期中（第1章～4章）阶段复习选择题考点汇总训练（十四大类型）-2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》（北师大版）

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～4章）阶段复习选择题考点汇总训练 （十四大类型） 目录 考点一菱形的性质与判定 1 考点二矩形的性质与判定 2 考点三正方形的性质与判定 3 考点四认识一元二次方程 4 考点五一元二次方程的解法 4 考点六一元二次方程的根与系数的关系 4 考点七一元二次方程的应用 5 考点八相似多边形 5 考点九探索三角形相似的条件 6 考点十相似三角形判定定理的证明 6 考点十一相似三角形的性质 7 考点十二图形的位似 8 考点十三投影 9 考点十四视图 9 考点一菱形的性质与判定 1．如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（     ）． A． B．13 C．10 D． 考点二矩形的性质与判定 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，矩形中，E点在上，且平分，若，，则面积为（     ） A．8 B．10 C．15 D．20 6．用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 考点三正方形的性质与判定 7．如图，在正方形中，对角线，是等边三角形，是对角线上一个动点，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 8．正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．4．5 D．5 9．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 考点四认识一元二次方程 10．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 11．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．1 B．3 C． D．3或 12．若关于的一元二次方程有一个根，则方程必有一个根为（     ） A． B． C． D． 考点五一元二次方程的解法 13．方程的根是（     ） A． B． C． D． 14．无论为何实数，二次三项式的值均不小于某数，则这个数是（     ） A． B． C． D． 15．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（     ） A．4 B． C．1 D． 考点六一元二次方程的根与系数的关系 16．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（     ） A． B． C． D． 18．已知、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．5 B．9 C．13 D．11 考点七一元二次方程的应用 19．如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为xm，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 20．某商品原价元，经过连续两次降价后售价为元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（     ） A． B． C． D． 21．生物兴趣小组的同学们在十一假期收集树叶标本，开学后向本组其他成员各赠送一件，已知全组共互赠标本72件，则这个小组共有（     ）人． A．7 B．8 C．9 D．10 考点八相似多边形 22．下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 23．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 24．如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 考点九探索三角形相似的条件 25．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 26．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 27．已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 考点十相似三角形判定定理的证明 28．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 29．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 30．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 考点十一相似三角形的性质 31．如图，在中，，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 32．若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 33．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 考点十二图形的位似 34．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 35．如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 36．如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 考点十三投影 37．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 39．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 考点十四视图 40．如图，所示的几何体，该几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 41．如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 42．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 期中（第1章～4章）阶段复习选择题考点汇总训练 （十四大类型） 目录 考点一菱形的性质与判定 1 考点二矩形的性质与判定 4 考点三正方形的性质与判定 6 考点四认识一元二次方程 9 考点五一元二次方程的解法 10 考点六一元二次方程的根与系数的关系 11 考点七一元二次方程的应用 12 考点八相似多边形 14 考点九探索三角形相似的条件 15 考点十相似三角形判定定理的证明 17 考点十一相似三角形的性质 19 考点十二图形的位似 21 考点十三投影 23 考点十四视图 25 考点一菱形的性质与判定 1．如图，将菱形沿着对角线所在的直线平移，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明是等边三角形，可得，再根据平移的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由平移的性质得：， ∴． 2．小明制作了一款菱形风筝，已知这个菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半列式计算． 【详解】解：， 即菱形风筝的面积为． 3．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，然后分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若，则的长为（     ）． A． B．13 C．10 D． 【答案】D 【分析】如图：连接，根据尺规作图可得，平分，易证是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 考点二矩形的性质与判定 4．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 即的度数为． 5．如图，矩形中，E点在上，且平分，若，，则面积为（     ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】过点作的垂线，利用角平分线的性质定理得出垂线段长度等于，进而计算三角形面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ，即， 平分，，， ， ． 6．用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图，，为边的中点，点、对应的刻度分别为、，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据刻度尺读出斜边的长度，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质求出的长． 【详解】解：由图可知，点A对应的刻度为，点B对应的刻度为， ∴线段的长度为：（）． ∵，为边的中点， ∴是斜边上的中线． 根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），可得：， ∴（）． 考点三正方形的性质与判定 7．如图，在正方形中，对角线，是等边三角形，是对角线上一个动点，则的最小值为（     ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用正方形对角线是对称轴，得到和关于对称，，把转化为，依据两点之间线段最短，确定最小值就是线段的长度；由正方形对角线算出正方形边长，再根据等边三角形三边相等，得到，即的最小值是． 【详解】解： ∵ 四边形是正方形， ∴ 点、点关于对角线对称，连接． ∴ ． ∴ ． 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长． ∵ 正方形的对角线， 设正方形边长为，由正方形对角线与边长关系得：， 解得 ， ∴ ． ∵ 是等边三角形， ∴ ． ∴ 的最小值为． 8．正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（     ） A．3 B．4 C．4．5 D．5 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得，再根据正方形的性质以及已知条件可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点， ∴， ∵正方形纸片的边长为， ∴，， ∵点是边的中点， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得， ∴． 9．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 考点四认识一元二次方程 10．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一元二次方程需同时满足一元、二次、整式方程三个条件，缺一不可. 【详解】解：A. 含有两个未知数，不符合； B. 含有两个未知数且最高次数为1，不符合； C. 只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合定义； D. 的分母含未知数，是分式方程，不满足“整式方程”，不符合. 11．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．1 B．3 C． D．3或 【答案】C 【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴ ，且． 解，得或． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 12．若关于的一元二次方程有一个根，则方程必有一个根为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由得， 方程有一个根为， ， 解得， 故选：B． 考点五一元二次方程的解法 13．方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，开平方得，即. 14．无论为何实数，二次三项式的值均不小于某数，则这个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原代数式配方，然后利用偶次方的非负性列出不等式即可解答． 【详解】解：， ∵ ． ∴ ，即无论为何实数，二次三项式的值均不小于1． 15．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 即， 解得． 考点六一元二次方程的根与系数的关系 16．若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，列出关于m的不等式，即可确定m的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， 解得． ∵， ∴， 解得， 综上，的取值范围是． 17．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求代数式拆分为含与的两部分，结合一元二次方程根的定义和根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 18．已知、是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．5 B．9 C．13 D．11 【答案】C 【详解】解：由根与系数的关系得，，， ． 考点七一元二次方程的应用 19．如图，在长为60m，宽为40m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（其中有两条纵向和一条横向，横向与纵向道路互相垂直），把耕地分成六块作为试验田，要使试验田总面积为，问道路应为多宽？若设道路宽为xm，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移思想，将道路平移至矩形边缘，把分散的六块试验田拼成一个大矩形，表示出新矩形的长和宽，根据面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路宽为， 利用平移法，将两条纵向道路和一条横向道路分别平移到矩形的边缘，此时试验田合并为一个长为，宽为的矩形， 由试验田总面积为，得． 20．某商品原价元，经过连续两次降价后售价为元．若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设平均每次降价的百分率为，那么第一次降价后的单价是原来的，那么第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 原价为元，连续两次降价后售价为元， ， 整理，得， 方程两侧同时开方，得或， 解得或， 不符合题意，舍去， ， 由于对应的百分率为． 21．生物兴趣小组的同学们在十一假期收集树叶标本，开学后向本组其他成员各赠送一件，已知全组共互赠标本72件，则这个小组共有（     ）人． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用互赠总件数=人数×(人数)的等量关系列方程求解． 【详解】解：设这个小组共有人， 每人向其他名成员各赠送1件标本，全组共互赠件， 依题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵人数为正整数， ∴不符合题意，舍去． 考点八相似多边形 22．下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 【答案】C 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，若最小与最大线段的乘积等于中间两线段的乘积，则该组线段成比例． 【详解】解：A． 排序得，，，，，，，不成比例． B． 排序得，，，，，，，不成比例． C． 排序得，，，，，，，成比例． D． 排序得，，，，，，，不成比例． 23．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． 24．如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质得到，进而求出的度数． 【详解】解：四边形四边形， ． 四边形的内角和为， ． 考点九探索三角形相似的条件 25．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即图中相似三角形的对数为6对． 26．如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可推导出，即两个三角形有一组对应角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 对于A，若，结合，根据两边成比例且夹角相等可判定； 对于B，若，结合，根据两角分别相等可判定； 对于C，若，此时对应边的比例关系中，已知相等的角与不是这两组对应边的夹角，无法判定； 对于D，若，结合，根据两角分别相等可判定． 27．已知线段，点C是线段的黄金分割点，则的长为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点十相似三角形判定定理的证明 28．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则进行判断． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 根据平行线分线段成比例定理，图C中对应线段成比例，满足，符合题意． 29．如图，，若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ，，， ， ． 30．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 考点十一相似三角形的性质 31．如图，在中，，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形性质得出及边长比例，结合直角三角形性质证得为中点，构造平行线利用相似比求解． 【详解】解：， ，， ，在上， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 过点作交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ，即， ． 32．若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，相似比为， 与的周长的比为． 33．如图，直角梯形中，，，，，点E在高上滑动，若与相似，则当时，（     ） A．4 B．6 C．4或9 D．4或6 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，由于未指定对应顶点，需分两种情况讨论相似三角形的对应边比例关系，列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 若与相似，分两种情况： ①当时， ∴，即，解得； ②当时， ∴，即，解得； 综上所述，的长为4或9 ． 考点十二图形的位似 34．下列图形中，不是位似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 【详解】解：根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，故不是位似图形． 35．如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为．若的面积是，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴， 故选C． 36．如图，在平面直角坐标系中，，以点C为位似中心，作的位似图形，点与原点O重合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，则可得到，，证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵以点C为位似中心，作的位似图形， ∴， ∴，， ∴与平行， ∴， ∴， ∵，点与原点O重合， ∴， ∴． 考点十三投影 37．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 38．手影是一种有趣的民间游戏．如图，小明的手距离墙壁米，台灯距离小明的手米，在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，则小明的手与台灯之间的距离需要（     ） A．增加米 B．减小米 C．增加米 D．减小米 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示手影，则，作于点，延长交于，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵在台灯不动的情况下，要使手影的高度增加为原来的一倍，如下图： 即， 又， ∴， ∴， 即， ∴光源与小明的距离应减小米． 39．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 考点十四视图 40．如图，所示的几何体，该几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：该几何体的左视图为． 41．如图是三棱柱及其三视图，在俯视图中，，，，则左视图中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从左向右看，看到的宽度是底面中顶点E到边的垂直距离，过点E作于点Q，则，在中，，得到，从而求出长． 【详解】解：过点E作于点Q，则是边上的高，且， 在中，，， ， 即． 42．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为（   ） A．50 B．66 C．70 D．76 【答案】B 【详解】解：由主视图和俯视图可知，底面正方形的对角线长为，长方体的高为， ∴底面边长为， ∴这个长方体的表面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $