河南省南阳市2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷（一）

2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷（一）（河南省南阳市适用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则的真子集的个数为（    ） A．8 B．7 C．16 D．15 2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（   ） A．若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量的分布比较集中 B．在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10 D．一组数据6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位数为7 5．已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 6．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 7．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 8．曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，为两个随机事件，，分别表示，的对立事件，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，相互独立，则 D．若，则 10．已知函数，则（    ） A．，是增函数 B．，是奇函数 C．若有三个不同的零点，，，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 11．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则是直角三角形 D．若，则是等边三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知，是两个单位向量，，且，则与的夹角为_________． 13．棱长为2的正方体中，E是棱上的动点，F是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为_____________. 14．已知符号函数及函数，.若对任意的，，则实数的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．养殖户承包一片靠岸水域，如图为直岸线，，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知. (1)求岸线上点与点之间的直线距离； (2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，设两段网箱获得的经济总收益为万元，求的取值范围. 16．已知的内角所对的边分别为，且． (1)证明：； (2)若的面积为，求． 17．如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 18．人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛，比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分别为 ，通过物理实现环节的概率分别为 已知三人之间以及每人的不同环节之间互不影响. (1)当a为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大? (2)当 时，设老张、小李、小军三位工程师中能进入流片与测试环节的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 19．已知函数，． (1)若函数图象的一条切线为，求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)对于任意的，证明：． 试卷第2页（共4页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高三数学上学期期中自编模拟卷（一）（河南省南阳市适用）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D B B D B ABD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】进行交集的运算求出，然后即可得出的真子集的个数． 【详解】因为，， 将中元素代入，验证可得， 所以的真子集的个数为. 故选：B. 2．A 【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求. 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 3．C 【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量，，再利用平面向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知， 两式相减，即，得， 所以， 因此. 4．D 【分析】由正态分布的性质，可得A的正误；由决定系数的作用，可得B的正误；由平均数的计算公式，可得C的正误；由百分位数的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由为标准差，该值越小，数据越集中，则曲线越高瘦，故A正确； 对于B，当决定系数越大时，残差平方和越小，即模型拟合的效果越好，故B正确； 对于C，由，则，故C正确； 对于D，由，由，则第百分位数为，故D错误. 故选：D. 5．B 【分析】先根据最小正周期求出，然后根据正切函数的性质求出对称中心. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，所以. 令，化简得. 所以，所以是图象的对称中心. 6．B 【分析】取中点，根据空间向量的数量积运算得，判断的最大值即可求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以，      点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，当为直径时，， 所以的最大值为. 故选：B. 7．D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 8．B 【分析】分别求出两曲线的切线方程，再构造函数，利用导数求得单调性和最值，即可求得的取值范围. 【详解】两个函数求导分别为， 设，图象上的切点分别为，， 则过这两点处的切线方程分别为，， 则，，所以， 设，，， 令，所以， 所以在上单调递增，且， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的定义得到，从而构造函数即可得解. 9．ABD 【分析】根据事件的包含关系，结合互斥事件的概率公式，可判断A、B的正误；根据独立事件的概率公式，可判断C的正误；根据全概率公式及条件概率公式，可判断D的正误. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得A、B互斥， 所以，故B正确； 选项C：若，相互独立，则 所以，故C错误； 选项D：因为，所以， 则，故D正确. 10．ACD 【分析】选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可. 【详解】已知，则. 选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以. 所以，是增函数，故A正确. 选项B：，， 则，故不是奇函数，故B错误. 选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根. 其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则. 所以，故C正确. 选项D：设切点为，， 所以切线方程为. 又切线过，所以，即. 切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点. . 令，即，解得或. 当时，，当时，， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，极大值为， 所以当时，与有3个交点. 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确. 11．BCD 【分析】正弦定理化角为边，利用余弦定理确定角的范围判断A，由锐角三角形的定义及正弦函数性质判断B，由正弦定理化边为角，再利用三角函数恒等变换求得判断C，利用余弦函数性质求得的关系判断D． 【详解】由正弦定理得，所以， 所以为锐角，但不能断定是否为锐角三角形，故A错误； 在锐角中，由，可得，且，. 由函数在上单调递增， 得，即，故B正确； ，由正弦定理得， 所以 ，得， 因为，，所以，，所以， 因为，所以，为直角三角形，故C正确； ，，， 故，同理可得， ，要使，则需， 所以，，， 所以，是等边三角形，故D正确. 故选：BCD. 12．＃＃ 【分析】根据数量积垂直可得,然后根据模长公式及夹角公式即可求解. 【详解】由,又,可得 因为,所以 故答案为: 13． 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用空间向量求两直线的夹角的余弦值，当两直线所成的角最小时，余弦值最大，结合对勾函数的性质可求出此时的值，进而可求三角形的面积. 【详解】建立如图所示的空间直角生标系， 则 ，设 ()， 则 设直线与 所成的角为 ， 则 由对勾函数的性质可知函数在上单调递减， 所以当时，，此时最大，即角最小， 此时与点重合，此时是以为直角的直角三角形， 易求得,所以的面积为 故答案为： 14． 【分析】由符号函数和题意可知函数的关系，然后讨论的不同取值得到函数的值域，并通过函数的关系作出判断或者列出不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 由符号函数及可知恒成立， 当时，，恒成立，故不满足题意， 当时，令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要想使得恒成立，则，解得. 当时，，函数在上单调递减， 所以，，不满足恒成立， 所以. 15．(1)千米 (2) 【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案； （2）由正弦定理，表示出边，整理利润的三角函数表达式，可得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理，得 即岸线上点A与点之间的直线距离为千米. （2）在中，设， ， 故有， ， 设两段网箱获得的经济总收益为万元，则 ， 故的取值范围为. 16．(1) 根据正弦定理设，则， 代入，得，即， 整理得， 由，得， 所以； (2) 【分析】（1）根据正弦定理将边化角，再利用和角的正弦公式化简即可； （2）利用三角形的面积公式，结合正弦定理得到，利用和角的余弦公式和同角三角函数的平方关系求解即可. 【详解】（1）略 （2）由面积公式得， 由正弦定理得， 整理得， 由，得， 由（1）得， 由平方关系得 解得或 因为，所以，所以． 17．(1)由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面 ， 又平面 ，所以. (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面 ，平面 ，则， 而， ，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又， ， ，， 则，，，，，， ，，， 设平面 的法向量为，则，令，得， 设平面 的法向量为，则，令 ，得， 因此， 所以平面 与平面 夹角的正弦值为. （3）设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面 ，得是平面 的一个法向量，于是， 即，解得，， 因此，所以. 18．(1) (2) 0 1 2 3 P . 【分析】（1）把老张通过两个环节的概率表示为关于a的函数，利用函数性质求概率最大时a的值； （2）求出三人能进入流片与测试环节的概率，由的可能取值求出对应的概率，列出分布列，由公式求数学期望. 【详解】（1）老张通过两个环节的概率为， 因为，所以当时，取得最大值. 所以当时，老张通过两个环节的概率最大. （2）当 时，老张进入流片与测试环节的概率为， 小李进入的概率，小军进入的概率， 设为能进入的人数，则的可能取值为， ， ， ， . 分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望为 . 19．(1) (2) (3)原不等式两边同除以，， 等价于证明， 设，则， 则时，，时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 令，则， 所以， 则， 则. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）原不等式等价于证明，设，进而得到，令，可得，进而求证即可. 【详解】（1）由，则， 设切点为 ，切线的斜率为1 ， 即 ，即 ①， 又切点在切线 上，故 ， 即，则②， 由①②得， 若 ，则，与矛盾； 若，，此时，， 有 ， 故曲线在处的切线恰为，符合题意. （2）对任意的，恒成立，而， 若时，单调递增，则，满足题意； 若时， 0 极小值（最小值） 则， 设 ，则， 则在上单调递减，则， 对任意的，若，不等式不能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. （3）略 答案第4页（共12页） 答案第1页（共12页） 学科网（北京）股份有限公司 $