专题02 函数值域5法归纳·一题型两变式 期中考专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题02 高一上函数值域5法归纳·一题型两变式（期中考专项） 【人教A版】 【知识导航】 知识点1　函数的值域 在函数 ， 中，与自变量 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域． 定义域问的是" 能取谁"，值域问的是" 能变成谁"，求值域必须先看清 的取值范围． 知识点2　求值域的常用方法 1．配方法：二次函数 配成顶点式，对称轴在区间内算顶点、在区间外算端点；2．换元法：根式型令 、分式型整体换元，化归为二次函数再配方；3．判别式法：解析式可化为关于 的方程 时，反解 ，由判别式 求 的范围（注意 项系数为零和等号能否取到）；4．单调性法：能判断单调性时，由"增函数取端点、减函数取端点"直接读写；5．基本不等式法：对勾型 （）及其拼凑形， 时 ， 时 ，等号条件必须验算． 【注】含参数时先讨论参数；实际应用题求出结果后代回验证；求值域的结果用集合或区间表示． 【类型1　配方法】二次函数在区间上的值域 1．求函数 ， 的值域． 2．求函数 ， 的值域． 3．求函数 在 上的值域． 4．函数 ， 的值域是（　　） A． B． C． D． 5．函数 ， 的值域是____________． 【类型2　换元法】根式型化归二次 6．求函数 （）的值域． 7．求函数 的值域． 8．求函数 的值域． 9．函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 10．函数 （）的值域是____________． 【类型3　换元法】分式型分离常数 11．求函数 （）的值域． 12．求函数 （）的值域． 13．求函数 的值域． 14．函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 15．函数 的值域是____________． 【类型4　判别式法】反解 用 16．求函数 的值域． 17．求函数 的值域． 18．求函数 的值域． 19．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 20．函数 的值域是____________． 【类型5　单调性法】看端点、定值域 21．求函数 的值域． 22．求函数 在 上的值域． 23．若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围，并求此时 的值域． 24．函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 25．函数 在 上的值域是____________． 26．已知 ，下列结论正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． 在 上的值域为 D． 在其定义域上的值域为 【类型6　基本不等式法】对勾型及拼凑 27．求函数 （）的值域． 28．求函数 （）的值域． 29．求函数 （）的值域． 30．函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 31．函数 （）的值域是____________． 32．关于函数 ，下列结论正确的是（　　） A．当 时，函数的最小值为 B．当 时，函数的最大值为 C．当 时，函数在 上单调递增 D．函数在其定义域上的值域为 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 高一上函数值域5法归纳·一题型两变式（期中考专项） 【人教A版】 【知识导航】 知识点1　函数的值域 在函数 ， 中，与自变量 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域． 定义域问的是" 能取谁"，值域问的是" 能变成谁"，求值域必须先看清 的取值范围． 知识点2　求值域的常用方法 1．配方法：二次函数 配成顶点式，对称轴在区间内算顶点、在区间外算端点；2．换元法：根式型令 、分式型整体换元，化归为二次函数再配方；3．判别式法：解析式可化为关于 的方程 时，反解 ，由判别式 求 的范围（注意 项系数为零和等号能否取到）；4．单调性法：能判断单调性时，由"增函数取端点、减函数取端点"直接读写；5．基本不等式法：对勾型 （）及其拼凑形， 时 ， 时 ，等号条件必须验算． 【注】含参数时先讨论参数；实际应用题求出结果后代回验证；求值域的结果用集合或区间表示． 【类型1　配方法】二次函数在区间上的值域 1．求函数 ， 的值域． 【答案】． 【分析】二次函数配成顶点式，对称轴 落在区间 内，最小值在顶点处取得，最大值比较两端点． 【详解】．由 ，对称轴 ，故当 时，；又 ，，且 ，故 ．所以函数的值域为 ． 2．求函数 ， 的值域． 【答案】． 【分析】配方得 ，对称轴 在区间内，最小值即顶点纵坐标；最大值比较两端点． 【详解】．由 ，对称轴 ，故 ；又 ，，且 ，故 ．所以函数的值域为 ． 3．求函数 在 上的值域． 【答案】当 时，值域为 ；当 时，值域为 ；当 时，值域为 ． 【分析】开口向下、对称轴 固定，动区间 的右端点 与对称轴、与左端点的位置关系分三种情况讨论． 【详解】，对称轴为 ． ① 当 时，区间 在对称轴左侧， 单调递增，，； ② 当 时，对称轴 ，，此时 ，故 ； ③ 当 时，仍有 ，但 ，故 ． 综上，当 时值域为 ；当 时值域为 ；当 时值域为 ． 4．函数 ， 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】配方得 ，对称轴落在区间内，最小值在顶点，最大值比较两个端点． 【详解】，对称轴 ，故 ；又 ，，故 ．所以值域为 ．故选 D． 5．函数 ， 的值域是____________． 【答案】 【分析】配方得 ，对称轴 在区间内，再比较两个端点． 【详解】，对称轴 ，故 ；又 ，，故 ．所以值域为 ． 【类型2　换元法】根式型化归二次 6．求函数 （）的值域． 【答案】． 【分析】根号 可直接读出取值范围，整体乘加即得值域． 【详解】令 ，由 得 ，则 ．当 时 ，且 时 ，故函数的值域为 ． 7．求函数 的值域． 【答案】． 【分析】两个根号直接相加难处理，先平方， 恰好抵消，转化为对 求范围． 【详解】定义域为 ．将解析式平方： ． 而 ，当 时，，故 ． 于是 ．又 ，故 ． 当 时 ，当 或 时 ，等号均可取到．所以函数的值域为 ． 8．求函数 的值域． 【答案】． 【分析】根式型用换元法：令 ，则 ，化归为开口向上的二次函数在 上的值域． 【详解】定义域为 ．令 （），则 ，代入得 ． 由 ，当 时 ，且 时 ，故函数的值域为 ． 9．函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 直接读出根式的范围，再整体加 ，并注意端点能取到． 【详解】令 ，由 得 ，则 ；当 时 ，且 时 ．所以值域为 ．故选 B． 10．函数 （）的值域是____________． 【答案】 【分析】根式非负，乘 后方向反转，最大值在根式取零时取得． 【详解】令 ，则 ；当 时 ，且 时 ．所以值域为 ． 【类型3　换元法】分式型分离常数 11．求函数 （）的值域． 【答案】（或 ）． 【分析】一次分式型分离常数：化为"常数+真分式"，由真分式不为零读出值域． 【详解】．由 ，，故 ．所以函数的值域为 ． 12．求函数 （）的值域． 【答案】（或 ）． 【分析】同型分离常数，注意 不等于零． 【详解】．由 ，，故 ．所以函数的值域为 ． 13．求函数 的值域． 【答案】． 【分析】分子分母同次，拆成"真分式"，利用 定真分式的范围． 【详解】．由 ，，故 ，从而 ．当 时 ，等号可取； 不可取．所以函数的值域为 ． 14．函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子配出分母的倍数，分离出常数与真分式；真分式恒不为零． 【详解】．由 得 ，故 ；反之任意 都可由 取到．所以值域为 ．故选 A． 15．函数 的值域是____________． 【答案】 【分析】拆成 真分式，由 定分母范围，注意 可取而 取不到． 【详解】．由 得 ，故 ，从而 ；当 时 ，而 不可取．所以值域为 ． 【类型4　判别式法】反解 用 16．求函数 的值域． 【答案】． 【分析】分母恒正，反解出关于 的方程； 项系数含 需单独讨论 ，其余用 ． 【详解】分母 恒成立．去分母得 ． 当 时，方程化为 ， 满足原式，故 可取； 当 时，关于 的方程有实数解，需 ，即 ，解得 ． 综上，函数的值域为 （端点处 ，对应的 存在，等号可取）． 17．求函数 的值域． 【答案】． 【分析】分子为一次、分母为二次，反解成 ；先单独处理 ，再用 ． 【详解】当 时， 满足原式，故 可取； 当 时，反解：，需 ，即 ，故 ．端点处 ， 存在（ 时 ， 时 ），等号可取． 所以函数的值域为 ． 18．求函数 的值域． 【答案】． 【分析】同上一题思路：反解成关于 的二次方程， 单独验证，其余用 解关于 的不等式． 【详解】当 时， 满足原式，故 可取； 当 时，反解：，需 ，即 ，解得 ． 所以函数的值域为 （端点处 ，对应的 存在，等号可取）． 19．函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分母恒正，反解成关于 的二次方程； 单独验证，其余用 ． 【详解】当 时取 即可， 可取．当 时去分母得 ，需 ，即 ；端点处 ，对应 存在．所以值域为 ．故选 C． 20．函数 的值域是____________． 【答案】 【分析】反解成 ， 单独验证，其余由 定范围． 【详解】当 时取 即可．当 时去分母得 ，需 ，即 ；端点处 存在．所以值域为 ． 【类型5　单调性法】看端点、定值域 21．求函数 的值域． 【答案】． 【分析】分母 恒成立，故函数值恒正； 时趋于无穷， 时趋于零，据此定值域． 【详解】定义域为 ，，故 ．当 时，，；当 时， 但取不到 ．所以函数的值域为 ． 22．求函数 在 上的值域． 【答案】． 【分析】分离常数后观察真分式在区间上的范围，也可用单调性判断趋势． 【详解】．当 时，，且 增大时 减小，故 在 上单调递减．当 时，；当 时， 但取不到 ．所以函数在 上的值域为 ． 23．若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围，并求此时 的值域． 【答案】，此时 的值域为 ． 【分析】分离常数化为 ，在 上的增减由分子 的正负决定； 定后再由趋势写值域． 【详解】． 当 时， 且随 增大而增大，要使 单调递增，需 ，即 ． 此时 ：当 时，；当 时，， 但取不到 ．所以此时 的值域为 ． 综上，，值域为 ． 24．函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 在 上为正且递增，取倒数后单调递减，最值都在端点取得． 【详解】当 时 ，且 随 增大而减小，故 ，．所以值域为 ．故选 B． 25．函数 在 上的值域是____________． 【答案】 【分析】被开方数 在区间上递减且非负，开方后仍递减，最值在端点取得． 【详解】当 时 ， 随 增大而减小，故 ，，两端点均可取到．所以值域为 ． 26．已知 ，下列结论正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． 在 上的值域为 D． 在其定义域上的值域为 【答案】ACD 【分析】分离常数后看真分式的符号与变化趋势，逐项判断． 【详解】A：，正确．B：当 时 且递增， 递减，故 单调递减，错误．C：当 时 ，且 时趋于 、 时趋于 ，故值域为 ，正确．D：由 得 ，反之任意 都有对应 ，正确．所以正确选项为 ACD． 【类型6　基本不等式法】对勾型及拼凑 27．求函数 （）的值域． 【答案】． 【分析】 时直接用基本不等式，注意验证等号成立条件． 【详解】当 时，，等号当且仅当 ，即 时成立；且 时 ．所以函数的值域为 ． 28．求函数 （）的值域． 【答案】． 【分析】 时先添负号转化为正数范围，再用基本不等式，最后把负号还回去． 【详解】由 ，则 ， ， 等号当且仅当 ，即 时成立；且 时 ．所以函数的值域为 ． 29．求函数 （）的值域． 【答案】． 【分析】分子配方出 ，约分后化为""的对勾型，令 后用基本不等式． 【详解】，令 ，由 得 ，则 ， 等号当且仅当 ，即 ，亦即 时成立；且 时 ．所以函数的值域为 ． 30．函数 （）的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 时两项均为正，用基本不等式求下界并验证等号条件． 【详解】由 得 ，等号当且仅当 即 时成立；且 时 ．所以值域为 ．故选 D． 31．函数 （）的值域是____________． 【答案】 【分析】 时先添负号化为正数范围，用基本不等式后再把负号还回去． 【详解】令 ，则 ，等号当且仅当 即 时成立；且 时 ．所以值域为 ． 32．关于函数 ，下列结论正确的是（　　） A．当 时，函数的最小值为 B．当 时，函数的最大值为 C．当 时，函数在 上单调递增 D．函数在其定义域上的值域为 【答案】ABD 【分析】分别对 与 用基本不等式，并注意等号条件与单调区间． 【详解】A： 时 ，等号在 时取得，正确．B：令 ，则 ，等号在 时取得，正确．C：取 与 ，有 ，故在 上不是递增，错误．D：由 A、B 及两端的无界性，值域为 ，正确．所以正确选项为 ABD． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $