专题3.2 探索三角形相似的条件（5大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题3.2 探索三角形相似的条件 知识点1：相似三角形 　　1.定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，用符号“∽”表示，如△ABC∽△A′B′C′。 　　2.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。 比较项 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是 1，也可以是其他正实数 知识点2：三角形相似的判定 判定定理 条件 结论 图例 定理1 两角分别相等：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ △ABC∽△A′B′C′ 定理2 两边对应成比例且夹角相等：，∠A＝∠A′ △ABC∽△A′B′C′ 定理3 三边对应成比例： △ABC∽△A′B′C′ 知识点3：平行线截三角形相似 　　1.平行截相似：平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 　　2.传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 知识点4：常见相似图形 图形类型 图形特征 判定方法 平行线型 已知 DE∥BC，同位角、内错角相等 两角分别相等 斜交型 有公共角或对顶角，另一组对应角相等 两角分别相等 母子型 公共角的两边对应成比例（如直角三角形斜边上的高） 两角相等或两边成比例夹角相等 旋转型 有一组角对应相等，公共角两边对应成比例 两边成比例，且夹角相等 知识点5：黄金分割 　　1.定义：点 C 把线段 AB 分成 AC 和 BC（AC>BC）两段，如果（AC 是 AB 与 BC 的比例中项），这种分割叫黄金分割，点 C 是黄金分割点。 　　2.黄金数：。 【基础必考题型】 【题型1】由平行判定相似 1.核心知识点 　　平行线截三角形相似；找同位角、内错角、公共角。 2.解题方法技巧 　　①由平行得到相等角； 　　②用两角分别相等判定相似； ③注意图中公共角、对顶角。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，，，，．求证：． 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求的长． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点E在的边的延长线上，连接，交于点F．指出图中有几对相似三角形，并说明理由． 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 【题型2】由两角相等判定相似 1.核心知识点 　　两角分别相等的两个三角形相似；找相等角。 2.解题方法技巧 　　①找出两组对应角相等； 　　②利用垂直、平行、等腰等得到等角； ③写明对应顶点，规范书写相似。 【例题2】.（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           【变式题2-1】.（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【题型3】由两边成比例及夹角相等判定相似 1.核心知识点 　　两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2.解题方法技巧 　　①先找夹角相等； 　　②验证夹角两边的比是否相等； ③注意必须是对应边且夹角对应。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【题型4】由三边成比例判定相似 1.核心知识点 　　三边对应成比例的两个三角形相似。 2.解题方法技巧 　　①列出三边对应比并化简； 　　②三组比相等即相似； ③用边长判断相似时无须知道角度。 【例题4】.（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东·课后作业）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程： (1)在中，是直角，；在中，是直角，． (2)在中，；在中，，，． 【培优高频题型】 【题型5】选择或补充条件使三角形相似 1.核心知识点 　　综合运用三个判定定理选择条件。 2.解题方法技巧 　　①对照三定理逐项检验选项； 　　②注意“夹角”条件是否满足； ③补充条件时保证两角相等或两边成比例且夹角相等。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【题型6】裁剪使两三角形相似 1.核心知识点 　　在三角形内剪线，判断所得小三角形与原三角形是否相似。 2.解题方法技巧 　　①剪线平行某边，则与原三角形相似； 　　②剪线过顶点截出小角，结合边比判断； ③逐一验证各剪法的对应角、对应边。 【例题6】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（24-25九年级上·云南红河·期末）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（   ）对． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型7】尺规作图使三角形相似 1.核心知识点 　　作平行线或等角，使构造的三角形与原三角形相似。 2.解题方法技巧 　　①通过作平行线得等角、等比例； 　　②通过作等角构造两角相等； ③保留作图痕迹，指出所构造的相似三角形。 【例题7】.（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式题7-1】.（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【变式题7-2】.（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式题7-3】.（2026·陕西·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得． （要求保留作图痕迹，不写作法） 【题型8】由黄金分割求值 1.核心知识点 　　黄金分割定义与黄金数；利用比例式求线段。 2.解题方法技巧 　　①由 列比例式； 　　②用黄金比 直接求较长段； 　　③注意较长段与较短段的区分。 【例题8】.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，线段，点与点均为线段的黄金分割点，则________ 【变式题8-1】.（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，线段，点是靠近点的黄金分割点，点是靠近点的黄金分割点．试确定点到端点的距离以及点到端点的距离． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·广西钦州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 【压轴素养题型】 【题型9】黄金分割的应用 1.核心知识点 　　黄金分割在身高比例、构图、艺术、建筑中的应用。 2.解题方法技巧 　　①把实际问题转化为黄金比列式； 　　②用黄金比×总量求部分量； ③取近似值时结合情境判断合理性。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（ B． C． D． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【变式题9-3】.（2025·福建龙岩·二模）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达·芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 【题型10】新定义与跨学科综合探究 1.核心知识点 　　新定义（格点三角形、黄金矩形等）；跨学科情境；探究规律。 2.解题方法技巧 　　①读懂新定义，转化为熟悉的相似判定； 　　②结合坐标、网格、图形计算边角； 　　③归纳连续变化规律，用字母表示并求解。 【例题10】.（2025·江苏常州·二模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 【变式题10-2】.（2026·安徽合肥·一模）定义：一个矩形较短边与较长边之比是，则这个矩形叫作黄金矩形．如图1，矩形为黄金矩形（），E为边上一点，将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． （1）_________； （2）如图2，G为边上一动点，过G点作，垂足为H，将矩形沿折叠，点B的对应点为，交于点Q，若矩形为黄金矩形，则_________． 【变式题10-3】.（2026·广东·二模）综合与探究 【概念理解】 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就知道并能应用黄金分割．黄金分割的相关定义为：如图1，点C将线段分割为和两条线段，其中，若 则称该分割为黄金分割，称点 C为线段的一个黄金分割点，称他们的比值为黄金分割比，记为m，即 黄金分割比m与线段的长度无关，是一个定值． 【初步探索】 (1)请求出黄金分割比m的大小； 【深入探究】 (2)如图2，对折边长为 4的正方形得折痕，其中点E在边上，点F在边上，连接，将边折叠到上，点B 落在点H处，折痕交边于点 G．请证明点G为线段的一个黄金分割点； 【拓展研究】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点A在x轴上，点 C在y轴上，反比例函数的图象交于点 D，交 与点 E．若点 D 为线段的一个黄金分割点，请探究点 E 是否为线段的一个黄金分割点，并说明理由． 易错点 1、判定相似时误用夹角，两边成比例却未确认夹角对应。 2、对应顶点写错，导致相似比与对应关系错误。 3、找等角时忽略公共角、对顶角、平角。 4、平行线截得的小三角形与原三角形的对应边找错。 5、黄金分割较长段与较短段混淆，比例写反。 6、动点问题中忽略时间或长度取值范围，取舍不当。 重点 1、掌握三个判定定理（两角、两边夹角、三边成比例）。 2、理解平行线截三角形相似及常见相似图形。 3、能综合运用判定定理证明三角形相似。 4、理解黄金分割定义与黄金数。 难点 1、在复杂图形中识别并证明相似三角形。 2、动点、存在性问题中建立并求解比例关系。 3、尺规作图、裁剪构造相似三角形。 4、新定义与跨学科综合探究问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 2．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 5．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 6．如图，在Rt中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与交于点，则的长是___________． 三、解答题 7．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 8．已知：如图，在和中，，．求证：． 9．已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 10．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点C是线段上一点，，且，则点C是线段的黄金分割点． (1)如图1，若线段，求线段的长．（不能直接使用黄金分割数） (2)如图2，线段，C，D是线段的黄金分割点．（可以使用黄金分割数）用黄金分割的概念证明点D是线段的黄金分割点． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 探索三角形相似的条件 知识点1：相似三角形 　　1.定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形，用符号“∽”表示，如△ABC∽△A′B′C′。 　　2.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。 比较项 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是 1，也可以是其他正实数 知识点2：三角形相似的判定 判定定理 条件 结论 图例 定理1 两角分别相等：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ △ABC∽△A′B′C′ 定理2 两边对应成比例且夹角相等：，∠A＝∠A′ △ABC∽△A′B′C′ 定理3 三边对应成比例： △ABC∽△A′B′C′ 知识点3：平行线截三角形相似 　　1.平行截相似：平行于三角形一边的直线截其他两边（或其延长线）所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 　　2.传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。 知识点4：常见相似图形 图形类型 图形特征 判定方法 平行线型 已知 DE∥BC，同位角、内错角相等 两角分别相等 斜交型 有公共角或对顶角，另一组对应角相等 两角分别相等 母子型 公共角的两边对应成比例（如直角三角形斜边上的高） 两角相等或两边成比例夹角相等 旋转型 有一组角对应相等，公共角两边对应成比例 两边成比例，且夹角相等 知识点5：黄金分割 　　1.定义：点 C 把线段 AB 分成 AC 和 BC（AC>BC）两段，如果（AC 是 AB 与 BC 的比例中项），这种分割叫黄金分割，点 C 是黄金分割点。 　　2.黄金数：。 【基础必考题型】 【题型1】由平行判定相似 1.核心知识点 　　平行线截三角形相似；找同位角、内错角、公共角。 2.解题方法技巧 　　①由平行得到相等角； 　　②用两角分别相等判定相似； ③注意图中公共角、对顶角。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在和中，，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 【变式题1-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据，得到，得，求得，  即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，解得， ∴． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点E在的边的延长线上，连接，交于点F．指出图中有几对相似三角形，并说明理由． 【答案】解：图中有3对相似三角形，理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ； 四边形是平行四边形， ， ， ； 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，有三对相似三角形，它们是，，． 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】略 【变式题1-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，分别是，边（或它们的延长线）上的点，且．求证：． 【答案】分三种情况证明： 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴； 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 对应图， ∵， ∴，， ∵， ∴， 综上，三种情况均得． 【分析】通过平行线的性质和相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】证明：略． 【题型2】由两角相等判定相似 1.核心知识点 　　两角分别相等的两个三角形相似；找相等角。 2.解题方法技巧 　　①找出两组对应角相等； 　　②利用垂直、平行、等腰等得到等角； ③写明对应顶点，规范书写相似。 【例题2】.（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）如图，，相交于点，．求证：．                                                           【答案】 证明：∵，相交于点， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的证明，熟练掌握相似三角形的证明方法是解题关键； 通过对顶角相等得到，进而可得到三角形相似． 【详解】略． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，D是的边上的一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明：∵，，∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论． 【详解】略 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，，E为边上一点，，垂足为D．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 【变式题2-3】.（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在中，，D是上一点，E是上的一点，且． 求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 【分析】此题考查了等边对等角，相似三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 由得到，然后得到，即可证明． 【详解】略 【题型3】由两边成比例及夹角相等判定相似 1.核心知识点 　　两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2.解题方法技巧 　　①先找夹角相等； 　　②验证夹角两边的比是否相等； ③注意必须是对应边且夹角对应。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得出结果. 【详解】解：的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与相似； ∵， 故A选项中的三角形与不相似； ∵， 故B选项中的三角形与相似. 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，；，，． (2)，． 【答案】(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； (2)与不一定相似，理由如下： ∵，， ∴， ∵两组边的夹角与的大小关系不确定， ∴与不一定相似． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题3-2】.（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【答案】证明： ，，， ， 又 ， ． 【分析】根据两边成比例切夹角相等证明相似即可． 【详解】略 【变式题3-3】.（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】 证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 【题型4】由三边成比例判定相似 1.核心知识点 　　三边对应成比例的两个三角形相似。 2.解题方法技巧 　　①列出三边对应比并化简； 　　②三组比相等即相似； ③用边长判断相似时无须知道角度。 【例题4】.（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求得三角形的三边的长，然后利用三边对应成比例的两个三角形相似，判断解答即可． 【详解】解：在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上， ，，， A. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； B. 三角形的最小边的长为，较长的边长为3，最长的边长为， 此时，三边不成比例，此三角形与不相似； C. 三角形的最小边的长为，较长的边长为4，最长的边长为， 此时， 故 三边对应成比例，此三角形与相似； D. 三角形的最小边的长为，较长的边长为，最长的边长为4，此时， 三边不成比例，此三角形与不相似． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 【答案】A 【分析】先将两三角形的边按从小到大排序，验证三边是否对应成比例，即可判断相似性． 【详解】解：将两三角形的边长按从小到大排序． 的三边长为，，． 的三边长为，，． ∵， ∴两三角形三边对应成比例，一定相似． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东·课后作业）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可． 【详解】解：借助网格，可知，，， A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意； B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意； C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意； D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【变式题4-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）判断下列各组中的两个三角形是否相似，如果相似，请写出证明过程： (1)在中，是直角，；在中，是直角，． (2)在中，；在中，，，． 【答案】(1)解：与相似．证明如下： ∵ 在中，，， ∴ ， ∵ 在中，，． ∴ ，． ∴ ． (2)解：与相似． 证明如下： ∵ ，，，，，． ∴ ，．． ∴ ． ∴． 【分析】（1）先说明，再利用两角对应相等的三角形相似即可解答； （2）先说明，再利用三边对应成比例的三角形相似即可解答； 【详解】（1）略． （2）略． 【培优高频题型】 【题型5】选择或补充条件使三角形相似 1.核心知识点 　　综合运用三个判定定理选择条件。 2.解题方法技巧 　　①对照三定理逐项检验选项； 　　②注意“夹角”条件是否满足； ③补充条件时保证两角相等或两边成比例且夹角相等。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，与交于点，若使得，则可以添加的一组条件为__________． 【答案】或或或（答案不唯一） 【分析】根据，然后利用两角分别相等的两个三角形相似或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴； 或∵，， ∴； 或∵， ∴， 又∵， ∴； 或∵，， ∴； 综上可知答案不唯一， 故答案为或或或（答案不唯一） 【变式题5-1】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 【变式题5-2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解： ， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·上海青浦·期中）下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，可以判定，故此选项不符合题意； D、，但相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，不能判定，故此选项符合题意． 【题型6】裁剪使两三角形相似 1.核心知识点 　　在三角形内剪线，判断所得小三角形与原三角形是否相似。 2.解题方法技巧 　　①剪线平行某边，则与原三角形相似； 　　②剪线过顶点截出小角，结合边比判断； ③逐一验证各剪法的对应角、对应边。 【例题6】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 【变式题6-3】.（24-25九年级上·云南红河·期末）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原相似的有（   ）对． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 结合图形给出的条件，根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：①如图所示， ∵，， ∴，符合题意； ②如图所示， ∵，且，即， ∴，符合题意； ③如图所示， ∵，， ∴，符合题意； ④如图所示， 该图中给出条件无法得出阴影部分的三角形与原相似； 综上，阴影部分的三角形与原相似的有3对， 故选：B． 【题型7】尺规作图使三角形相似 1.核心知识点 　　作平行线或等角，使构造的三角形与原三角形相似。 2.解题方法技巧 　　①通过作平行线得等角、等比例； 　　②通过作等角构造两角相等； ③保留作图痕迹，指出所构造的相似三角形。 【例题7】.（2026·陕西榆林·三模）如图，已知，请用尺规作图法在边、上分别作点、，连接，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点D、E即为所求： 【分析】先在截取，再作，且交于点D，则点D、E即为所求． 【详解】解：作图依据： ∵，， ∴． 【变式题7-1】.（2026·广东广州·二模）已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【答案】(1) (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果； （2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证. 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）略 【变式题7-2】.（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所作： 【分析】过点作交于点，则可得． 【详解】理由：由作图得：，即， ∵， ∴， 又， ∴． 【变式题7-3】.（2026·陕西·一模）如图，在中，，请用尺规作图法在边上确定一点，使得． （要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求作． 【分析】根据垂直平分线的作法作的垂直平分线与的交点即为点． 【详解】解：如图， 由垂直平分线的性质可得， ， ， ， ，， ． 【题型8】由黄金分割求值 1.核心知识点 　　黄金分割定义与黄金数；利用比例式求线段。 2.解题方法技巧 　　①由 列比例式； 　　②用黄金比 直接求较长段； 　　③注意较长段与较短段的区分。 【例题8】.（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，线段，点与点均为线段的黄金分割点，则________ 【答案】/ 【分析】由黄金分割的定义可得，，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵线段，点与点均为线段的黄金分割点， ∴，， ∴． 【变式题8-1】.（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知点C是线段的黄金分割点，，且，那么的长为_____________． 【答案】 / 【分析】根据黄金分割的定义得到与的关系，先求出的长度，再计算的长. 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 把代入得：， 解得， . 【变式题8-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，线段，点是靠近点的黄金分割点，点是靠近点的黄金分割点．试确定点到端点的距离以及点到端点的距离． 【答案】 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：已知点是靠近点的黄金分割点，点是靠近点的黄金分割点， 则， ， ， 故点到端点的距离以及点到端点的距离为． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·广西钦州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 【答案】/ 【分析】根据题意可知，结合可求得；由折叠的性质可得四边形是正方形，即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵黄金矩形纸片，， ∴，即，解得：． 根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型9】黄金分割的应用 1.核心知识点 　　黄金分割在身高比例、构图、艺术、建筑中的应用。 2.解题方法技巧 　　①把实际问题转化为黄金比列式； 　　②用黄金比×总量求部分量； ③取近似值时结合情境判断合理性。 【例题9】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，则点之间的距离为（     ） A．（ B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 【变式题9-1】.（26-27九年级上·全国·单元测试）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由黄金分割的定义列式后，逐项验证即可． 【详解】解：由题意可知，则四个选项中只有正确． 【变式题9-2】.（24-25八年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 【变式题9-3】.（2025·福建龙岩·二模）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达·芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明 ，，， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设, 则, 利用题中给出的信息，分别求出, 然后分别验证选项是否成立即可. 【详解】（1）解：根据题意可得， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得：， 故答案为：； （2）略 （3）解：在黄金矩形中，设, 则, ， , , 同理可得, ， . 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型10】新定义与跨学科综合探究 1.核心知识点 　　新定义（格点三角形、黄金矩形等）；跨学科情境；探究规律。 2.解题方法技巧 　　①读懂新定义，转化为熟悉的相似判定； 　　②结合坐标、网格、图形计算边角； 　　③归纳连续变化规律，用字母表示并求解。 【例题10】.（2025·江苏常州·二模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，设交于点O． ∵和关于直线对称， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证，故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 【答案】 【分析】作的中线，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到可求解． 【详解】解：如图，作的中线， ∵是“精准三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-2】.（2026·安徽合肥·一模）定义：一个矩形较短边与较长边之比是，则这个矩形叫作黄金矩形．如图1，矩形为黄金矩形（），E为边上一点，将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． （1）_________； （2）如图2，G为边上一动点，过G点作，垂足为H，将矩形沿折叠，点B的对应点为，交于点Q，若矩形为黄金矩形，则_________． 【答案】 【分析】（1）由折叠的性质可得，设，由黄金矩形的定义可得，进而得到，最后求比例即可； （2）先说明四边形是正方形得，设，则,由黄金矩形定义、；由折叠的性质可得，设，则，运用勾股定理列方程可求得,进而求的,后求比例即可． 【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴， 设，则． ∴， ∴； （2）∵将矩形沿折叠后，点B恰好落在上点F处． ∴四边形是正方形， ∴， 设，则, 由黄金矩形定义． ∵矩形为黄金矩形， ∴，即，解得：， ∴， ∵将矩形沿折叠，点B的对应点为， ∴， 设，则， ∴, ∴， ∴, 在中，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴． 【变式题10-3】.（2026·广东·二模）综合与探究 【概念理解】 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就知道并能应用黄金分割．黄金分割的相关定义为：如图1，点C将线段分割为和两条线段，其中，若 则称该分割为黄金分割，称点 C为线段的一个黄金分割点，称他们的比值为黄金分割比，记为m，即 黄金分割比m与线段的长度无关，是一个定值． 【初步探索】 (1)请求出黄金分割比m的大小； 【深入探究】 (2)如图2，对折边长为 4的正方形得折痕，其中点E在边上，点F在边上，连接，将边折叠到上，点B 落在点H处，折痕交边于点 G．请证明点G为线段的一个黄金分割点； 【拓展研究】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点A在x轴上，点 C在y轴上，反比例函数的图象交于点 D，交 与点 E．若点 D 为线段的一个黄金分割点，请探究点 E 是否为线段的一个黄金分割点，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】（1）图1，设，得到，进一步得到，解方程即可求解； （2）延长、交于点，由折叠得，，由，，得，则，根据勾股定理得到，再证明，即可求得，则点是的黄金分割点； （3）设点 D，得出或 ，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）证明：如图②，延长、交于点， 四边形是正方形， ，，， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， 点是的黄金分割点． （3）解：是，理由如下： 因为点 D是反比例函数图象上一点， ∴设点 D， ∴； ∵点 D 为线段AB 的一个黄金分割点， ∴或 ， 当时，， ∵点 E是反比例函数图象上一点，四边形是矩形， ∴点 E纵坐标为， ∴点 E横坐标为， ∴， ∵矩形中，， ∴ ， ∴点 E 是线段的一个黄金分割点； 当时，， ∴， ∴点 E纵坐标为， ∴点 E横坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∴点 E 是线段的一个黄金分割点； 【点睛】本题考查了黄金分割比，涉及到了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题关键是理解题意，熟练运用数形结合的思想解题． 易错点 1、判定相似时误用夹角，两边成比例却未确认夹角对应。 2、对应顶点写错，导致相似比与对应关系错误。 3、找等角时忽略公共角、对顶角、平角。 4、平行线截得的小三角形与原三角形的对应边找错。 5、黄金分割较长段与较短段混淆，比例写反。 6、动点问题中忽略时间或长度取值范围，取舍不当。 重点 1、掌握三个判定定理（两角、两边夹角、三边成比例）。 2、理解平行线截三角形相似及常见相似图形。 3、能综合运用判定定理证明三角形相似。 4、理解黄金分割定义与黄金数。 难点 1、在复杂图形中识别并证明相似三角形。 2、动点、存在性问题中建立并求解比例关系。 3、尺规作图、裁剪构造相似三角形。 4、新定义与跨学科综合探究问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 2．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 3．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 二、填空题 4．如图的提琴模型中，点P是的黄金分割点，即满足，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义及给出的比例式，可知为线段的较长部分，利用黄金比进行计算即可． 【详解】解：点是的黄金分割点，且满足， 为较长线段，即， ， ． 5．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 6．如图，在Rt中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与交于点，则的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理，垂直平分线的定义，解题的关键是由作图可得，是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得，根据勾股定理，求出，根据相似三角形的判定和性质，可得，，求出，即可解答． 【详解】解：由作图可得，是线段的垂直平分线， ∴是的中点， ∴，， ∵， ∴设， ∴， ∴， 在Rt中，，且， ∴， ， 解得：（负值舍去）， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 三、解答题 7．已知：如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，且，．求证：． 【答案】证明：， ， ∵， ∴， ． 【分析】由两组对应角相等的两个三角形相似可证． 【详解】略 8．已知：如图，在和中，，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 9．已知：如图，在中，对角线，相交于点O，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】证出，由相似三角形的判定可得出结论． 【详解】略 10．定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫做这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点C是线段上一点，，且，则点C是线段的黄金分割点． (1)如图1，若线段，求线段的长．（不能直接使用黄金分割数） (2)如图2，线段，C，D是线段的黄金分割点．（可以使用黄金分割数）用黄金分割的概念证明点D是线段的黄金分割点． 【答案】(1) (2)证明：，是线段的黄金分割点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点D是线段的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割点的定义列一元二次方程求解即可； （2）根据黄金分割数分别求，，的长，根据黄金分割点的定义进行验证即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）略 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $