第1章 一元二次方程 知识清单 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1章　一元二次方程　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共四节：1.1一元二次方程的概念；1.2一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）；1.3一元二次方程的根与系数的关系；1.4用一元二次方程解决问题。 【考点地位】一元二次方程的解法、根的判别式、根与系数的关系以及列方程解应用题，是中考“数与代数”的核心与必考内容；解法的选择、判别式的应用、增长率与面积模型是高频考点。 【学习目标】①理解一元二次方程及其一般形式，能识别二次项、一次项、常数项及其系数；②掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；③理解根的判别式，会由判别式判断根的情况；④了解根与系数的关系；⑤能列一元二次方程解决增长率、面积等实际问题，并检验结果是否符合实际意义。 【知识结构图】按“章→节→核心知识点”三层呈现，一图速查本章全貌。 节 核心知识点 1.1 一元二次方程的概念 一元二次方程的定义；一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0）；二次项、一次项、常数项及系数；方程的根 1.2 一元二次方程的解法 直接开平方法；配方法；公式法（求根公式、判别式Δ=b²−4ac）；因式分解法 1.3 根与系数的关系 两根之和 x₁+x₂=−；两根之积 x₁x₂= 1.4 用一元二次方程解决问题 增长率模型 a(1±x)²=b；面积模型；列方程—求解—检验—作答 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、公式、定理集中列表，复习时以表代翻书。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0）；a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项 先化为一般形式再确定a,b,c；a≠0是前提，含字母系数时注意讨论a=0。 根的判别式 Δ=b²−4ac；Δ>0有两个不相等实数根，Δ=0有两个相等实数根，Δ<0没有实数根 先化为一般形式再计算Δ；Δ<0在实数范围内没有实数根。 根与系数的关系 x₁+x₂=−，x₁x₂=（Δ≥0时成立） 仅在Δ≥0有根时成立，注意+x=−、=的符号。 增长率模型 连续两次平均增长率为x：a(1+x)²=b；连续两次平均降低率：a(1−x)²=b 连续增长为(1+x)²、连续降低为(1−x)²；分清基数a与结果b。 【求根公式】当 Δ=b²−4ac≥0 时，方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的实数根为： 三、考点知识梳理 （一）1.1　一元二次方程的概念 【知识定位】概念与一般形式是本章基础，中考常以选择、填空考查系数识别与方程的判定。 【一元二次方程的概念】只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫作一元二次方程。它必须同时满足：①只含一个未知数；②是整式方程；③未知数最高次数为2。 【一般形式】任何一元二次方程经过整理都可化为ax²+bx+c=0（a≠0），其中 ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。特别注意a≠0，否则不是二次方程。 【方程的根】使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，一元二次方程的解也叫作方程的根；一元二次方程最多有两个实数根。 （二）1.2　一元二次方程的解法 【知识定位】解法是本章核心，四种方法按方程特征灵活选用，是中考必考技能。 【基本思想】解一元二次方程的基本思想是降次，把二次方程转化为两个一元一次方程来解。 【直接开平方法】把方程化为 (x+m)²=n（n≥0）的形式，再直接开平方得 x+m=±。适合缺一次项或左边是完全平方的方程。 【配方法】通过配成完全平方形式解方程。步骤：①把二次项系数化为1；②移项，使左边为二次项和一次项；③方程两边都加上一次项系数一半的平方；④写成 (x+m)²=n 后开平方。 【公式法】先把方程化为一般形式，确定 a、b、c（连同符号），计算判别式 Δ=b²−4ac，再代入求根公式。当 Δ≥0 时使用。 【根的判别式】Δ=b²−4ac 叫作根的判别式：Δ>0 有两个不相等实数根；Δ=0 有两个相等实数根；Δ<0 没有实数根。 【因式分解法】先把方程一边化为两个一次因式的乘积、另一边为0，再分别令每个因式等于0实现降次。适合左边容易分解的方程（如缺常数项可提公因式，或可用十字相乘、平方差）。 （三）1.3　一元二次方程的根与系数的关系 【知识定位】根与系数的关系（韦达定理）用于不解方程求两根之和、两根之积及对称式的值。 【根与系数的关系】当 Δ≥0 时，方程 ax²+bx+c=0 的两根 x₁、x₂ 满足x₁+x₂=−，x₁x₂=，即两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比。 （四）1.4　用一元二次方程解决问题 【知识定位】列方程解应用题考查建模能力，是中考解答题常见题型。 【常见模型】①增长率（下降率）问题：连续两次变化，基础量×(1±x)²=结果量；②面积问题：如矩形四周等宽截去、道路穿插，用面积相等列方程；③销售利润问题：单件利润×销售量=总利润。 【验根】求出根后必须检验：既检验是否为原方程的根，又检验是否符合实际意义（边长、人数不能为负），不合题意的根要舍去。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】求根公式：二次系数化一般，判别式先算一遍；b方减4ac，开方顶在分子间；分子−b±根号下，分母是2a要记全。判别式：大于零两根异，等于零两根同，小于零无实根。 【对比记忆】四种解法适用范围对比如下表。 解法 适用情形 直接开平方法 (x+m)²=n（n≥0）形式，缺一次项或可直接写成完全平方 配方法 不易直接分解，需通过配方转化；也是公式法的基础 公式法 任意一元二次方程，尤其不易因式分解时通用 因式分解法 左边易分解（提公因式、十字相乘、平方差），最简便 【易混对比】判别式Δ=b²−4ac的符号用于判断根的情况；而使用根与系数关系（两根之和、两根之积）前必须先确认Δ≥0、方程确有实根，二者前提不同，不可由Δ的符号直接套用两根关系式。 五、解题方法总结 题型1　选择适当方法解一元二次方程 【解题方法】①先看能否直接开方；②再看能否因式分解；③不能简便分解时用公式法；配方法作为通法备用。 【数学思想】转化（降次）思想：把二次方程转化为一次方程。 题型2　根的判别式的应用 【解题方法】①化为一般形式确定 a、b、c；②计算 Δ=b²−4ac；③由 Δ 的符号判断根的情况；④逆用：已知根的情况列不等式求参数范围，注意二次项系数不为0。 【数学思想】分类讨论思想：按 Δ>0、Δ=0、Δ<0 三类讨论。 题型3　根与系数关系的应用 【解题方法】①先确认方程有实根（Δ≥0）；②熟记两根之和、两根之积；③求关于两根的对称式时，用 x₁+x₂、x₁x₂ 整体代入，如 x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂。 【数学思想】整体（方程）思想：不解方程，用两根之和、积整体代换。 题型4　列一元二次方程解应用题 【解题方法】①审题，设未知数x；②找等量关系列方程；③化为一般形式求解；④检验根是否符合实际意义并作答。增长率问题套用 a(1±x)²=b。 【数学思想】方程（建模）思想：把实际问题抽象为方程模型。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，先自查再对照下表。 易错点 正确做法 忽略 a≠0，误把含参数的二次项系数为0的方程当二次方程 先确认二次项系数不为0，再讨论根的情况 配方法漏加“一次项系数一半的平方”或加错位置 配方时两边同时加，写成完全平方后再开方 用公式法时 b、c 连同符号代入出错 先化一般式，连同符号确定 a、b、c 再代入 应用题求出负根或不合题意的根不舍去 必须检验实际意义，舍去不合题意的根 用韦达定理前未确认 Δ≥0 先判断判别式非负再用两根之和、积 七、高频考点速记 ①一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0（a≠0）。 ②解一元二次方程的基本思路是降次，把二次转化为一次。 ③求根公式：x=（Δ≥0）。 ④Δ=b²−4ac，Δ>0两不等实根，Δ=0两相等实根，Δ<0无实根。 ⑤韦达定理：x₁+x₂=−，x₁x₂=。 ⑥连续两次平均增长率为x，则 a(1+x)²=b。 ⑦应用题求出根后必须检验是否符合实际意义。 八、学情自测 （一）选择题（共13题） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A．x+2y=1 B．2x(x−1)=2x²+3 C．x+2=3 D．x²−2=0 2．用配方法解方程 x²−()x−1=0 时，应将其变形为（ ） A．(x−)²= B．(x+)²= C．(x−)²=0 D．(x−)²= 3．已知方程2x²−x−3=0的两根分别为x₁，x₂，那么两根倒数之和的值为（ ） A．− B． C．3 D．−3 4．若 n(n≠0) 是关于x的方程 x²+mx+2n=0 的根，则 m+n 的值为（ ） A．1 B．2 C．−1 D．−2 5．已知关于x的一元二次方程 kx²−2x+1=0 有实数根，若k为非负整数，则k的值为（ ） A．0 B．1 C．0，1 D．2 6．三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程 x²−6x+8=0 的解，则这个三角形的周长是（ ） A．8 B．8或10 C．10 D．8和10 7．若关于x的方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 中，a、b、c满足 a+b+c=0 和 a−b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．−1，0 C．1，−1 D．无法确定 8．已知x=1是关于x的一元二次方程 (m²−1)x²−mx+m²=0 的一个根，那么m的值是（ ） A．或−1 B．−或1 C．− D． 9．用配方法解方程 x²−2x−2=0 时，原方程应变形为（ ） A．(x+1)²=3 B．(x+2)²=6 C．(x−1)²=3 D．(x−2)²=6 10．已知x=1是一元二次方程 (m−2)x²+4x−m²=0 的一个根，则m的值为（ ） A．−1或2 B．−1 C．2 D．0 11．一元二次方程 x²+4x=2 配方后化为（ ） A．(x+2)²=6 B．(x−2)²=6 C．(x+2)²=−6 D．(x+2)²=−2 12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程 x²−6x+8=0 的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A．2 B．4 C．8 D．2或4 13．若α，β为方程2x²−5x−1=0的两个实数根，则2α²+3αβ+5β的值为（ ） A．−13 B．12 C．14 D．15 （二）填空题（共2题） 14．若关于x的一元二次方程 x²+6x+k=0 有两个相等的实数根，则k=________． 15．某校学生会准备在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，使彩纸面积恰好与原画面面积相等，设彩纸宽度为x cm，则所列方程整理成一般形式为________． （三）解答题（共2题） 16．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的长方形花圃。（1）设花圃的一边AB为x m，则BC的长可用含x的代数式表示为______m；（2）当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？ 17．已知关于x的一元二次方程 kx²−(4k+1)x+3k+3=0（k是整数）。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求k的值。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】D 解题步骤： ①A含两个未知数，C是分式方程，B整理后二次项消去； ②只有D只含一个未知数、是整式方程且最高次数为2，故选D。 【知识点睛】判断一元二次方程须同时满足：一个未知数、整式方程、最高次数为2，注意先把方程整理化简。 2．【答案】D 解题步骤： ①移项得 x²−()x=1； ②两边加 ()²=，得 (x−)²=1+=，故选D。 【知识点睛】配方法关键是两边同时加“一次项系数一半的平方”，再写成完全平方形式。 3．【答案】A 解题步骤： ①由韦达定理，x₁+x₂=，x₁x₂=−； ②两根倒数之和=(两根之和)÷(两根之积)=()÷(−)=−，故选A。 【知识点睛】求两根倒数之和先通分，再整体代入两根之和与两根之积。 4．【答案】D 解题步骤： ①把x=n代入方程得 n²+mn+2n=0； ②n≠0，两边除以n得 n+m+2=0，故 m+n=−2，故选D。 【知识点睛】已知方程的根求参数，把根代入原方程得到关于参数的方程，注意提取公因式后约分。 5．【答案】B 解题步骤： ①方程有实数根，需k≠0且 Δ=(−2)²−4k=4−4k≥0，得k≤1； ②k为非负整数且k≠0，故k=1，选B。 【知识点睛】含参数的一元二次方程有实根，既要Δ≥0，又要保证二次项系数不为0。 6．【答案】C 解题步骤： ①解方程 x²−6x+8=0 得 x=2或x=4； ②第三边为2时，2+2=4不能构成三角形，舍去；第三边为4时周长=2+4+4=10，故选C。 【知识点睛】三角形边长须满足三边关系，舍去不能构成三角形的解。 7．【答案】C 解题步骤： ①当x=1时 a+b+c=0，当x=−1时 a−b+c=0； ②故x=1和x=−1都是方程的根，选C。 【知识点睛】观察系数满足的条件，可直接试出方程的根，这是特殊值法的应用。 8．【答案】C 解题步骤： ①把x=1代入得 m²−1−m+m²=0，即2m²−m−1=0，解得m=1或m=−； ②又需 m²−1≠0，故m≠±1，所以m=−，选C。 【知识点睛】代入求参数后，必须检验二次项系数不为0，舍去使二次项消失的参数值。 9．【答案】C 解题步骤： ①移项得 x²−2x=2；②两边加1得 (x−1)²=3，故选C。 【知识点睛】配方法先把常数项移到右边，再两边加一次项系数一半的平方。 10．【答案】B 解题步骤： ①把x=1代入得 (m−2)+4−m²=0，即m²−m−2=0，解得m=2或m=−1；②m=2时二次项系数为0，方程不是一元二次方程，舍去，故m=−1，选B。 【知识点睛】代入求参数后须检验二次项系数不为0，舍去使方程退化的参数。 11．【答案】A 解题步骤： ①x²+4x=2，两边加4得 x²+4x+4=6；②即 (x+2)²=6，故选A。 【知识点睛】配方时常数项取一次项系数一半的平方，左边写成完全平方。 12．【答案】A 解题步骤： ①解方程 x²−6x+8=0 得两根2和4；②若腰为2、底为4，则2+2=4不能构成三角形，舍去；故腰为4、底为2，底边长为2，选A。 【知识点睛】等腰三角形边长须先满足三边关系，舍去不能围成三角形的组合。 13．【答案】B 解题步骤： ①由根的定义，2α²=5α+1，故原式=(5α+1)+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1；②由韦达定理α+β=，αβ=−，代入得5×+3×(−)+1=12，故选B。 【知识点睛】遇含α²的对称式先用根的定义降次，再整体代入两根之和与积。 【填空题】 14．【答案】9 解题步骤： ①两相等实根则 Δ=36−4k=0；②解得k=9。 【知识点睛】Δ=0对应两个相等的实数根，据此列方程求参数。 15．【答案】x²+25x−150=0 解题步骤： ①原画面面积=30×20=600，彩纸面积也为600，总面积为1200； ②(30+2x)(20+2x)=1200，整理得 x²+25x−150=0。 【知识点睛】镶边问题用“大矩形面积=原面积+彩纸面积”列方程，注意边长都增加2x。 【解答题】 16．【答案】（1）30−3x；（2）当AB长为7m时，花圃面积为63m² 解题步骤： （1）篱笆共有三段平行于AB，总长30m，故BC=30−3x（m）； （2）由面积列方程 x(30−3x)=63，整理得 x²−10x+21=0，即(x−3)(x−7)=0，解得x=3或x=7；当x=3时BC=30−3×3=21m＞10m，超过墙的最大可用长度，不合题意舍去；当x=7时BC=30−3×7=9m≤10m，符合题意，故AB=7m。 【知识点睛】面积模型先以AB=x表示出邻边BC=30−3x，再由面积相等列一元二次方程，解后必须用墙长限制检验根，舍去不合实际的解。 17．【答案】（1）见证明；（2）k=1或k=−1 解题步骤： （1）Δ=[−(4k+1)]²−4k(3k+3)=(2k−1)²，当k≠时(2k−1)²>0，故方程有两个不相等实数根； （2）方程分解为(x−3)(kx−k−1)=0，一根为x=3；令kx−k−1=0，解得另一根。要使两根均为整数，整数k须整除1，故k=1或k=−1。 【知识点睛】证明判别式恒正后，因式分解求根，再根据整数条件筛选参数。 学科网（北京）股份有限公司 $