精品解析：陕晋青部分学校2026-2027学年高三上学期10月一轮监测（二）数学试题（B卷）

高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由复数，得，. 又，.故选D. 2. 已知是定义在上奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出参数的值． 【详解】是定义在上的奇函数，， 即，整理得. ，． 3. 已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，，，，即， 解得.，，，. 4. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为平面向量，满足，， 所以，. 则向量在向量上的投影向量为. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，，，为的中点，，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先利用中线对应的向量关系式，平方后结合向量数量积得到一个方程，再结合已知角，用余弦定理列出第二个方程，联立两个方程，整体相加消去项，直接求出即可. 【详解】在 中， 为 的中点， ， ， . 由余弦定理，得：， 代入 ：，化简得： . 得：， ∴ . 6. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2027的项的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得，应用等差等比数列的前n项和公式求并判断其单调性，进而确定不超过2027的项的个数. 【详解】数列的通项公式为，数列的通项公式为， ， ， ， 数列是递增数列， ， 数列中不超过2027的项有10个. 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的定义域为， ，且函数在上单调递减， 在上恒成立，即. 设，，则， 在上单调递增， ，， 即实数的取值范围为. 8. 函数在上的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当时，函数在上单调递增，再结合，，可得函数在上有唯一零点，当时，恒成立，可得函数在上无零点. 【详解】，. 当时，与均单调递增，在上单调递增. 又，， 又，，， 在上有唯一零点； 当时，，，恒成立，即函数在上无零点， 有且仅有一个零点. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集为，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 若集合，则实数的取值范围为 B. 若，且，则实数的取值范围为 C. 若，则 D. 若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据各项的描述，应用一元二次不等式的解法、对数函数的性质求对应情况下参数的范围，由集合的交补运算、必要不充分条件求参数范围判断各项的正误. 【详解】由，， A，要使，则须方程的判别式， 即，无解，故错误； B，方程的两个根为、，且， ，则或，又，， ，即，故正确； C，，则或， ，故，故错误； D，，且，则或. “”是“”的必要不充分条件， 是的真子集，则，解得， 实数的取值范围为，故正确. 10. 已知函数在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）. A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】先用辅助角公式化简函数，再逐项分析对称轴、单调区间与最值.A，正弦型函数对称轴过最值点，代入计算，此处函数取最大值，故该直线为对称轴；B，先求出单个递增区间长度为，再由开区间完全包含在一个增区间内，可得的范围；C，D，由区间包含关系确定的范围，可取到区间右端点，函数能够取得最大值；而区间左端点取不到，因此无法得到函数的最小值. 【详解】函数. 对于A：，此时函数取得最大值， 直线是函数的对称轴，A正确； 对于B：令，，得单调递增区间为，. 已知在上单调递增，说明该区间必须完全包含在上述某一个单调递增区间内， 因此子区间长度不能超过单个递增区间的总长，区间长度为，故，即. 又，，，B错误； 对于C，D：，. 由，得，, ，，，， 即的最大值为，没有最小值，C正确，D错误. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当取得最大值时， D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理把里面的边化成角，化简运算可判断A；利用余弦定理加基本不等式可求得B；利用正弦定理，把表示成关于的函数，求最值，可判断C；利用正弦定理把表示成关于角的函数，求值域即可判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理， 得， 即. ，， . ，， ，即. ，，故A正确. 对于B，，由余弦定理， 得， 即，当且仅当时，等号成立，的最大值为，故B正确. 对于C，，， 当且仅当时，取得最大值， 此时，故C正确. 对于D，，，， . ，，， ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意，得. ，，解得. 13. 若，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两个式子的平方和是一个定值，利用重要不等式计算最值即可． 【详解】，，． ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为2． 14. 已知数列为等差数列，，则的最小值为______，此时______. 【答案】 ①. 72 ②. 6 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式把目标函数表示成关于的函数，求最值即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，. ，，. ， 当时，取得最小值，最小值为72，此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由函数最小正周期及所过点可得函数解析式； （2）由函数图像平移变换知识可得表达式，由题可得范围与值域保持一致，据此可得答案. 【小问1详解】 函数的最小正周期为，，，解得. 又函数的图象过点，，解得. ，， . 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. 方程在上有解， 的范围与在上的值域保持一致. ，. 由余弦函数的性质，得当时，； 当，即时，， ，，即， 16. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 证明：， . 【解析】 【分析】（1）由结合题设可得数列是以为首项，6为公差的等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合裂项求和法可完成证明. 【小问1详解】 由，得， ，即，， 数列是以为首项，6为公差的等差数列， . ， ，. 当时，，满足上式， 数列的通项公式为； 【小问2详解】 略 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）证明：为等腰三角形或直角三角形； （2）若，分别是边，的中点，交于点，且，，求. 【答案】（1）证明：，由正弦定理，得， ，即. ，，，，或， 解得或. 为等腰三角形或直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，结合倍角公式得到，解正弦方程，即可推导出三角形为等腰或直角三角形； （2）先结合边角关系排除等腰情形，确定三角形为直角三角形，再建立平面直角坐标系，借助向量的夹角公式，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得或. 若，则，，不满足三角形三边关系，舍去. 若，即，则. 以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴、轴， 建立如图所示的平面直角坐标系. 则，，，，， ，， . 18. 如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，. （1）若，，为的垂心，，求的值； （2）求的值； （3）若，，且，，求的值. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用垂心性质，由垂直向量数量积为0，求出垂心坐标，再对照向量分解唯一性解出，即可求得的值； （2）先用向量线性运算把用表示，换成的形式，依托三点共线的向量系数和为1，即可推出的值； （3）写出，结合，由得到的关系式，联立第（2）问的等式即可求出，从而求得的值. 【小问1详解】 ，为等腰三角形.设边的中点为，则. 如图，以点为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系. 又，则，，，，. 为的垂心，，，点在直线上. 设，则，，解得， ，. 又，， 则，解得， ，即的值为. 【小问2详解】 ， . 是线段的中点，. ，，，，，，， ，，三点共线，，即. 【小问3详解】 ，，， 由（2），得. ，，且， ， 又，，即. 由（2），得，解得，，. 19. 已知函数. （1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （2）证明：函数的图象关于点中心对称； （3）证明：，函数有三个零点. 【答案】（1） （2）证明：要证函数的图象关于点中心对称，只需证对任意，. ， 函数的图象关于点中心对称. （3）证明：，， 令，得，，且. 令，得或；令，得. 函数在上单调递减，在和上单调递增. 又，且在上单调递减，故，. 当时，；当时，. 结合单调性：在上，函数单调递增，时，，，存在1个零点； 在上，函数单调递减，，存在1个零点； 在上，函数单调递增，，时，，存在1个零点. ，函数有三个零点. 【解析】 【分析】（1）利用极值点与导函数根的关系，转化为二次方程判别式求解参数范围； （2）利用中心对称的定义验证证明图像中心对称； （3）求导确定单调区间，结合自变量大小与单调性判断极值正负，分区间讨论得到三次函数零点个数. 【小问1详解】 ，，. 令，得. 函数有两个极值点等价于方程有两个不等实根， 因此，，解得， 实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是定义在上奇函数，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知数列为等比数列，且，，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，，，为的中点，，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 6 6. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，数列的前项和为，则数列中不超过2027的项的个数为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 13 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上的零点个数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集为，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 若集合，则实数的取值范围为 B. 若，且，则实数的取值范围为 C. 若，则 D. 若，且“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 10. 已知函数在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）. A. 函数的图象关于直线对称 B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当取得最大值时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则实数的值为______. 13. 若，则的最大值为______. 14. 已知数列为等差数列，，则的最小值为______，此时______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为，且函数的图象经过点. （1）求函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，方程在上有解，求实数的取值范围. 16. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，证明：. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）证明：为等腰三角形或直角三角形； （2）若，分别是边，的中点，交于点，且，，求. 18. 如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，. （1）若，，为的垂心，，求的值； （2）求的值； （3）若，，且，，求的值. 19. 已知函数. （1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （2）证明：函数的图象关于点中心对称； （3）证明：，函数有三个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $