专题03相似多边形、三角形相似的条件及判定定理的证明期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题03相似多边形、三角形相似的条件及判定定理的证明 期中复习讲义 ✵复习目标 · 1.掌握相似多边形、相似三角形的定义，理解相似比及其有序性； · 2.掌握平行线判定三角形相似的预备定理； · 3.熟记三角形相似的三个判定定理，能规范书写三个判定定理的证明； · 4.能结合图形特征，合理选择判定方法进行证明、线段求值、条件补充； · 5.规范几何证明书写，厘清易混易错点，区分相似与全等的联系和差异。 ✵高频题型梳理 题型1.成比例线段相关计算 题型2.相似多边形及其性质 题型3.黄金分割相关题型 题型4.由平行判断成比例线段、求线段长或比值 题型5.利用平行线判定三角形相似 题型6.两角对应相等判定三角形相似 题型7.两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似 题型8.三边对应成比例判定三角形相似 题型9.补充条件使两个三角形相似 题型10.相似三角形判定综合证明 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、相似多边形 1.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 核心要点：两条件缺一不可，仅角相等或仅边成比例，多边形不相似。 2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 3.相似多边形核心性质:对应角相等，对应边成比例；相似多边形周长比、对应对角线比、对应角平分线比均等于相似比；相似多边形面积比等于相似比的平方。 4.相似多边形判定方法:边数相同的多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，即可判定为相似多边形。 知识点二、相似三角形 在△ABC和△中，如果∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠,===k,即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△相似， 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC和△相似记作△ABC∽△ 对应顶点：A与,B与,C与。 对应角：∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠. 对应边：AB与，BC与,AC与 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知识点四、相似三角形的判定定理 判定定理1：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 常见基础模型：A型相似、X型（8型）相似。 判定定理2. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 判定定理3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 如上图，在△ABC和△DEF中,若=,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 注意：必须是对应夹角相等，对角相等无法判定相似，切勿与全等SAS混淆。 判定定理4.三边成比例的两个三角形相似（SSS） 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若==,则△ABC∽△DEF. 适用场景：题干仅给出边长、比例条件，无角度信息时优先使用。 推论：斜边和直角边成比例的两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若=,∠B=∠E=90°，则△ABC∽△DEF. ✵易错提醒 1. 写相似符号∽，对应顶点必须对齐，顺序决定对应边、对应角和相似比； 2.相似多边形：对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可； 3.SAS相似：相等的角一定是夹角，SSA 不能判定三角形相似； 4.一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，要分清是顶角还是底角； 5.由等积式化比例式，找准对应边，不要写反； 6.定理证明不能跳关键步骤：截取、作平行线、证全等是得分点； 7.全等是相似比等于1的特殊相似，不要混淆判定条件。 ✵典例精讲 题型1.成比例线段相关计算 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．已知三条线段的长分别为、、，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则这条线段的长可以为__________．（填一个即可） 3．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的高线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)、、、是成比例线段吗？说明理由． 题型2.相似多边形及其性质 1．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 2．已知五边形五边形，若，，则的值为________． 3．如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值． 题型3.黄金分割相关题型 1．如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知线段的黄金分割点为，其中较长线段厘米，较短线段_________厘米． 3．材料一：有教材对“黄金分割比”的定义如下： “如图，点C把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比．”根据定义不难发现，在线段上另有一点D把线段分成两条线段和，满足，所以点D也是线段的黄金分割点． 材料二：对于实数，若满足，，则称为的黄金数，为的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题： (1)如图，点D、C在线段上，若，点C和点D是线段的黄金分割点，则______，______． (2)实数，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求的值． (3)实数，，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值． 题型4.由平行判断成比例线段、求线段长或比值 1．如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 3．如图，在中，，，，，求的长． 题型5.利用平行线判定三角形相似 1．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 2．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 3．如图，在中，，分别是边和上的点，且，，，，求的长． 题型6.两角对应相等判定三角形相似 1．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 2．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 3．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 题型7.两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似 1．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 3．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 题型8.三边对应成比例判定三角形相似 1．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 2．图中的三角形相似的是______． 3．如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 题型9.补充条件使两个三角形相似 1．在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，请补充一个条件：_______________，使． 3．如图，在四边形中，点为上一点，，当在上何处时，？ 题型10.相似三角形判定综合证明 1．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 3．已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 2．观察下列每组三角形，不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 3．相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（     ） A． B． C． D． 4．已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 6．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 7．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 8．如图，在中，，，则的值为______． 三、解答题 9．如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 10．已知：如图，，，分别为的高和中线，，分别为的高和中线．求证：． 11．已知：如图，在和中，．求证：． 12．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03相似多边形、三角形相似的条件及判定定理的证明 期中复习讲义 ✵复习目标 1.掌握相似多边形、相似三角形的定义，理解相似比及其有序性； 2.掌握平行线判定三角形相似的预备定理； 3.熟记三角形相似的三个判定定理，能规范书写三个判定定理的证明； 4.能结合图形特征，合理选择判定方法进行证明、线段求值、条件补充； 5.规范几何证明书写，厘清易混易错点，区分相似与全等的联系和差异。 ✵高频题型梳理 题型1.成比例线段相关计算 题型2.相似多边形及其性质 题型3.黄金分割相关题型 题型4.由平行判断成比例线段、求线段长或比值 题型5.利用平行线判定三角形相似 题型6.两角对应相等判定三角形相似 题型7.两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似 题型8.三边对应成比例判定三角形相似 题型9.补充条件使两个三角形相似 题型10.相似三角形判定综合证明 题型10.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、相似多边形 1.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 核心要点：两条件缺一不可，仅角相等或仅边成比例，多边形不相似。 2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 3.相似多边形核心性质:对应角相等，对应边成比例；相似多边形周长比、对应对角线比、对应角平分线比均等于相似比；相似多边形面积比等于相似比的平方。 4.相似多边形判定方法:边数相同的多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，即可判定为相似多边形。 知识点二、相似三角形 在△ABC和△中，如果∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠,===k,即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△相似， 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC和△相似记作△ABC∽△ 对应顶点：A与,B与,C与。 对应角：∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠. 对应边：AB与，BC与,AC与 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知识点四、相似三角形的判定定理 判定定理1：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 常见基础模型：A型相似、X型（8型）相似。 判定定理2. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 判定定理3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 如上图，在△ABC和△DEF中,若=,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 注意：必须是对应夹角相等，对角相等无法判定相似，切勿与全等SAS混淆。 判定定理4.三边成比例的两个三角形相似（SSS） 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若==,则△ABC∽△DEF. 适用场景：题干仅给出边长、比例条件，无角度信息时优先使用。 推论：斜边和直角边成比例的两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若=,∠B=∠E=90°，则△ABC∽△DEF. ✵易错提醒 1. 写相似符号∽，对应顶点必须对齐，顺序决定对应边、对应角和相似比； 2.相似多边形：对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可； 3.SAS相似：相等的角一定是夹角，SSA 不能判定三角形相似； 4.一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，要分清是顶角还是底角； 5.由等积式化比例式，找准对应边，不要写反； 6.定理证明不能跳关键步骤：截取、作平行线、证全等是得分点； 7.全等是相似比等于1的特殊相似，不要混淆判定条件。 ✵典例精讲 题型1.成比例线段相关计算 1．下列各组中的四条线段成比例的是（     ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】用最长与最短线段的乘积和中间两线段的乘积是否相等，判断线段是否成比例． 【详解】解：A．∵， ∴、、、不成比例； B．∵， ∴、、、成比例； C．∵， ∴、、、不成比例； D．∵， ∴、、、不成比例． 2．已知三条线段的长分别为、、，如果另外一条线段与它们是成比例线段，则这条线段的长可以为__________．（填一个即可） 【答案】答案不唯一，或或其中一个即可． 【分析】四条线段成比例未确定顺序，需分类讨论，根据比例的基本性质计算未知线段长即可． 【详解】解：设这条线段的长为， 根据成比例线段的定义，分三种情况列等式： 若， 由比例的基本性质得； 若， 由比例的基本性质得，解得； 若， 由比例的基本性质得，解得； 综上所述，这条线段的长可以为或或． 3．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的高线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)、、、是成比例线段吗？说明理由． 【答案】(1)如图所示 (2)解：、、、是成比例线段．理由如下： ∵在中，是斜边上的高， ， ， ， ∴、、、是成比例线段． 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，进而问题可求解； （2）由题意易得，然后根据线段成比例进行求解即可． 【详解】（1）略 （2） 略 题型2.相似多边形及其性质 1．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案． 【详解】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为， ∴它们的相似比为． 2．已知五边形五边形，若，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，利用已知对应边求出相似比，即可得到所求对应边的比值． 【详解】解：∵ 五边形五边形， ∴ 对应边成比例，可得， 将，代入得：． 3．如图，矩形花坛的宽，长．现计划在该花坛四周修筑小路，小路的四周围成矩形．若矩形与矩形相似，并且相对两条小路的宽度相等，求纵向小路的宽度与横向小路的宽度的比值． 【答案】 【分析】利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵相对两条小路的宽度相等， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ， ， ， ∴小路的宽度x与y的比值为． 题型3.黄金分割相关题型 1．如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据黄金分割点的定义：较长线段是全线段与较短线段的比例中项，且较长线段与全线段的比值为，逐项判断即可． 【详解】解：点P为线段的黄金分割点，且，则： ，即，故①正确； 设，则， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴, ∴,故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 2．已知线段的黄金分割点为，其中较长线段厘米，较短线段_________厘米． 【答案】 【分析】根据黄金分割比是计算即可； 【详解】点是线段的黄金分割点，且较长线段厘米， ， ． 3．材料一：有教材对“黄金分割比”的定义如下： “如图，点C把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比．”根据定义不难发现，在线段上另有一点D把线段分成两条线段和，满足，所以点D也是线段的黄金分割点． 材料二：对于实数，若满足，，则称为的黄金数，为的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题： (1)如图，点D、C在线段上，若，点C和点D是线段的黄金分割点，则______，______． (2)实数，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求的值． (3)实数，，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据黄金分割的定义分别计算和的长，可得的长； （2）根据黄金数和白银数的定义分别列式，得关于a和b的一元二次方程，解出代入可得结论； （3）根据定义列两个等式，将代入分别解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点C和点D是线段的黄金分割点， ∴， ∴； （2）解：∵b为0，1的黄金数，且实数， ∴， 整理得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵a为0，1的白银数，且实数， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数， ∴， ∵， 由①得：，由②得：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 题型4.由平行判断成比例线段、求线段长或比值 1．如图，直线，直线交，，于点，，，直线交，，于点，，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线分线段成比例定理得出，结合求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 2．如图，直线，直线分别交、、于点A，B，C，过点B的直线分别交，于点D，E．若，，，则线段的长为______________ 【答案】3 【分析】三条平行线截两条直线，对应的线段比值相等，得到和的比等于和的比，算出长度是的 2 倍；由与两段组成，总长为 9，也就是 3 份等于 9，求出长是 3． 【详解】解：已知直线，，，． 根据平行线分线段成比例定理： 得到，， 又因为，，把代入得： 故答案为：3． 【点睛】 3．如图，在中，，，，，求的长． 【答案】的长为． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即的长为． 题型5.利用平行线判定三角形相似 1．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 2．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 【答案】3 【分析】由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得、，进而得，最后综合即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有3对． 3．如图，在中，，分别是边和上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】根据可证，再根据相似三角形对应边成比例即可求出结果． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ． 题型6.两角对应相等判定三角形相似 1．如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即图中相似三角形的对数为6对． 2．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 3．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 题型7.两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似 1．下列与图中的三角形相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两三角形相似需满足两组对应边的比值相等，并且这两组边的夹角相等，依据此标准逐个判断即可． 【详解】解：题干给出的三角形两边比为，夹角为， 选项A，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，A不符合题意； 选项B，三角形三边相等，为等边三角形，没有夹角为，故与原三角形不相似，B不符合题意； 选项C，三角形两边比为，夹角为，符合三角形相似的判定定理，故与原三角形相似，C符合题意； 选项D，三角形两边比为，但夹角不是，故与原三角形不相似，D不符合题意． 2．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】观察图形可知为和的公共角，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解： 在和中， ， 当添加条件或者或者时 ， ． 3．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】证明：， ，即， 又， ． 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 题型8.三边对应成比例判定三角形相似 1．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得三角形的三边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，判断解答即可． 【详解】解：在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上， ，，， A. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； B. 三角形的最小边的长为，较长的边长为3，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； C. 三角形的最小边的长为，较长的边长为4，最长的边长为， 此时， 故 三边对应成比例，此三角形与相似； D. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为4，此时， 三边不成比例，此三角形与不相似． 2．图中的三角形相似的是______． 【答案】（1）和（2） 【分析】通过判断三边是否对应成比例来确定相似三角形． 【详解】解：图（1）中； 图（2）； 图（3）； 图（4）， ∵（1）和（2）中， ∴这两个三角形相似， 所以答案为（1）和（2）． 3．如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】这两个三角形相似，理由如下： 对： ，，； 对： ，，． 计算三边的比值： ，，， ∴， ∴． 【分析】用勾股定理计算两个三角形各边的长度．将两个三角形的边按长度从小到大排序，计算对应边的比值．依据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，判断两个三角形是否相似． 【详解】略 题型9.补充条件使两个三角形相似 1．在中，点分别在边上，下列条件中，一定能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两三角形有公共角，判定相似需满足夹的两边对应成比例，或有另一组对应角相等． 【详解】解：∵ 是与的公共角， ∴ 当夹的两边对应成比例，即时，两三角形相似． A选项：由，得， 则，即， 故， 又，故，符合题意． B、C选项：比例式中的边、不是夹公共角的边，无法结合公共角判定相似，不符合题意． D选项：由得，推不出，不符合题意． 2．如图，，请补充一个条件：_______________，使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵．， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 3．如图，在四边形中，点为上一点，，当在上何处时，？ 【答案】当点为的中点时，． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先证明，则，又点为的中点，所以，故，即，然后通过相似三角形的判定方法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当点为的中点时，，理由， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 题型10.相似三角形判定综合证明 1．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐一判断选项即可． 【详解】解：， ， 选项，添加，无法判定，故符合题意； 选项，添加，可用两边及其夹角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意． 2．如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 【答案】3 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 3．已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】证出，由相似三角形的判定可得出结论． 【详解】略 ✵分层专项训练 一、单选题 1．如图，四边形和四边形相似（点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应点），且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形和四边形相似， ∴它们的相似比是． 2．观察下列每组三角形，不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理，对四个选项中的条件进行逐一分析，判断是否满足相似条件 【详解】解：A、，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、，且夹角均为，两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似，不符合题意； C、仅有一组角为相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 3．相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干中给出的黄金比定义及的长度，列式计算 即可． 【详解】解：，， ． 4．已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，和是对应中线，，， ∴两个三角形的相似比为， ∴对应角平分线的比为． 二、填空题 5．在四边形与四边形中，，若四边形的周长为，则四边形的周长为_________． 【答案】42 【详解】解：∵ ， ∴ 四边形与四边形的周长比为， 设四边形的周长为， 则， 解得 ． 则四边形的周长为． 6．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 7．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 8．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 9．如图，，直线，分别交直线，，于点，，和点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可； 根据平行线分线段成比例定理得，求出，然后通过进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的长为． 10．已知：如图，，，分别为的高和中线，，分别为的高和中线．求证：． 【答案】证明：， ，， ，分别是，的中线， ，， ， ， ，， ， ， ，分别是，的高线， ， ． 【分析】先由得，，再根据中线得， 从而，由此可知，最后根据高线得，即可得证． 【详解】略 11．已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 12．如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【分析】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 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