第3章 圆 知识清单 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第3章　圆　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共七节：3.1圆的相关概念；3.2确定圆的条件；3.3圆的对称性；3.4圆周角；3.5点与圆、直线与圆的位置关系；3.6正多边形与圆；3.7扇形。 【考点地位】圆是平面几何的核心图形，中考常以选择、填空考查概念、圆周角、垂径定理与弧长扇形面积，以解答题考查垂径定理计算与位置关系判断。 【学习目标】①理解圆、弦、直径、弧、圆心角等概念；②掌握确定圆的条件与外心；③掌握圆的对称性与垂径定理；④理解圆周角概念与圆周角定理、直径所对圆周角；⑤掌握点与圆、直线与圆的位置关系判定；⑥了解正多边形与圆，掌握弧长与扇形面积公式。 【知识结构图】按“章→节→核心知识点”三层呈现，一图速查本章全貌。 节 核心知识点 3.1 圆的相关概念 圆、圆心、半径、弦、直径、弧（半圆/优弧/劣弧）、圆心角 3.2 确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆；外接圆、外心 3.3 圆的对称性 中心对称；同圆等圆等圆心角对等弧对等弦；垂径定理 3.4 圆周角 圆周角定义；同弧圆周角是圆心角的一半；直径所对圆周角为直角 3.5 位置关系 点与圆d与r；直线与圆相离、相切、相交（d与r比较） 3.6 正多边形与圆 内接正多边形；中心角 3.7 扇形 弧长l=nπ；扇形面积S=lR 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、定理、公式集中列表，复习时以表代翻书。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆；定点叫圆心，定长叫半径 圆是到定点距离等于定长的点的集合；圆心定位置、半径定大小。 确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆；外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等 三点必须不共线；外心是三边垂直平分线交点，到三顶点等距。 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 条件是垂直于弦的直径；常结合勾股定理求弦长。 圆周角定理 同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角（90°） 针对同弧（等弧）所对；直径所对圆周角为90°是常用构造。 点与圆 d<r在圆内，d=r在圆上，d>r在圆外（d为点到圆心距离，r为半径） 比较点到圆心距离d与半径r的大小。 直线与圆 d>r相离，d=r相切，d<r相交（d为圆心到直线距离，r为半径） 比较圆心到直线距离d与半径r；d=r时相切。 弧长公式 l=（n为圆心角度数，R为半径） n为圆心角度数（非弧度），R为半径；由圆周长按分得。 扇形面积 S==lR S==lR；已知弧长时用lR更简便。 【注意】圆心角顶点在圆心；圆周角顶点在圆上且两边都与圆相交，二者不可混淆。 三、考点知识梳理 （一）3.1　圆的相关概念 【知识定位】概念是本章基础，常以选择、填空辨析弦、直径、弧。 【圆、圆心、半径】平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点叫作圆心（centre of circle），定长叫作半径（radius）。以点O为圆心的圆记作“⊙O”。 图1 圆、圆心与半径（⊙O） 【弦与直径】连接圆上任意两点的线段叫作弦（chord）；经过圆心的弦叫作直径（diameter），直径是圆中最长的弦。 图2 弦与直径 【弧】圆上任意两点间的曲线段叫作弧（arc），用符号“⌒”表示。直径两个端点把圆分成两条等弧，每条弧叫半圆；大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 图3 弧（半圆、优弧、劣弧） 【圆心角】顶点在圆心的角叫作圆心角（central angle）。圆心相同、半径不等的两个圆叫同心圆，半径相等的两个圆叫等圆。 图4 圆心角 （二）3.2　确定圆的条件 【知识定位】理解过一点、两点可作无数个圆，三点确定圆的条件。 【确定圆】经过一个点、两个已知点都可以画无数个圆；不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 （三）3.3　圆的对称性 【知识定位】对称性推出等圆心角、等弧、等弦关系与垂径定理。 【对称性】圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 【垂径定理】垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。过圆心作弦的垂线，垂足即弦的中点，这是构造直角三角形、用勾股定理求弦长与半径的依据。 图5 垂径定理 （四）3.4　圆周角 【知识定位】圆周角定理是角度换算的核心。 【圆周角】顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角（angle in a circular segment）。 图6 圆周角 【圆周角定理】同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角（90°）。 （五）3.5　点与圆、直线与圆的位置关系 【知识定位】用距离d与半径r的大小比较判定位置关系。 【点与圆】⊙O半径为r，点P到圆心距离为d：d<r点在圆内，d=r点在圆上，d>r点在圆外。 图7 点与圆的位置关系 【直线与圆】圆心到直线距离为d、半径为r：d>r相离，d=r相切，d<r相交。 图8 直线与圆的三种位置关系 （六）3.6　正多边形与圆 【知识定位】了解正多边形内接于圆，各边所对圆心角相等。 【正多边形】把圆n等分，依次连接各分点得到圆的内接正n边形；正n边形每个中心角为。 （七）3.7　扇形 【知识定位】弧长与扇形面积是计算高频点。 【扇形】一条弧和经过这条弧两端点的两条半径所组成的图形叫作扇形（sector）。 【弧长与面积】半径R、圆心角n°时，弧长l=nπ；扇形面积S=lR。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】圆心半径定圆面，弦过圆心是直径；三点不共线定圆，外心垂平线交点；垂径垂直平分弦，同弧周角半圆心；直径对出直角角，点线比d和r；弧长nπR比180，扇形 【对比记忆】点与圆、直线与圆的d与r比较如下表。 比较对象 d<r d=r d>r 点P与圆 圆内 圆上 圆外 直线与圆 相交 相切 相离 【易混对比】圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上且两边都与圆相交；同弧所对圆周角等于圆心角的一半，勿误记为相等，也勿混淆二者顶点位置。 五、解题方法总结 题型1　概念辨析（弦、直径、弧、圆心角、圆周角） 【解题方法】①扣定义：直径必过圆心，圆周角顶点在圆上；②排除“过圆心的线是直径”“弧是半圆”等错误表述。 【数学思想】定义辨析思想：紧扣定义逐条排除，区分直径、弦、弧、圆心角、圆周角。 题型2　垂径定理求弦长、半径 【解题方法】①过圆心作弦的垂线，由垂径定理得垂足平分弦；②连半径构造直角三角形，用勾股定理求半径或弦长一半。 【数学思想】构造（化归）思想：作弦的垂线、连半径构造直角三角形，化归到勾股定理求半径与半弦。 题型3　圆周角与圆心角换算 【解题方法】①同弧圆周角是圆心角一半；②见直径想90°圆周角；③找准同一条弧再换算。 【数学思想】转化思想：在圆周角与圆心角之间相互转化，见直径想90°圆周角。 题型4　弧长、扇形面积计算 【解题方法】①分清圆心角n与半径R；②代入l=nπ、S=；③已知弧长用S=lR更简便。 【数学思想】方程思想：代入弧长、扇形面积公式，列方程反求圆心角、半径或弧长。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，先自查再对照下表。 易错点 正确做法 把过圆心的直线误当直径 直径是过圆心的弦（线段），不是直线 混淆圆心角与圆周角顶点位置 圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上 同弧圆周角误写成等于圆心角 同弧圆周角等于圆心角的一半 垂径定理漏“垂直”条件 垂直于弦的直径才平分弦及所对弧 弧长公式误带整圆周长 l=nπ，只取n°占比 位置关系d、r比较方向写反 点在圆内d<r，直线相交d<r 七、高频考点速记 ①圆是到定点距离等于定长的点的集合；直径是最长的弦。 ②不在同一直线上的三点确定一个圆，外心到三顶点距离相等。 ③垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对两条弧。 ④同弧圆周角=圆心角的一半；直径所对圆周角=90°。 ⑤点与圆、直线与圆都用d与r比较判定。 ⑥弧长l=nπ，扇形面积S=lR。 八、学情自测 （一）选择题（共14题） 1．平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作（ ） A．圆 B．弦 C．弧 D．圆心角 2．下列说法正确的是（ ） A．弦是直径 B．直径是过圆心的弦 C．过圆心的直线是直径 D．弧是半圆 3．过不在同一直线上的三个点，可以确定的圆的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 4．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P在（ ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定 5．如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（ ） A．80° B．90° C．100° D．110° 6．同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的（ ） A．相等 B．一半 C．两倍 D．三分之一 7．直径所对的圆周角是（ ） A．锐角 B．钝角 C．直角 D．平角 8．若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（ ） A．50° B．60° C．100° D．120° 9．垂直于弦的直径（ ） A．平分这条弦 B．不平分弦 C．只平分弦的一半 D．平分圆心角 10．已知圆心到某直线的距离d=3，圆的半径r=5，则这条直线与圆（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 11．圆内接正六边形每个中心角的度数是（ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 12．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（ ） A．3π B．6π C．9π D．12π 13．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数是（ ） A．20° B．35° C．55° D．70° （二）填空题（共2题） 15．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，DE=5，那么CD=________． 16．边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在弧AB上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n=________． （三）解答题（共2题） 17．往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB=80cm，油的最大深度为80cm，求油槽的半径OA。 18．已知扇形的圆心角为120°，半径为6。（1）求该扇形的弧长；（2）求该扇形的面积。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】A 解题步骤： ①平面内到定点距离等于定长的点的集合叫作圆；②故选A。 【知识点睛】圆的定义是到定点距离等于定长的点的集合，定点为圆心、定长为半径。 2．【答案】B 解题步骤： ①直径是过圆心的弦；A弦不一定过圆心，C过圆心的线未必是线段弦，D弧不都是半圆，故选B。 【知识点睛】直径必须同时满足“过圆心”和“是弦（线段）”两个条件。 3．【答案】B 解题步骤： ①不在同一直线上的三点确定一个圆；②故选B。 【知识点睛】三点共线时不能作圆，不共线三点唯一确定一个圆。 4．【答案】A 解题步骤： ①d=3<r=5；②点P在圆内，故选A。 【知识点睛】点P到圆心距离d=3小于半径r=5，故点P在圆内，先算距离再与半径比较。 5．【答案】C 解题步骤： ①∠BAC=50°是弧BC所对的圆周角；②弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=100°；③故选C。 【知识点睛】同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，即∠BOC=2∠BAC。 6．【答案】B 解题步骤： ①同弧所对圆周角等于圆心角的一半；②故选B。 【知识点睛】圆周角定理：同弧圆周角是圆心角的一半，不是相等。 7．【答案】C 解题步骤： ①直径所对的圆周角是90°，即直角；②故选C。 【知识点睛】见直径想直角，直径所对圆周角恒为90°。 8．【答案】A 解题步骤： ①由弧长l=nπ，得5π=nπ×；②解得n=50°，故选A。 【知识点睛】弧长公式反求圆心角，把已知弧长与半径代入l=nπ。 9．【答案】A 解题步骤： ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分所对两条弧；②故选A。 【知识点睛】垂径定理的前提是“垂直于弦”，结论是平分弦及所对弧。 10．【答案】C 解题步骤： ①d=3<r=5；②直线与圆相交，故选C。 【知识点睛】圆心到直线距离小于半径时，直线与圆相交。 11．【答案】B 解题步骤： ①正六边形中心角==60°；②故选B。 【知识点睛】正n边形每个中心角为，正六边形为60°。 12．【答案】D 解题步骤： ①扇形面积公式为S=；②当n=120，R=6时，S=12π；③故选D。 【知识点睛】扇形面积公式S=，注意与弧长公式l=区分。 13．【答案】C 解题步骤： ①AB是△ABC外接圆的直径，∠ACB=90°；②∠B=180°−35°−90°=55°；③故选C。 【知识点睛】直径所对的圆周角是直角，再由三角形内角和定理求另一锐角。 14．【答案】C 解题步骤： ①四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC=110°；②⌢AB=⌢BC，则∠ADB=∠BDC；③∠ADC=∠ADB+∠BDC=2∠BDC，故∠BDC=55°；④故选C。 【知识点睛】圆内接四边形对角互补；等弧所对的圆周角相等。 【填空题】 15．【答案】10 解题步骤： ①CD⊥AB于E，由垂径定理E是CD的中点，CE=DE=5；②CD=2×5=10。 【知识点睛】垂直于弦的直径平分弦，故CD=2DE=10。 16．【答案】24 解题步骤： ①正六边形一边所对圆心角∠AOB=360°÷6=60°；②正八边形一边所对圆心角∠BOC=360°÷8=45°；③∠AOC=60°−45°=15°，故n=360°÷15°=24。 【知识点睛】正多边形一边所对圆心角为，先分别求出正六边形、正八边形对应圆心角，相减得AC所对圆心角，再用360°除以该角求边数。 【解答题】 17．【答案】半径OA=50cm 解题步骤： ①过O作OC⊥AB于C，延长CO交圆于D；由垂径定理AC=CB=40cm； ②设半径OA=R，油深80cm，则OC=R−80；在Rt△OAC中， 【知识点睛】垂径定理得半弦长40，连半径用勾股定理列方程求半径。 18．【答案】（1）弧长4π；（2）扇形面积12π 解题步骤： （1）l=nπ=120π×=4π； （2）S==120π×=12π（也可用S=lR=×4π×6=12π）。 【知识点睛】先代弧长公式求l，再用S=或S=lR求扇形面积。 学科网（北京）股份有限公司 $