期中（第1章～4章）阶段复习解答题考点汇总训练（十四大类型）-2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》（北师大版）

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～4章）阶段复习解答题考点汇总训练 （十四大类型） 目录 考点一菱形的性质与判定 1 考点二矩形的性质与判定 5 考点三正方形的性质与判定 8 考点四认识一元二次方程 13 考点五一元二次方程的解法 15 考点六一元二次方程的根与系数的关系 18 考点七一元二次方程的应用 21 考点八相似多边形 24 考点九探索三角形相似的条件 25 考点十相似三角形判定定理的证明 27 考点十一相似三角形的性质 30 考点十二图形的位似 33 考点十三投影 37 考点十四视图 39 考点一菱形的性质与判定 1．如图，在菱形中，，，求的度数． 【答案】． 【分析】由四边形是菱形，得，又，则，然后求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即的度数为． 2．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵平行四边形的对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，根据菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理，计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，且周长是40，对角线的长是16， ∴，， ， ． ∴四边形的面积为：． 3．如图，在中，相交于O，点E，F分别在上，经过点O被平分，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，求的长． 【答案】(1)∵平行四边形的对角线交于， ∴． ∵经过点被平分， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形为菱形． (2) 【分析】（1）首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到，结合被平分的条件，可推出四边形对角线互相平分，因此先判定其为平行四边形．再结合平分的角平分线条件，结合平行时的内错角相等关系，可推导得到邻边相等，因此可判定该平行四边形为菱形． （2）由菱形性质可得与垂直，结合是中点的条件，可推导出是的中位线，得到与的位置关系和数量关系，进而得到为直角．利用勾股定理计算的长度，即可得到的长度． 【详解】（1）略． （2）∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴, ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴ ，． ∴． ∴． ∴． 考点二矩形的性质与判定 4．如图，在矩形中，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的度数． 【答案】 【分析】利用矩形内角为，结合算出，由折叠性质得，平分，求出，两角相加得到． 【详解】解：，四边形是矩形， ， ， 由折叠得，平分， ， ， ． 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C都是格点，D是上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务． (1)在图1中找格点E，使，再在上画点F，使得； (2)在图2中，先画菱形，再在上画点H，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用网格的性质找到格点E，连接、，此时，利用勾股定理求出，即可证明；利用网格的性质找到格点M，连接并延长，将向下平移两个单位，交于，连接交于F，连接，此时；由作图可知，关于点C对称，则，由对顶角相等，得，进而可得； （2）利用网格的性质找到格点G，连接、，此时，利用勾股定理求出，则四边形是菱形；根据矩形的性质找出点U，连接，与交于点V，连接并延长至于W，连接并延长至于H，此时；根据是中点，可得，利用和等底等高，可知，同理，，进而可得，由图可得，和同高，则可得，同理，和同高，可得，联立得，，则，同理，和同高，则，将代入，得，同理可得，，根据，代入，得，设点D到直线的距离为，点W到直线的距离为．则，再根据和同高，可得，进而可得，同理可得，，根据，可得，则可得，代入面积公式中可得，推出点D、W到直线的距离相等，可得，进而即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、、设点、运动的时间为． (1)当________时，四边形是矩形； (2)连接，当时，求的值； (3)当点在的角平分线上时，求的值； 【答案】(1)3 (2) (3)1或3 【分析】（1）先表示出，再根据矩形的判定定理得出答案； （2）先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理得出答案； （3）先说明，再根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，则， 当时，四边形是矩形， 则， 解得； （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 当时，四边形是菱形， ∴． 在中，， 即， 解得； （3）解：如图所示，过点P作于点E， 则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点A在的角平分线上， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得或． 考点三正方形的性质与判定 7．如图，在正方形中，对角线，交于点，平分分别交，于点，，连接． (1)求证：． (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵在正方形中，对角线，交于点， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据正方形的性质及角平分线的定义得， ，继而得到，，再根据等角对等边即可得证； （2）根据正方形的性质得，，，，推出，，，继而得到，再根据平行线的性质及等角对等边可得，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵在正方形中，对角线，交于点， ∴，，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴的值为． 8．如图，正方形的边长为6，、分别在边、上．将、分别沿、折叠，使、都落在处（点、的对应点为，且恰好在上）． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）首先利用正方形的性质得到，然后结合折叠的性质求解； （2）首先得到，然后结合折叠的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴ 由折叠得，， ∴； （2）解：∵正方形的边长为6 ∴ 由折叠得，， ∴， ∴的周长． 9．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________； (2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论； (3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少． 【答案】(1) (2)解：四边形的面积不发生变化．证明如下： 四边形和四边形都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 重叠部分四边形的面积为 ， 即四边形的面积不发生变化． (3) 【分析】（1）先得出四边形是正方形，再求出的长即可； （2）证出，则，进而可得重叠部分四边形的面积等于的面积，由此即可得； （3）先求出的长，再取的中点，连接，，则，，然后根据（当且仅当三点共线时，等号成立）求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， ∴，，，， ∵，即， ∴四边形是矩形， 又∵，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴重叠部分四边形的面积是． （2）解：略． （3）解：∵四边形和都是正方形，且这两个正方形的边长都是1， ∴，，， ∴在中，， ∴， 如图，取的中点，连接，，， ∴在中，；在中，， 又∵，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴，即， ∴的最短长度是． 考点四认识一元二次方程 10．将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (2)一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (3)一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 (4)一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】（1）通过移项让方程右边变为，再按的降幂排列，即可得到答案； （2）通过移项让方程右边变为，再按的降幂排列，最后利用等式的性质把二次项系数化成正数，即可得到答案； （3）先去括号，合并同类项，再利用等式的性质把二次项系数化成正数，即可得到答案； （4）通过去括号，移项，让右边变为，再合并同类项，最后利用等式的性质把二次项系数化成正数，即可得到答案． 【详解】（1）解：移项得：， 一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． （2）解：移项得：， ， 一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． （3）解：去括号得：， 合并同类项得：， ， 一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． （4）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 11．当为何实数时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【详解】解：根据题意得，，， ∴，， ∴， ∴当时，该方程是关于的一元二次方程． 12．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据倒方程的定义即可解题； （2）将代入其倒方程即可； （3）将代入其倒方程即可． 【详解】（1）解：一元二次方程中，，，， ∴它的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是：， 是一元二次方程的倒方程的解， ∴将代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义知：一元二次方程的倒方程是， 是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴将代入方程， 得， ． 考点五一元二次方程的解法 13．选用合适方法解一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【详解】（1）解： ， ∴，； （2）解： ∴或， ∴，； （3）解： ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解： ∴或， ∴，． 14．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．求证： 是正数． 【答案】证明：∵关于x的一元二次方程 （）有两个相等的实数根， ， ，即 ， ， ， 是正数． 【分析】根据一元二次方程根的情况得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】略 15．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 【答案】(1) 甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品 (2) 至少需要18天 【分析】（1）以两厂单独加工的时间差为等量关系列分式方程求解； （2）先计算合作工作效率，再结合总工作量求工作时间，按要求取整． 【详解】（1）解：设乙厂每天加工件产品，则甲厂每天加工件产品 由题意得： 两边同乘，得 化简得 整理得 解得， ∵每天加工数量为正数 ∴不符合题意，舍去 经检验，是原方程的解，且符合题意 ∴ 答：甲厂每天加工40件产品，乙厂每天加工30件产品． （2）解：甲乙合作每天加工数量为（件） 所需时间为（天） ∵不满1天按1天计算， ∴ 至少需要18天 答：至少需要18天． 考点六一元二次方程的根与系数的关系 16．已知关于的一元二次方程 (1)求证：该方程必定有一个实数根是． (2)用含的代数式表示方程的另外一个实数根． 【答案】(1)证明：将代入方程的左边， ∵左边 ， ∴左边右边， ∴是该方程的一个实数根； (2)方程的另一个实数根为 【分析】（1）将代入方程左边计算，验证其值为0即可证明是方程的根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知根求出另一根． 【详解】（1）解：略 （2）解：设方程的另一个实数根为， ∵该方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 由根与系数的关系得， 解得． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的一根恰为另一根的倍，求的值． 【答案】(1)证明：在方程中， ，，， . ∵ ， ∴ 该方程总有两个实数根 (2)的值为或 【分析】（1）利用根的判别式进行证明； （2）令，利用根与系数的关系列出方程组，然后求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：根据题意得，令， 在方程中，， 将代入方程组可得， ∴或， ∴的值为或． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当一矩形的对角线，且矩形两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【答案】(1) 证明：对于一元二次方程， ，，， ； ∵ 无论取何实数值，， ∴ ，即， ∴ 无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根. (2) 矩形的周长为. 【分析】（1）计算一元二次方程的判别式，配方后证明其恒大于0，即可得证； （2）利用根与系数的关系表示矩形两边的和与积，结合勾股定理建立关于的方程，求解后根据边长为正的条件筛选的值，进而计算周长. 【详解】（1）略 （2）解：设，； ∵，是方程的两个根， ∴，； ∵ 矩形对角线，， ∴； ∵， ∴， 整理得， 解得，； ∵矩形边长为正数， ∴，， 即且，得， ∴舍去，取； ∴， ∴ 矩形周长为. 答：矩形的周长为14. 考点七一元二次方程的应用 19．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为，根据最小数与最大数的乘积为105，列方程解答即可； 【详解】解：设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 日历中的数字没有负数， 故舍去， 故 故这九个数中最小的数为5． 20．某网店于今年收购一批农产品，四月份的销售量达到袋，已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 【答案】当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元 【分析】先求出该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，设当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元，根据利润每袋的利润数量列方程即可求解． 【详解】解：（袋）， 该农产品每袋降价元，销售量可增加袋， 设当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元， 根据题意得， 整理得， 解得（舍去），， 答：当农产品每袋降价元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元． 21．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C移动． (1)几秒钟后的面积等于8？ (2)当时，内有一个动点M，连接、、．若，线段的最小值为______． 【答案】(1)2秒 (2) 【分析】（1）设运动时间为秒，根据题意可得：，，，，根据的面积等于8，列一元二次方程求解即可； （2）根据题意求出，进而得到，取的中点，连接，利用勾股定理及两点之间线段最短即可解答． 【详解】（1）解：设运动时间为秒， 根据题意可得：，， ∴，， ∵在矩形中，， ∴， ∵的面积等于8， ∴， 整理得一元二次方程：， 解得，， ∵， ∴，即， ∴超出运动范围舍去， ∴2秒后面积为8； （2）解：当时，，解得， ∴， 如图，取的中点，连接， ，， ， ， ∵点是的中点， ， 在中，， ， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长为， ∴的最小值为． 考点八相似多边形 22．已知长度分别为x、2、y、3的四条线段依次成比例，且，求x和y的值． 【答案】， 【分析】根据成比例线段的性质列等式，联立已知方程得到方程组，求解方程组即可． 【详解】解：由四条线段依次成比例可得，根据比例的基本性质得：， 联立已知条件，得方程组：， 将代入中，得： 解得． 将代入，得： 解得． 所以，，． 23．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】解：四边形与四边形相似． 理由如下：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴四边形与四边形相似． 【分析】根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案． 【详解】略． 24．如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值． 【答案】 【分析】利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵相对两条小路的宽度相等， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴小路的宽度x与y的比值为． 考点九探索三角形相似的条件 25．尺规作图：已知的中点，在上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）； 【答案】解：如图，点E即为所求． 【分析】根据作一个角等于已知角的方法，作，结合，可证． 【详解】略 26．已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 27．在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． (1)如图，，线段上有一点把线段分成两段，其中是较小的一段，且满足：：，求的值． (2)雷锋纪念馆雕像按照黄金分割比例雕刻（上部：下部下部：全身，上部比下部短），已知雕像下部高度为米，求这座雕像的总高度以及上部高度． 【答案】(1)的长为 (2)这座雕像的总高度为米，上部高度为米 【分析】（1）设为，则，根据列出方程，求解即可； （2）先根据上部：下部求出上部高度，再求这座雕像的总高度即可． 【详解】（1）解：设为，则， ∵， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴， 答：的长为． （2）解：∵上部：下部，下部高度为米， ∴上部高度米， ∴这座雕像的总高度米． 考点十相似三角形判定定理的证明 28．如图，已知，分别求出和的值． 【答案】 【分析】根据即可求，根据结合可得，，进而求解． 【详解】解：， ， ， ，且， ， ， ， ． 29．如图，、分别在的边、上，，且，，求的面积 【答案】 【分析】根据平行线构造线段成比例，结合同高的三角形面积比等于底边的比，构造方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 设， ， 解得：或（舍去） 则的面积为：． 30．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【分析】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点十一相似三角形的性质 31．如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 【答案】(1)证明：如图所示：过作，交于， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 又， ． (2) 证明：由（1）可知，是平行四边形， ， ， ， 即， ， ． 【分析】（1）过作，交于，则四边形是平行四边形，再通过，利用对应边成比例求成即可； （2）根据平行得出，，．再通过桥梁和，把要求证的两个比连接了起来． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】证明线段比例，借助平行线构造相似；多组比例证明相等，常用等量代换搭桥． 32．在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： 则即为所求； (2)解：根据题意，画图如下： 则点F，点即为所求． 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，画图即可； （2）根据三角形相似的判定，解答即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． 33．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米． （2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． 【详解】（1）解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴． ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则， ， ， ． （2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴． 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： 解方程： 即米． 考点十二图形的位似 34．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 【答案】①②和④中的两个图形都是位似图形，①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q 【分析】根据位似图形的定义，结合题目图形和条件即可判断①、②、③、④的图形是否为位似图形，再根据位似中心的定义即可指出位似图形的位似中心． 【详解】解：观察①②和④中的两个图形，结合题目所给条件，可得： ①②和④中的两个图形是相似图形，且对应点的连线相交于同一点，符合位似图形定义， ∴①②和④中的两个图形是位似图形，其中①中的位似中心是点A，②中的位似中心是点P，④中的位似中心是点Q． ∵③的图形是相似图形，但对应点的连线不相交于同一点，不符合位似图形定义， ∴③的图形不是位似图形． 35．如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 【答案】(1)解：如图所示， (2)解：点即为所求． 【分析】（1）根据位似图形的性质得出各对应点的位置，顺次连接即可； （2）根据相似三角形的性质，取格点、，连接，交于，点即为所求． 【详解】（1）解：略 （2）解：取格点、，连接，交于，点即为所求． 如图所示：略 证明：由网格可知，，，， ∴， ∴， ∴点即为所求． 36．如图，是边长为1的小正方形网格，菱形的四个顶点坐标均在格点上，已知． (1)画出该平面直角坐标系，菱形的顶点C、D的坐标分别为C（______，______），D（______，______）． (2)以坐标原点O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，得到菱形，请在第二象限画出菱形，并求出的值． 【答案】(1) 解：坐标系如下所示，则； (2)如图所示，四边形即为所求；的值为 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，写出坐标系中点的坐标等等，正确建立坐标系是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系，进而可得点C和点D的坐标； （2）把A、B、C、D的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接，再根据位似图形的面积之比等于位似比的平方可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵以坐标原点O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，得到菱形， ∴菱形与菱形的位似比为， ∴． 考点十三投影 37．如图，把一根木棒的一个端点放在平面P上，木棒在平面P上的正投影为，若长为，影长为，试求的长． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：在中，． 38．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”用数学的眼光来看，这是应用了比例知识中的正比例关系．某希望小学开展了“测量旗杆有多高”的实践活动．同学们进行了如下操作：某天下午5时，测出旗杆的影子长度，在同一时间、同一地点，测得两棵树的高度和它们影子的长度（如图），求旗杆的高度． 【答案】 【分析】根据同一时刻物体的高度与影长成正比解答即可． 【详解】解：设旗杆的高度是， 则， 解得． 答：旗杆的高度是． 39．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1) 解：如图所示，点P和即为所求； (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）略 （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 考点十四视图 40．如图1是由7个棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)在图2网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，使该几何体的左视图不变，请你写出两种添加的方式（小正方体可以标序号）． 【答案】(1)该几何体的主视图、左视图和俯视图如答图所示． (2)俯视图上的数字表示在这个位置上小立方块的个数，如图②，第二排最后小立方块上添加一个；如答图③，第一排小立方块右边添加一个．（答案不唯一） 【详解】（1）略 （2）略 41．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：还原立体图形为： 这个立体图形的体积为． （2）解：下面的长方体表面积为， 上面的长方体表面积为， 两个长方体重合部分面积为, 这个立体图形的表面积为． 42．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，该几何体的体积是_____，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_____个小正方体． 【答案】(1)，， (2) (3)4 【分析】（1）先数出这个几何体中小正方体的个数，再计算体积，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形； （2）求出不含地面的表面积即可求解； （3）保持主视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体；第3列后面的几何体上放1个小正方体． 【详解】（1）解：由图可知，这个几何体是由10个小正方体组成， 体积为：； （2）解：这个几何体的表面有个正方形，去掉地面上的个，个面需要喷上红色的漆，∴表面积为，（克） ∴共需克漆； （3）解：如果保持主视图和左视图不变，最多可以再添加个． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～4章）阶段复习解答题考点汇总训练 （十四大类型） 目录 考点一菱形的性质与判定 1 考点二矩形的性质与判定 2 考点三正方形的性质与判定 4 考点四认识一元二次方程 5 考点五一元二次方程的解法 6 考点六一元二次方程的根与系数的关系 7 考点七一元二次方程的应用 8 考点八相似多边形 9 考点九探索三角形相似的条件 10 考点十相似三角形判定定理的证明 11 考点十一相似三角形的性质 12 考点十二图形的位似 14 考点十三投影 15 考点十四视图 16 考点一菱形的性质与判定 1．如图，在菱形中，，，求的度数． 2．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 3．如图，在中，相交于O，点E，F分别在上，经过点O被平分，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若E为的中点，，求的长． 考点二矩形的性质与判定 4．如图，在矩形中，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，求的度数． 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C都是格点，D是上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图任务． (1)在图1中找格点E，使，再在上画点F，使得； (2)在图2中，先画菱形，再在上画点H，使得． 6．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、、设点、运动的时间为． (1)当________时，四边形是矩形； (2)连接，当时，求的值； (3)当点在的角平分线上时，求的值； 考点三正方形的性质与判定 7．如图，在正方形中，对角线，交于点，平分分别交，于点，，连接． (1)求证：． (2)求的值． 8．如图，正方形的边长为6，、分别在边、上．将、分别沿、折叠，使、都落在处（点、的对应点为，且恰好在上）． (1)求的度数； (2)求的周长． 9．正方形的对角线相交于点，正方形的顶点与点重合，且这两个正方形的边长都是1．已知，与正方形的边分别交于，两点． (1)如图1，若，则重叠部分四边形的面积是__________； (2)当正方形绕点旋转到如图2所示的位置时，四边形的面积是否发生变化？证明你的结论； (3)在正方形绕着点旋转的过程中，请直接写出的最短长度是多少． 考点四认识一元二次方程 10．将下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．当为何实数时，方程是关于的一元二次方程？ 12．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数，且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是_______________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 考点五一元二次方程的解法 13．选用合适方法解一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 14．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根．求证： 是正数． 15．某公司计划生产1200件新产品，现有甲、乙两家厂都具备加工能力．已知甲厂单独加工完成这批新产品比乙厂单独加工完成这批新产品少用10天；甲厂每天加工数量比乙厂每天加工数量多10件．求： (1)甲、乙两厂每天分别加工多少件产品？ (2)如果公司要求甲乙两家工厂合作完成这批新产品的加工任务，那么至少需要多少天？（不满1天的，以1天时间计算） 考点六一元二次方程的根与系数的关系 16．已知关于的一元二次方程 (1)求证：该方程必定有一个实数根是． (2)用含的代数式表示方程的另外一个实数根． 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若方程的一根恰为另一根的倍，求的值． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)当一矩形的对角线，且矩形两条边和的长恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 考点七一元二次方程的应用 19．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 20．某网店于今年收购一批农产品，四月份的销售量达到袋，已知该农产品每袋进价元，原售价为每袋元．该网店五月份降价促销，经调查发现，在四月份销售量的基础上，若该农产品每袋降价元，销售量可增加袋，当农产品每袋降价多少元时，该网店销售这种农产品在五月份可获利元？ 21．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C移动． (1)几秒钟后的面积等于8？ (2)当时，内有一个动点M，连接、、．若，线段的最小值为______． 考点八相似多边形 22．已知长度分别为x、2、y、3的四条线段依次成比例，且，求x和y的值． 23．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 24．如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值． 考点九探索三角形相似的条件 25．尺规作图：已知的中点，在上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）； 26．已知：如图，在和中，．求证：． 27．在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． (1)如图，，线段上有一点把线段分成两段，其中是较小的一段，且满足：：，求的值． (2)雷锋纪念馆雕像按照黄金分割比例雕刻（上部：下部下部：全身，上部比下部短），已知雕像下部高度为米，求这座雕像的总高度以及上部高度． 考点十相似三角形判定定理的证明 28．如图，已知，分别求出和的值． 29．如图，、分别在的边、上，，且，，求的面积 30．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 考点十一相似三角形的性质 31．如图，在平行四边形中， 求证： (1) (2) 32．在图①，图②的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． (1)在图①中的边上标出点E，连接，使与相似； (2)在图②中的边上标出点F，连接，使与相似．（要求：标出所有符合条件的点F） 33．小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 考点十二图形的位似 34．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 35．如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． (2)作出上的点，使． 36．如图，是边长为1的小正方形网格，菱形的四个顶点坐标均在格点上，已知． (1)画出该平面直角坐标系，菱形的顶点C、D的坐标分别为C（______，______），D（______，______）． (2)以坐标原点O为位似中心，将菱形放大为原来的2倍，得到菱形，请在第二象限画出菱形，并求出的值． 考点十三投影 37．如图，把一根木棒的一个端点放在平面P上，木棒在平面P上的正投影为，若长为，影长为，试求的长． 38．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”用数学的眼光来看，这是应用了比例知识中的正比例关系．某希望小学开展了“测量旗杆有多高”的实践活动．同学们进行了如下操作：某天下午5时，测出旗杆的影子长度，在同一时间、同一地点，测得两棵树的高度和它们影子的长度（如图），求旗杆的高度． 39．如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 考点十四视图 40．如图1是由7个棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)在图2网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，使该几何体的左视图不变，请你写出两种添加的方式（小正方体可以标序号）． 41．如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的主视图和左视图，根据图中所标尺寸（单位：）解答下列问题： (1)求这个立体图形的体积； (2)求这个立体图形的表面积． 42．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，该几何体的体积是_____，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加_____个小正方体． 学科网（北京）股份有限公司 $