专题1 有理数——2027年中考数学一轮分层训练

专题1 有理数——2027初中数学中考一轮分层训练 一、基础题 1．一包零食的质量标识为“克”，则下列质量合格的是（　　） A．66克 B．67克 C．71克 D．74克 2．-4的相反数是（　　） A． B． C．4 D．-4 3．下列各数中，最小的数是（　　） A．0 B． C． D．4 4．如图，实数、在数轴上的位置，化简：（　　） A．0 B． C． D． 5．实数，在数轴上对应的点位置如图所示，则下列代数式中，结果最小的是（　　） A．　　　 B． C．　　　 D． 6．的相反数是（　　） A． B．- C． D．- 7．绝对值大于3.1且小于6.9的整数是　 　 8．计算 （1） （2） （3） （4）． 9．某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护．某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： ，，，，，，，． 假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果这天汽车共耗油升，那么这辆汽车平均每千米耗油是多少升？ 10．已知互为相反数，互为倒数，到原点距离个单位． （1）根据题意， ． （2）求的值． 二、能力题 11． 若点都在函数 的图象上，且x1＜0＜x2， 则（　　） A．y1＝y2 B．y1＝﹣y2 C． D．y1＞y2 12．王华写出下列四个计算式子中，你认为错误的是（　　） A．（是正整数） B． C． D． 13．如果，，，那么、、三数的大小关系为（　　） A． B． C． D． 14．下列说法中正确的个数有（　　） 最大的负整数是； 相反数是本身的数是正数； 有理数分为正有理数和负有理数； 数轴上表示的点一定在原点的左边； 几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数． A．个 B．个 C．个 D．个 15．设函数与x轴的交点坐标为，若函数，则时自变量x的取值范围是　 　． 16．云巴是现代化智能低运量轨道交通系统，跨界融合了汽车和轨道交通技术.若某云巴线路途经A站后车上有20名乘客，再依次经过B，C，D站后到达终点站，各站上、下车乘客人数情况(上车记为正，下车记为负)如下：(+6，0)(+3，-4)，(+5，-2)，(0，x)，则x的值是　 　. 17．计算下列各式. （1） （2） （3） （4） 18．计算： （1）10+5×（-6）； （2）. 19．计算： （1）； （2）． 三、拓展题 20．如图，已知数轴上点A 表示的有理数为6，点B 是数轴上位于点A 左侧的一点，A，B两点之间的距离为10.动点 P 从点A 出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为t秒(t>0). （1）数轴上点 B 表示的数是　 　；点P 表示的数是　 　(用含 t 的代数式表示)； （2）动点Q 从点 B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q同时出发.①当t 为何值时，点P 与点 Q 相遇? 21．阅读材料：“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.我们知道，4x-2x+x=（4-2+1）x=3x.类似的我们可以把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）=（4﹣2+1）（a+b）=3（a+b）.请尝试解决： （1）把（a-b）2看成一个整体，合并　 　； （2）已知，求的值； （3）已知，求代数式的值. 22．某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列. 【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图②)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图③)；以此类推. （1）【规律总结】 若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加　 　块. （2）若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为　 　(用含n的代数式表示). （3） 【问题解决】 若一条这样的人行道一共有2024块等腰直角三角形地砖，则这条人行道正方形地砖有多少块? 23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离　 　，线段的中点C表示的数为　 　； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　 　；点Q表示的数为　 　； （2）求当t为何值时，； （3）若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵一包零食的质量标识为“克”， 而(克)，(克)， ∴一包零食的质量合格范围为：克， ∴克在其合规范围内， 故答案为：C． 【分析】“70±2克”表示这包零食的标准质量为70克，允许的误差范围为±2克，“+2”表示比标准质量70克多2克，即70+2=72克；“-2”表示比标准质量70少2克，即70-2=68克，故这包零食质量合格范围是68克~72克（包含68克与72克），据此逐一判断得出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】-4的相反数是4， 故答案为：C. 【分析】根据相反数的定义即可求解. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：因为0与4是非负数，因此最小的数必然在-3.5与-3之间产生. 又因为，所以，即最小的数为-3.5. 故答案为：C. 【分析】比较有理数的大小，需注意正数大于零，负数小于零，且两个负数比较时绝对值大的反而小. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：B． 【分析】 观察数轴得到，，根据二次根式的性质转化为绝对值形式，再化简绝对值得到最后利用整式的加减计算法则求解即可解答． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由数轴可知-1<a<0<1<b<2. |a| <|b|， ∴-a>0. a+b>0. a-b<0. |a|-|b| <0. (a-b)-(|a| -|b|)=a-b-(-a-b)=a-b+a+b=2a<0， ∴a-b<|a|-|b| <0， ∴在这四个代数式中，结果最小的是a-b。 故选：C. 【分析】根据数轴可得-1<a<0<1<b<2，|a| <|b|，然后根据有理数的加法，减法，绝对值和相反数逐项判断，再利用作差法比较(a-b)和|a| -|b|即可. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：根据相反数的含义，可得 的相反数等于：． 故答案为：A． 【分析】利用相反数的定义求解即可。 7．【答案】，，，4，5，6 【解析】【解答】解：绝对值大于3.1且小于6.9的整数有：，，，4，5，6． 故答案为：，，，4，5，6． 【分析】利用有理数比较大小的方法并结合数轴直接求解即可. 8．【答案】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【解析】【分析】（1）先将有理数减法变成加法，然后利用加法结合律进行简便运算； （2）根据有理数混合运算法则，先计算括号内的，再计算乘方，最后计算乘除即可； （3）利用乘法分配律进行简便运算； （4）先计算开方与乘方，同时化简绝对值，最后进行加减运算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 9．【答案】（1）解：（千米）， 答：B地在A地的南方，他们相距5千米； （2）解：设这辆汽车平均每千米耗油是升， 由题意得， 即，解方程得， 答：这辆汽车平均每千米耗油是升． 【解析】【分析】(1)要确定B地相对于A地的位置和距离，需要将当天汽车的行驶记录相加，根据结果的正负判断方向，绝对值表示距离； (2)要计算平均每千米的耗油量，需要先求出汽车行驶的总路程，再用总耗油量除以总路程. 10．【答案】（1） （2）解：∵互为相反数，互为倒数，∴． 【解析】【解答】解：（1）∵到原点距离个单位，∴， ∴． 故答案为：． 【分析】（1）根据绝对值的几何意义可得出，即可得出m的值； （2）根据互为相反数，互为倒数，到原点距离个单位． 可得出m2=4，a+b=0，xy=1，然后代入求值即可得出结果。 （1）∵到原点距离个单位， ∴， ∴． 故答案为：． （2）∵互为相反数，互为倒数， ∴． 11．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 函数 ， ∴ 该函数图象在第一、三象限、在每个象限内 随 的增大而减小， ∵、 都在函数 的图象上，且 ， ∴， 故答案为：C. 【分析】根据反比例函数图象所在象限及增减性解答即可. 12．【答案】D 【解析】【解答】解：A、（是正整数），运算正确，A不符合题意； B、，运算正确，B不符合题意； C、，运算正确，C不符合题意； D、，原运算错误，D符合题意； 故答案为：D 【分析】根据有理数的乘方、有理数的加法、乘法和除法结合题意对选项逐一分析即可求解。 13．【答案】B 【解析】【解答】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：B． 【分析】先利用零指数幂和负整数指数幂、乘方的运算法则求出a、b、c的值，再根据有理数的大小比较方法比较即可． 14．【答案】A 【解析】【解答】解：最大的负整数是，正确，则①正确； 相反数是本身的数是0，原命题错误，则②错误； 有理数分为正有理数和负有理数 ，正确，则③正确； 数轴上表示的点不一定在原点的左边，原命题错误，则④错误； 几个非零有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，原命题错误，则⑤错误； 综上所述，正确的有1个， 故答案为：A. 【分析】根据有理数的分类判断①③；根据相反数的定义判断②；根据负数的定义判断④，根据有理数乘法符号的确定方法判断⑤. 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵函数与x轴的交点坐标为， ∴对称轴为直线x， ∴=， ∴ ， ∴函数表达式，， ∴函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位长度所得， ∴则函数的图象与x轴的交点坐标向右平移2个单位长度所得， ∴函数的图象与x轴的交点坐标为， ∵a>0， ∴该函数图象开口向上， ∴时自变量x的取值范围为， 故答案为：． 【分析】先求得h的值，然后根据二次函数的平移性质求得与x轴的交点，最后根据二次函数性质求得答案即可． 16．【答案】-28 【解析】【解答】 解：20+6+0+3-4+5-2+0+x=0； x=-28； 故答案为：-28； 【分析】根据有理数的加法：将上下车的人数求和，最后到到终点，人全部下完，因而列式20+6+0+3-4+5-2+0+x=0，计算即可解答. 17．【答案】（1）解：原式：=-2-0 =-2 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式： =18+(-4)-80 =14-80 =-66 【解析】【分析】 (1) 依据有理数乘法法则、减法法则，按运算顺序依次计算。 (2) 有理数混合运算顺序：先计算小括号内的乘方运算，再算乘法，接着算减法，最后求所得结果的相反数。 (3) 有理数混合运算顺序：优先计算小括号内部运算，再进行平方运算，最后计算乘法。 （4） 有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减. 18．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】本题考查有理数的混合运算，需遵循“先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内”的运算顺序。 (1)没有乘方和括号，先计算乘法，再将结果与10进行加法运算； (2)先计算乘方，再利用乘法分配律，将乘方结果分别与括号内的和相乘，最后计算两个乘积的差。 19．【答案】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）先化简绝对值，一个负数的绝对值，其结果是这个数的相反数，再根据有理数的加减混合运算法则，从左到右依次计算即可； （2）先算有理数的乘方，再根据有理数的加减混合运算法则，先乘除，后加减，即可解答． （1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 20．【答案】（1）-4；6-6t （2）解：①依题意，得6-6t=-4-4t，解得t=5. ∴当t=5时，点 P 与点Q 相遇； ②当t为何值时，点P 与点 Q 之间的距离为8个单位长度? 解：②当点 P 在点Q 右侧时，6-6t=-4-4t+8，解得t=1； 当点 P 在点Q 左侧时，6-6t+8=-4-4t，解得t=9. ∴当t=1或9时，点P 与点Q 之间的距离为8个单位长度. 【解析】【解答】解：（1）∵ 点B 是数轴上位于点A 左侧的一点，A，B两点之间的距离为10， ∴点 B 表示的数是6-10=-4， 由运动可得点P表示的数为6-6t， 故答案为：-4，6-6t； 【分析】（1）根据点的位置和距离，利用有理数的加减解答即可； （2）①根据相遇时点P和Q表示的数相同列方程计算； ②分为点 P 在点Q 右侧或点 P 在点Q 左侧两种情况，根据两点间的距离公式列方程解答即可. 21．【答案】（1）（a﹣b）2 （2）解：∵x2﹣2y＝﹣4 ∴原式＝2（x2﹣2y）+2023＝2×（-4）+2023=﹣8+2023＝2015； 答：2x2﹣4y+2023的值为2015 （3）解：∵a2+2ab＝2，ab﹣2b2＝﹣1 ∴原式＝a2+2ab﹣（ab﹣2b2）＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3． 答：a2+ab+2b2的值为3. 【解析】【解答】解：（1）原式＝（4−5＋2）（a−b）2 ＝（a−b）2， 故答案为：（a−b）2. 【分析】（1）将（a-b）2看成一个整体，再利用整式的加减法求解即可； （2）先将代数式变形为2（x2﹣2y）+2023，再将代入计算即可； （3）先将代数式变形为a2+2ab﹣（ab﹣2b2），再将 代入计算即可. 22．【答案】（1）2 （2）2n+4 （3）解：设 一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖， 由题意，得2n+4=2024， 解得n=1010， 所以这条人行道正方形地砖有1010块 【解析】【解答】解：（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形， ∴每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块； 故答案为：2； （2）由（1）知每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块， n（n为正整数）块正方形地砖等腰直角三角形地砖的块数为 故答案为：2n+4； 【分析】（1）观察图形1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，即可得出答案； （2）每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块，即可总结出规律； （3）设 一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，由题意可得：2n+4=2022，即可求得答案． 23．【答案】（1）10；3；； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下：∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【解析】【解答】解：（1）①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式，结合两点中点公式，进行计算，即可求解；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，列出算式，进行求解，即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，结合题设中给定的两点间距离公式，即可得出线段的长度． （1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $