第4章 数据的集中趋势和离散程度 知识清单 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

第4章　数据的集中趋势和离散程度　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共四节：4.1平均数；4.2中位数与众数；4.3四分位数和箱线图；4.4数据的离散程度。 【考点地位】平均数、中位数、众数反映数据的集中趋势，方差（标准差）反映数据的离散程度，是中考统计板块的必考内容，常以选择、填空和小型解答题考查计算与比较。 【学习目标】①理解算术平均数、加权平均数的意义，会计算并能用样本平均数估计总体平均数；②理解中位数、众数的概念，会求一组数据的中位数与众数；③了解四分位数和箱线图，能由五处位置描述数据分布；④理解方差的意义，会计算方差并比较两组数据的离散程度（稳定性）。 【知识结构图】按“章→节→核心知识点”三层呈现，一图速查本章全貌。 节 核心知识点 4.1 平均数 算术平均数；加权平均数；样本平均数估计总体平均数 4.2 中位数与众数 中位数（奇数个取中间、偶数个取中间两数平均）；众数；三数的适用情形 4.3 四分位数和箱线图 第一/第三四分位数；百分位数；箱线图五处位置（最小值、Q1、中位数、Q3、最大值） 4.4 数据的离散程度 方差；标准差；方差越大离散程度越大、越不稳定 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、公式集中列表，复习时以表代翻书。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 算术平均数 x=，反映一组数据的平均水平 全部数据求和除以个数；容易受极端值影响。 加权平均数 各数据乘各自权重后求和，再除以权重之和；权重越大对结果影响越大 权重越大对结果影响越大；注意各权重之和。 中位数 数据按大小排序后，奇数个取正中间的数，偶数个取中间两数的平均数；不受极端值影响 必须先排序；偶数个取中间两数的平均数；不受极端值影响。 众数 出现次数最多的数据；可能不止一个，也可能没有 众数是出现次数最多的原数据，不是次数；可能多个也可能没有。 四分位数 第一四分位数（第25百分位数）、中位数、第三四分位数（第75百分位数），把数据等分为四部分 先排序，按25%、50%、75%位置把数据等分为四部分。 方差 s²=·[(x₁−x̄)²+(x₂−x̄)²+…+(xₙ−x̄)²]，刻画各数据与平均数的平均偏差 各数据与平均数差的平方的平均；方差越大波动越大。 标准差 方差的算术平方根，单位与原数据一致 方差的算术平方根，单位与原数据一致，便于比较。 【选用原则】平均数充分利用全部数据但受极端值影响大；中位数不受极端值影响，适合判断“中等水平”；众数反映最普遍出现的水平，适合商家选择最畅销规格。比较两组数据的稳定性（离散程度）用方差：平均数相同时，方差小的更稳定。 三、考点知识梳理 （一）4.1　平均数 【知识定位】平均数是本章基础，中考常以选择、填空考查计算与加权平均。 【算术平均数】一般地，对于n个数据 x₁，x₂，…，xₙ，把它们的和除以n所得的商叫作这组数据的算术平均数，简称平均数，记作x̄，即 x̄=。 【加权平均数】当各数据重要程度（权重）不同时，用加权平均数：加权平均数=（x₁w₁+x₂w₂+…+xₙwₙ）÷（w₁+w₂+…+wₙ）。权重可以是份数、百分比或重要性之比。 【样本与总体平均数】样本中所有个体的平均数叫样本平均数，总体中所有个体的平均数叫总体平均数；调查研究中常用样本平均数估计总体平均数，样本容量越大，样本平均数通常越接近总体平均数。 （二）4.2　中位数与众数 【知识定位】中位数、众数是描述集中趋势的另外两个统计量，常与平均数对比考查。 【中位数】将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列：数据个数为奇数时，取处于中间位置的数作为中位数；数据个数为偶数时，取中间位置两个数据的平均数作为中位数。中位数不受两端极端值影响。 【众数】一组数据中出现次数最多的数据叫作众数。一组数据可能有多个众数，也可能没有众数；众数反映最普遍、最集中出现的水平。 【三数比较】平均数用到全部数据、易受极端值影响；中位数反映“中等水平”、抗极端值；众数反映“最常见水平”。判断自己能否排在前一半（如晋级），常看中位数。 （三）4.3　四分位数和箱线图 【知识定位】四分位数把数据等分为四部分，箱线图直观展示数据分布，是新教材新增内容。 【四分位数】把从小到大排列的数据等分为四部分，三个分点分别是第一四分位数（第25百分位数）、中位数（第50百分位数）、第三四分位数（第75百分位数）。第k百分位数mₖ就是把数据分成两部分：小于或等于它的数据至少占k%，大于或等于它的数据至少占(100−k)%。 【箱线图】箱线图由最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值五处位置绘制，箱体中间的线段表示中位数，箱体长度反映中间50%数据的集中程度，直观比较两组数据的分布范围与离散。 图1 箱线图的五处位置（最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值） 图2 甲、乙两种纸飞机飞行距离的箱线图对比 图3 原方法与新方法两组数据的箱线图对比 （四）4.4　数据的离散程度 【知识定位】方差刻画数据相对平均数的偏离程度，是比较稳定性的核心工具。 【离差平方和】设n个数据 x₁，x₂，…，xₙ 的平均数为x̄，离差平方和 S²=(x₁−x̄)²+(x₂−x̄)²+…+(xₙ−x̄)²，反映各数据与平均数偏差的总和。 【方差】用离差平方和的平均数刻画离散程度：s²=·[(x₁−x̄)²+(x₂−x̄)²+…+(xₙ−x̄)²]，s²叫作这组数据的方差。方差越大，各数据偏离平均数越远，离散程度越大、越不稳定；方差越小，数据越集中、越稳定。 【标准差】标准差是方差的算术平方根，单位与原数据一致，同样用于比较离散程度。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】平均数，全用到，极端一来就动摇；中位数，排排坐，偶数取中两数平均好；众数看谁出现多，最畅销尺码它来找；比稳定，算方差，方差小的更牢靠。 【对比记忆】三个集中趋势统计量与方差对比如下表。 统计量 反映内容 特点 平均数 平均水平 利用全部数据，易受极端值影响 中位数 中等水平 抗极端值，排序后取中间 众数 最常见水平 出现次数最多，可多个或没有 方差 离散程度（稳定性） 越小越集中、越稳定 【易混对比】平均数利用全部数据但受极端值影响大，中位数不受极端值影响、只取中间位置；判断能否进入前一半看中位数，反映整体平均水平用平均数，二者适用情形不同。 五、解题方法总结 题型1　平均数与加权平均数的计算 【解题方法】①普通数据用算术平均数，总和÷个数；②重要程度不同（考核、评分、配比）用加权平均数，按权重分别相乘再求和、除以权重和。 【数学思想】样本估计总体思想：用样本平均数、样本方差推断总体。 题型2　中位数与众数的确定 【解题方法】①先把数据从小到大排序；②奇数个取中间，偶数个取中间两数平均得中位数；③统计各数据出现次数，次数最多者为众数。 【数学思想】位置分析思想：排序后由位置确定集中趋势。 题型3　用方差比较稳定性 【解题方法】①先分别求两组数据的平均数；②平均数相同时，分别计算方差；③方差小的一组更稳定；平均数不同时不能只比方差下结论。 【数学思想】比较思想：在同一标准（平均数）下比较离散程度。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，先自查再对照下表。 易错点 正确做法 求中位数前不排序，直接取原数据中间的数 必须先按大小排序，再按奇偶个取中位数 认为众数唯一、或把出现次数当众数 众数是数据本身，不是次数；可能有多个众数 加权平均误按算术平均计算，漏乘权重 按权重分别相乘后求和，再除以权重之和 平均数不同时只比方差判断稳定 先比平均数，平均数相同时再比方差 方差公式中漏除以n、或忘记先求平均数 先求x̄，再算各偏差平方的平均数 七、高频考点速记 ①平均数=数据总和÷数据个数，加权平均按权重计算。 ②中位数要先排序，偶数个取中间两数的平均。 ③众数是出现次数最多的数据，可不止一个。 ④方差越小数据越集中、越稳定，方差越大离散程度越大。 ⑤样本平均数、样本方差可用来估计总体。 八、学情自测 （一）选择题（共12题） 1．若一组数据3，4，5，x，6，7的平均数是5，则x的值是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．某单位从专业知识、工作业绩、出勤情况三方面考核员工（满分均为100分），三者重要性之比依次为3∶5∶2，小王三项得分依次为90分、88分、83分，那么小王的最后得分是（ ） A．87分 B．87.5分 C．87.6分 D．88分 3．某体育用品商店一天卖出某品牌运动鞋15双，各种尺码鞋的销售量如下表，则这15双鞋尺码数据的众数和中位数分别是（ ） 鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 3 3 6 2 A．24.5，24.5 B．24.5，24 C．24，24 D．23.5，24 4．某校有35名同学参加知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名参加决赛。某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的（ ） A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差 5．某排球队6名上场队员身高（单位：cm）为180，184，188，190，192，194。现用一名身高186cm的队员换下身高192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 6．某队16名队员的年龄如下表，则这16名队员年龄的中位数和众数分别是（ ） 年龄/岁 13 14 15 16 人数 3 5 6 2 A．14，15 B．15，15 C．14.5，14 D．14.5，15 7．某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数、方差等统计量中，该鞋厂最关注的是（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8．甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲的方差为5，乙所得环数为2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．一样稳定 D．无法确定 9．在献爱心捐款活动中，某校7名同学的捐款数（单位：元）为5，8，6，8，5，10，8，这组数据的众数是（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 10．已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．30和20 B．30和25 C．30和22.5 D．30和17.5 12．某年级两班前5名同学的平均分分别为85分、86分，方差分别为22.8、19.2，则成绩较稳定的是（ ） A．平均分85分的班 B．平均分86分的班 C．两班一样稳定 D．无法比较 （二）填空题（共2题） 13．春节期间，某市旅游局统计了春节期间5天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为________． 14．若数据3，a，3，5，3的平均数是3，则这组数据的众数是________；a的值是________；方差是________． （三）解答题（共2题） 15．某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行笔试和面试（各项满分均为100分），按笔试占60%、面试占40%计算综合成绩，各项成绩如下表： 候选人 甲 乙 丙 丁 笔试成绩/分 90 84 x 88 面试成绩/分 88 92 90 86 （1）直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；（2）已知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；（3）求出其余三名候选人的综合成绩，并按综合成绩排序确定要招聘的前两人选。 16．为了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取若干名居民开展环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图所示的条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）。请根据图中信息解答：（1）本次调查一共抽取了多少名居民？（2）求本次调查样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项活动，得10分者设为“一等奖”，请根据调查结果估计需准备多少份“一等奖”奖品？ 居民环保知识有奖问答得分条形统计图 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】B 解题步骤： ①由平均数得 =5，即25+x=30； ②解得x=5，故选B。 【知识点睛】已知平均数反求数据，用“总和=平均数×个数”列等式。 2．【答案】C 解题步骤： ①按权重3∶5∶2，最后得分===； ②得87.6分，故选C。 【知识点睛】重要程度不同时用加权平均数，每项先乘权重再求和。 3．【答案】A 解题步骤： ①24.5cm出现6次，次数最多，众数为24.5；②15个数据排序后第8个为24.5，中位数为24.5，故选A。 【知识点睛】众数看出现次数，中位数先排序再取中间位置。 4．【答案】B 解题步骤： ①35人取前18，第18名正好排在中间位置；②知道中位数即可判断自己是否在前一半，故选B。 【知识点睛】判断能否进入前一半，看中位数最直接。 5．【答案】A 解题步骤： ①用186换下192，数据总和减小，平均数变小；②186比192更接近原平均水平，数据更集中，方差变小，故选A。 【知识点睛】替换为更接近平均水平的数据，平均数减小且方差减小。 6．【答案】D 解题步骤： ①16个年龄排序后第8、9个为14、15，中位数==14.5；②15岁出现6次最多，众数为15，故选D。 【知识点睛】偶数个数据取中间两数平均，频数表先累计人数定位。 7．【答案】C 解题步骤： ①鞋厂关心哪个尺码卖得最多以便多进货；②出现次数最多的尺码即众数，故选C。 【知识点睛】商家备货要多进最畅销尺码，销量出现次数最多的规格即众数，故鞋厂最关注众数。 8．【答案】A 解题步骤： ①乙的平均数==5，乙的方差=[(2−5)²+(3−5)²+(5−5)²+(7−5)²+(8−5)²]×==5.2；②5<5.2，甲方差小，甲更稳定，故选A。 【知识点睛】平均数相同时，方差刻画各数据偏离平均数的程度，方差小的一组成绩更集中、更稳定。 9．【答案】C 解题步骤： ①数据5，8，6，8，5，10，8中8出现3次，次数最多；②故众数为8，故选C。 【知识点睛】直接统计各数据出现次数，最多者为众数。 10．【答案】B 解题步骤： ①众数是3和5，说明5也出现两次，故x=5；②数据1，3，3，5，5，6排序后，中位数==4，故选B。 【知识点睛】由双众数反求缺失值，再按偶数个取中间两数平均。 11．【答案】C 解题步骤： ①由折线图读出1—10月用电量（度）：15，30，10，25，15，20，30，30，25，20；②30出现3次，次数最多，众数为30；③从小到大排序为10，15，15，20，20，25，25，30，30，30，取中间两数20与25的平均，中位数为22.5，故选C。 【知识点睛】先由折线图逐月读出全部数据，众数取出现次数最多的值，偶数个数据取中间两数的平均数作中位数，注意先排序再取中位。 12．【答案】B 解题步骤： ①比较稳定性在平均水平相当的前提下看方差；②19.2<22.8，平均分86分的班方差小、更稳定，故选B。 【知识点睛】平均数接近时，方差小的一组数据更集中、更稳定。 【填空题】 13．【答案】23.4万人 解题步骤： ①由折线图读出五天游客数量（单位：万人）：22.4，24.9，21.9，25.4，23.4；②从小到大排序为21.9，22.4，23.4，24.9，25.4，正中间位置的数为23.4；③故这五天游客数量的中位数为23.4万人。 【知识点睛】由折线图先逐日读出数据，按大小排序后取正中间位置的数即为中位数；注意先把各天数据完整读出再排序，避免漏读。 14．【答案】众数3；a=1；方差1.6 解题步骤： ①由=3得a=1；②3出现3次最多，众数为3；③方差=[(1−3)²+(3−3)²+(3−3)²+(3−3)²+(5−3)²]×==1.6。 【知识点睛】同组数据依次求平均数、缺失值、众数与方差，注意分步计算。 【解答题】 15．【答案】（1）89分；（2）x=86；（3）甲89.2分、乙87.2分、丁87.2分，招聘甲和丙 解题步骤： （1）面试成绩86，88，90，92排序后中位数==89（分）； （2）0.6x+0.4×90=87.6，解得x=86； （3）甲=90×60%+88×40%=89.2，乙=84×60%+92×40%=87.2，丁=88×60%+86×40%=87.2；综合成绩甲89.2>丙87.6>乙87.2=丁87.2，故前两名是甲和丙。 【知识点睛】加权综合成绩按权重分别计算，再由高到低排序确定人选。 16．【答案】（1）50名；（2）平均数8.26分，众数8分，中位数8分；（3）100份 解题步骤： （1）各得分人数相加：4+10+15+11+10=50（名），即共抽取50名居民； （2）平均数=(6×4+7×10+8×15+9×11+10×10)÷50=413÷50=8.26（分）；8分出现15次最多，众数为8分；50个数据排序后第25、26个都是8，中位数为8分；（3）样本中10分有10人，占比10÷50=0.2，估计500名居民中一等奖有500×0.2=100（份）。 【知识点睛】条形图先累计各组人数得样本容量，再按加权平均求平均数、按频数求众数、按位置求中位数；估计总体奖品数用样本中10分的占比乘总体人数。 学科网（北京）股份有限公司 $