精品解析：陕西省洛南中学2027届高三第一学期第二次模拟数学试题

陕西省洛南中学2026—2027学年度第一学期第二次模拟考试 高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 3. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分充分性、必要性两方面说明即可求解. 【详解】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件； 若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正余弦二倍角公式，，结合即可求解． 【详解】因为， 则， 所以． 故选：A． 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用对数公式：， 对数相等，底数相同，则真数相等：， 而，所以， ， 即. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将式子变形为，构造函数,求导判断单调性，进而将问题转化成，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】等价于. 令函数，则，故是增函数. 所以等价于，故，即. 令函数，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于利用导数求解参数范围的问题的求解策略： 1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3.根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】A选项：由得，则，故选项A正确； B选项：当，时，，，此时，故选项B错误； C选项：由得，则，即，故选项C错误； D选项：由得，则，即，故选项D正确. 10. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. 有极大值，且极大值大于 C. 的单调递增区间为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据极值处的导函数值等于0可得，并代入判断单调性和极值，即可判断ABC；可证，当且仅当时，等号成立，分类讨论解不等式即可判断D. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，且， 因为函数在处取得极值，则， 若，则，， 令，解得；令，解得或； 可知函数在内单调递增，在，内单调递减， 则函数在处取得极小值，在处取得极大值， 即符合题意，故A错误，BC正确； 对于选项D：令，则， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则，当且仅当时，等号成立， 不等式即为， 若，则，可知，不合题意； 若，则，可得，则； 综上所述：不等式的解集为，故D正确. 11. 已知，函数，若恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据恒成立和推导出且，再结合不等式性质、二次函数最值逐一判断选项. 【详解】函数的定义域为， 若，则，此时对，成立； 若，则，要使得恒成立，则，即对所有成立，得； 若，则要使得恒成立，则，即， 所以，即，又，故，. 对于A：， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B：，当且仅当时取等号，B正确； 对于C：，因为，故，即，C错误； 对于D：，这是开口向下的二次函数，对称轴， 最大值为：，故，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取最小值为. 13. 设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数单调性“同增异减”的规律，结合二次函数知识可得答案. 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是. 14. 已知，其中，均为锐角，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】将等式左端用余弦展开公式展开并整理，化简得 ；令 ，代入两角差的正切公式，将 表示为 的函数，再对分母利用对勾函数（均值不等式）求最大值. 【详解】 因 ，原等式两端同乘以 ，消去右端分式 的分母， 整理得： 将右端改写为 ，从而 因 均为锐角，，，两边除以 ，得 设 （），则 ， 代入两角差的正切公式： 将分母改写为 的倒数形式并对 施用均值不等式： 因 ，有 ，故 等号当 即 时成立，此时 ，， 均对应唯一锐角，故 的最大值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． （1）若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； （2）若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）方法一：利用独立事件的概率公式求解即可； 方法二：利用对立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，列出分布列，由期望公式求解即可. 【小问1详解】 记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件． （方法一）． （方法二：间接法）． 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ． 故的分布列如下： 0 1 2 3 . 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用三角恒等变换求解即可； （2）由三角形面积公式可得，代入余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由又及正弦定理，得， 因为中， 所以， 由于，所以，即， 又，故. 【小问2详解】 由题意可知，解得， 根据余弦定理可得， 即，解得. 17. 如图，和所在平面垂直，且，，． （1）证明:． （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：过点作垂直于的延长线于点F 平面平面，平面平面，平面，， 平面， 平面， ． ，，平面， 平面， ． （2） 【解析】 【分析】（1）过点作垂直于的延长线于点，由面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可证明； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，再由线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则令，解得，． 记直线与平面所成的角为，，． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间是，没有减区间； 当时，单调递增区间是，函数的单调递减区间； 当时，单调递增区间是，函数的单调递减区间是 （3）由（2）可知，时，的最大值为 要证明不等式成立，只需证明，即， 等价转化为，令，即，， 构造函数，，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以的最小值为， 所以，恒成立， 所以不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程； （2）首先求函数的导数，，讨论，和三种情况，求函数的单调区间； （3）根据（2）的结果，转化为，再等价变形，以及换元后证明，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性和最值，即可证明不等式. 【小问1详解】 当时，，， ，，，整理为 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，得，，得，，得， 函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间， 当时，，得，，得，，得， 函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是， 综上可知，当时，函数的单调递增区间是，没有减区间； 当时，单调递增区间是，函数的单调递减区间； 当时，单调递增区间是，函数的单调递减区间是 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； （3）在（2）的条件下，求的最大值. （提示：若两条直线斜率分别为、，则这两条直线的夹角满足） 【答案】（1） （2）证明：设直线． 由，消去x可得， 整理可得，直线过椭圆的右焦点，显然． 设，，则，， 直线，直线， 将两直线方程联立可得，即． 代入，可得， 因为，代入上式，可得， 所以，所以点T在定直线上． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得关于的方程，求出它们的值，即可得答案； （2）设直线．联立椭圆方程，可得根与系数关系式，表示出直线，直线，联立并化简可得，即可得结论； （3）设，，由两直线的夹角公式得，结合基本不等式求最值即可求得答案. 【小问1详解】 因为点P到点的距离的最大值为3，所以． 又，所以，．由，得， 所以该椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，． 因为，，所以，． 设， 由两直线的夹角公式得， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立. 因为，且函数在上单调递增， 所以，即，即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省洛南中学2026—2027学年度第一学期第二次模拟考试 高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. B. 有极大值，且极大值大于 C. 的单调递增区间为 D. 不等式的解集为 11. 已知，函数，若恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若，则的最小值为________． 13. 设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 14. 已知，其中，均为锐角，则的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为，，且每人每次投篮命中与否相互独立． （1）若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率； （2）若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为，求的分布列与数学期望． 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，且的面积为，求的值. 17. 如图，和所在平面垂直，且，，． （1）证明:． （2）若，为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：． 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，椭圆上动点满足点到点的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）如图，过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线交椭圆于两点，设直线与交于点，证明：点在定直线上； （3）在（2）的条件下，求的最大值. （提示：若两条直线斜率分别为、，则这两条直线的夹角满足） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $