26.1 二次函数的概念（分层练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.1 二次函数的概念（分层练习）

基础过关练

知识点一　二次函数的识别

1．下列函数中，是二次函数的是（　　）

A.　　B.

C.　　D.

2．下列函数中，属于二次函数的是（　　）

A.

B.

C.

D.（，，为常数）

3．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）

A.（为常数）

B.（为常数）

C.

D.

4．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（为常数）；⑦，其中是二次函数的有（　　）

A.3个　　B.4个　　C.5个　　D.6个

知识点二　列二次函数关系式

1．据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．如图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系（）．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________击中昆虫．（填"能"或"不能"）

2．长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（　　）

A.

B.

C.

D.

3．将一张长为30cm、宽为20cm的矩形纸片的长、宽各增加，得到新矩形．设新矩形的周长为，面积为，当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是（　　）

A.一次函数关系，二次函数关系

B.正比例函数关系，二次函数关系

C.二次函数关系，一次函数关系

D.正比例函数关系，一次函数关系

4．某商店销售一种进价为20元/件的水杯，当售价为40元/件时，每天可售出30件．经市场调查，售价每降低1元，每天可多售出5件．设售价定为元/件（），每天销售该水杯的利润为元．(1)求与之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）；(2)当售价定为35元/件时，每天销售该水杯的利润是多少元？

知识点三　二次函数一般式与系数识别

1．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）

A.，3，　　B.，3，1　　C.2，，1　　D.2，3，

2．二次函数的一次项系数是（　　）

A.　　B.4　　C.2　　D.

3．二次函数的二次项系数是________，常数项是________．

4．请写出一个二次项系数为、一次项系数为0、常数项为5的二次函数解析式：________．

能力提升练

知识点一　根据二次函数的定义求参数

1．若函数是关于的二次函数，则为（　　）

A.2　　B.　　C.　　D.0

2．若函数是关于的二次函数，则________．

3．若函数是关于的二次函数，则________．

4．若函数是关于的二次函数，则________．

知识点二　参数分类讨论判定函数类别

1．已知函数（是常数）．(1)若这个函数是一次函数，求的值；(2)若这个函数是二次函数，求的值．

2．已知函数（为常数）．(1)当取什么值时，它为二次函数？(2)当取什么值时，它为一次函数？

3．已知函数（为常数），求当为何值时：(1)是的一次函数？(2)是的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．

4．已知函数（是常数）．(1)若这个函数是一次函数，求的值；(2)若这个函数是二次函数，求的值．

拓展培优练

综合运用

1．【定义】对于函数，若存在自变量，使得函数值，则称该函数为"倍动点函数"，点为该函数的一个倍动点．探究1（一次函数）：(1)判断下列结论正误，正确的是________（填序号）：①是"倍动点函数"，倍动点为；②是"倍动点函数"，且有无数个倍动点；③是"倍动点函数"，倍动点为．探究2（二次函数）：(2)若二次函数有一个倍动点为，求的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点．

2．在矩形ABCD中，，．动点P从点A出发，以的速度沿边AB向点B运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿边BC向点C运动．当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为，的面积为．(1)求关于的函数解析式，并写出的取值范围；(2)当的面积为时，求的值；(3)当时，求的值，并判断此时的形状．

3．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接AM，作线段AM的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P．(1)线段PA与PM有什么数量关系？________．①当点M的坐标是时，点P的坐标是________；②当点M的坐标是时，点P的坐标是________．(2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P．把得到的点P用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线：________．(3)验证(2)的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据PA与PM的关系求出，满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？

4．【模型假设】用w（单位：m/s）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示．(1)逆风风速记为________．将风速w影响下的成绩记为T（单位：s），零风速状态下的成绩记为（单位：s），成绩变化量记为y，y与w的关系用函数近似描述．(2)描述y与w关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和T的关系解释原因．设用二次函数描述y与w的关系，根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为．【模型应用】(3)请你估计顺风风速时的成绩变化量y．(4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升．