠A")=2x50°=100° 故答案为：100° 【分析】作点A关于BC和CD的对称点A'，A"， 连接A'A"，根据两点之间线段最短得A'A"即为AMN的周长最小值，再根据对称性和角度得运算即可解答. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025八上·成都期中）为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程. （2）解：，，， ∴ 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 【解析】【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AC的长，再利用线段的和差求出答案即可； （2）先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可. （1）解：如图，连接， ，，， ， ， 答：居民从点到点将少走路程； （2）解：，，， 是直角三角形，， ，， ， 答：这片绿地的面积是． 18．（2025八上·上城期中）今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． （1）已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 【解析】【分析】 （1）在中，借助勾股定理计算出的长度，结合题目给出的台风移动速度，就可以求出台风中心从B移动到D所花费的时间； （2）假设A市在台风移动到P点时开始受到影响，移动到Q点时结束影响，结合题意确定对应图形后，可以得到，A市会在台风位于P到Q之间的路段时受到影响，只要算出PQ的长度，再结合台风速度就可以求出A市受台风影响的总时长. （1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 19．（2025八上·萧山期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． （1）在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） （2）若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】（1）② （2）解：解方程​，得．解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是 ． 【解析】【解答】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； 【分析】(1) 直接按照题目给出的新定义进行计算求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，则不等式的解集为．再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得，从而可得答案． （1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是 ． 20．（2025八上·浙江期中）我们规定：的运算法则为，例如：． （1）填空：若，则__________，若，则的取值范围为__________； （2）若=，，求实数的取值范围． 【答案】（1）0.25， （2）​​​​​​ 解：∵=， ∴，解得：， ， ， 解得：． 【解析】【解答】 （1） 解：∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 解得， 故答案为：0.25，； 【分析】 （1）按照题目规定的运算法则列出对应的方程与不等式，再通过解一元一次方程和一元一次不等式得到最终结果 （2）先根据运算法则得到方程组，解这个方程组可以得到，再结合题目的条件，代入后得到不等式，解这个不等式就能确定参数的取值范围. （1）解：∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 解得， 故答案为：0.25，； （2）解：∵=， ∴，解得：， ， ， 解得：． 21．（2025八上·湖州期中）如图，中，，，，为边上的高线． （1）如图1，求的长； （2）如图2，当为的角平分线时，求的长． 【答案】（1）解：∵中，，，， ∴ ∵，即， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵平分，，， ∴，， 设， ∵在Rt△ABD中，AB=4cm，AD= ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即． 【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得求出BC=5cm，再由等面积法建立方程求出AD的长即可； （）过点E作EF⊥AB于点F，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=EF，设ED=EF=a，在Rt△ABD中，由勾股定理求出，然后利用“HL”证Rt△AFE≌Rt△ADE，由全等三角形的对应边相等得出AF=AD=cm，进而再在Rt△BEF中，由勾股定理建立方程算出a的值，即可得出答案. （1）解：∵中，，，， ∴由，得， ∵，即， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵平分，，， ∴，， 设， ∵，即， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴，即． 22．（2025八上·镇海区期中）在中，，，点为外一点，连接，连接交于点，且满足． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，点为线段上一点，连接、，过点作交的延长线于点，若，．求证：； （3）如图3，点为线段上一点，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是线段上的一个动点，连接、，若，，请求出的最小值． 【答案】（1）解：如图1中，过点作于点. ，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2中，过点作交于点. ， ，， ∴（AAS）， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图3中，作射线，过点作于点，过点作于点，作点关于的对称点，作射线，过点作于点，交于点，连接，过点作于点. ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是长方形， ，， ， ， ， ， ， ， 的最小值为. 【解析】【分析】（1）由于等腰三角形三线合一，则可过点A作BC上的高AT，即BT＝CT，再由等边对等角结合直角三角形两锐角互余可判定三角形ABT是等腰直角三角形，且AT＝BT，再由勾股定理求出BC，则BT、AT均可得，再利用线段的和差关系可得GT，最后再应用勾股定理即可得AG的长； （2）如图，过点D作AB的平行线交BC于点K，由于EC平行AB，则DK平行CE，即可得，又对顶角，已知，则由AAS可证，即有，；再由垂直的概念结合角的和差关系可得，则由直角三角形两锐角互余可得，则由等角对等边可得，再由勾股定理可得，由线段的和差关系可得，再等量代换并整理得即可； （3）作射线，过点作于点，则是等腰直角三角形，即KM＝CM；再过点作于点，则可利用一线三垂直全等模型可证明，则由全等的性质结合等量代换可得K`M＝CN，即，则点 在射线上运动；再作点关于的对称点，作射线，过点作于点，交于点，连接，过点作于点，由于已知，则由三角形外角的性质可得，，再由角的和差关系可得，再由等腰三角形三线合一、直角三角形斜边上的中线结合勾股定理可得，即可得；再利用矩形的判定与性质可得，再由勾股定理可得，，再由两点之间线段最短可得即可. （1）解：如图1中，过点作于点. ，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2中，过点作交于点. ， ，， ∴（AAS）， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：如图3中，作射线，过点作于点，过点作于点，作点关于的对称点，作射线，过点作于点，交于点，连接，过点作于点. ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点在射线上运动， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是长方形， ，， ， ， ， ， ， ， 的最小值为. 23．（2025八上·鄞州期中）若一个不等式组A有解且解集为a<x<b(a<b)，则称 为A的解集中点值，若A的解集中点值是不等式组B的解(即中点值满足不等式组)，则称不等式组B对于不等式组A中点包含. （1）已知关于x的不等式组A： 以及不等式组B： - 1<x≤5， ①A的解集中点值为　 　. ②不等式组B 对于不等式组A　 　(填“是’或“不是”)中点包含. （2）已知关于x的不等式组( 和不等式组D 若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围. （3）关于x的不等式组E： 和不等式组 F： 若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之积为120，求n的取值范围. 【答案】（1）5；是 （2）解：解不等式组C得，即m-3<x<m+5，中点值为 解不等式组D得即-4<x<6， 不等式组D对不等式组C中点包含，得解得- 5<m<5 （3）解：不等式组E的解集为2n<x<2m，中点值为m+n， 不等式组F的解集为 不等式组F对于不等式组E中点包含，得，得n<m<6， 符合要求的整数m之积为120，而120= 故m的取值可为1，2，3，4，5或2，3，4，5， 得0≤n<2 【解析】【解答】解：(1)求解不等式得即4<x<6，中点值为； 对不等式组B，-1<x≤5，故不等式组B对于不等式组A中点包含； 【分析】(1)①求解不等式组A的解集即可得其中点值；②由A的中点值在B的解集中即可知是中点包含； (2)分别求解不等式组C、D，并求出C的中点值，由此可得，即可得m的范围； (3)分别求出E、F的解集和E的中点值，由此可得n<m<6，所有m的整数之积为120，由此可得m的取值为1，2，3，4，5或2，3，4，5，即可得n的范围. $