第5章 等可能条件下的概率 知识清单 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第5章　等可能条件下的概率　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共四节：5.1等可能性；5.2求等可能条件下的概率；5.3概率的应用——抽签方法合理吗；5.4概率的应用——概率帮你做估计。 【考点地位】等可能条件下的概率是中考概率板块的核心，常以选择、填空考查一步概率，以列表或画树状图的解答题考查两步、多步事件概率与游戏公平性判断。 【学习目标】①理解等可能性的含义，会判断试验结果是否等可能；②掌握等可能条件下概率公式P(A)=，会用列举法（列表、画树状图）求概率；③理解不放回抽签中先抽后抽概率相等，会判断游戏规则是否公平；④会用大量重复试验的频率估计概率，并据此估计总体中某类对象的数量。 【知识结构图】按“章→节→核心知识点”三层呈现，一图速查本章全貌。 节 核心知识点 5.1 等可能性 所有可能结果个数n；各结果机会均等即等可能；每个结果概率为 5.2 求等可能条件下的概率 P(A)=；列表法；画树状图法；放回与不放回 5.3 抽签方法合理吗 不放回抽签先抽后抽概率相等；判断游戏是否公平 5.4 概率帮你做估计 大量重复试验用频率估计概率；列方程估计总体数量 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、公式集中列表，复习时以表代翻书。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 等可能 一个随机试验所有可能发生的结果有n个，且每个结果出现的机会均等，这n个事件的发生是等可能的 每个结果出现机会均等，是古典概型的前提。 概率公式 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)= P(A)=，m为A包含的结果数、n为全部等可能结果数。 必然事件 一定发生的事件，P=1；不可能事件一定不发生，P=0；随机事件0<P<1 必然事件P=1，不可能事件P=0，随机事件0<P<1。 频率估计概率 试验次数很大时，用频率作为概率的估计值，再由概率列方程估计总体数量 试验次数足够大时频率稳定在概率附近，用样本估计总体。 公平性 双方获胜概率相等时游戏规则公平，否则不公平 双方获胜概率相等时规则才公平，比较概率即可判断。 【取值范围】因为0≤m≤n，所以0≤P(A)≤1；m=0时P(A)=0（不可能事件），m=n时P(A)=1（必然事件）。 三、考点知识梳理 （一）5.1　等可能性 【知识定位】等可能性是本章的前提，只有各结果机会均等时才能用计算概率。 【等可能性】一般地，设一个随机试验所有可能发生的结果有n个，如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，其中每个事件发生的概率都是。例如抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”与“反面朝上”的机会均等。 （二）5.2　求等可能条件下的概率 【知识定位】P(A)=是本章核心公式，列举法是求概率的基本手段。 【概率公式】一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为P(A)=。其中n是所有等可能结果的总数，m是事件A包含的结果数，m≤n。 【列举法】一步试验直接数m、n；两步及以上试验用列表法或画树状图法把所有等可能结果一一列出，做到不重复、不遗漏，再数出符合条件的结果数m。 图1 两次抛掷硬币的树状图（列举全部等可能结果） 图2 抛掷两枚骰子全部结果的列表（6×6） 【放回与不放回】放回抽取时每次条件相同，两步结果独立；不放回抽取时第二次的总数比第一次少1，列举时要按剩余情况分析。 （三）5.3　概率的应用——抽签方法合理吗 【知识定位】用概率解释生活中的抽签、游戏规则，判断其是否公平。 【抽签的公平性】不放回抽签时，先抽的人与后抽的人中签的概率相等，抽签方法对每个人都是公平的。判断游戏规则是否公平，分别计算双方获胜的概率，相等则公平，不相等则不公平，并可据此修改规则。 图3 不放回抽签的树状图（甲、乙、丙依次抽取） （四）5.4　概率的应用——概率帮你做估计 【知识定位】用频率估计概率，再由概率反推总体中某类对象的数量。 【频率估计概率】当试验次数很大时，事件发生的频率稳定在概率附近，可以用频率作为概率的估计值。已知总体中某类对象的概率（或频率）与该类对象的一个数量，可设另一类对象为x，由P=该类数量÷总数列方程求解。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】等可能，先数全，n个结果列周全；A发生，数m个，m除以n概率现；两步题，列表格，树状图里不遗漏；比公平，看概率，相等才叫真公平；试验多，频率稳，估出概率再求量。 【对比记忆】放回与不放回、一步与两步对比如下表。 情形 结果总数 列举方法 一步试验 直接数出所有结果 直接用 两步放回 每次总数不变 列表或树状图 两步不放回 第二次总数减1 列表或树状图 【易混对比】放回抽取每次总数不变、两次相互独立；不放回抽取第二次总数比第一次少1。列举时放回与不放回的等可能结果总数不同，不可混用。 五、解题方法总结 题型1　一步试验求概率 【解题方法】①数出所有等可能结果总数n；②数出事件A包含的结果数m；③代入P(A)=化简。 【数学思想】古典概型思想：机会均等时用结果数之比表示概率。 题型2　两步及以上试验求概率 【解题方法】①用列表法或画树状图法列出全部等可能结果，总数n；②从中数出符合条件的结果数m；③P=。注意区分放回与不放回。 【数学思想】列举（枚举）思想：把所有结果有序列出，保证不重不漏。 题型3　判断游戏规则是否公平 【解题方法】①分别计算双方获胜的概率；②比较两个概率，相等则公平，不相等则不公平；③不公平时常需提出使双方概率相等的修改建议。 【数学思想】比较思想：在同一标准下比较双方获胜可能性。 题型4　用频率估计概率并估计数量 【解题方法】①用大量试验的频率作为概率估计值；②设未知对象数量为x，按P=已知类数量÷(已知类+x)列方程；③解方程并检验。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，先自查再对照下表。 易错点 正确做法 各结果机会不均等仍直接用 先判断是否等可能，不均等不能套用公式 两步试验列举重复或遗漏 用列表或树状图有序列举，数清全部n个结果 不放回误按放回计算总数 不放回时第二次总数比第一次少1 判断公平性只看一方概率 必须分别算出双方概率再比较 把频率当成精确概率直接使用 试验次数很大时频率才作为概率的估计值 七、高频考点速记 ①等可能条件下P(A)=，m是A包含的结果数，n是全部等可能结果数。 ②两步及以上用列表法或画树状图法列举，不重复、不遗漏。 ③放回每次总数不变，不放回第二次总数减1。 ④双方获胜概率相等，游戏才公平。 ⑤大量重复试验中频率稳定于概率，可用频率估计概率并估计数量。 八、学情自测 （一）选择题（共12题） 1．掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数为奇数的概率是（ ） A． B． C． D． 2．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，分别涂成蓝、红、黄三种颜色，转动转盘停止后，指针指向蓝色区域的概率是（ ） A． B． C． D． 3．任意转动被等分成6份、分别标有1至6的正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（ ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球。两次都摸到黄球的概率是（ ） A． B． C． D． 5．一个不透明的盒子中有四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是−2，−1，0，1。卡片除数字不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个红球、3个白球、2个绿球，任意摸出1球，摸到白球的概率是（ ） A． B． C． D． 7．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是（ ） A． B． C． D． 9．从−2，−1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于−4且小于2的数的概率是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数y=(2k−1)x+4（k为常数），若从−3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x的增加而增加”的一次函数的概率为（ ） A． B． C． D． 11．不透明的袋中装有1个红球与2个白球，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中摸出1个球，恰为红球的概率是（ ） A． B． C． D．1 12．在一个不透明的盒子中装有大小和形状相同的3个红球和2个白球，把它们充分搅匀，从中任意抽取1个球恰好是红球的概率是（ ） A． B． C． D． （二）填空题（共2题） 13．不透明的袋中装有1个红球与2个白球，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中同时摸出2个球，摸到红球的概率是________． 14．在一个不透明的盒子中装有3个红球和2个白球，“从中任意抽取1个球不是红球就是白球”是________事件，“从中任意抽取1个球是黑球”是________事件． （三）解答题（共2题） 15．在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3。（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为多少？（2）小明先转动转盘一次，记录下指针所指扇形中的数字，接着再转动转盘一次，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表的方法求解）。 、 16．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表： 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 2 5 4 4 （1）这组数据的众数是________，中位数是________；（2）已知在获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取2人领操，求恰好抽到八年级2名领操员的概率。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】C 解题步骤： ①骰子6个面等可能，奇数点为1，3，5共3个；②P==，故选C。 【知识点睛】一步试验先数全部结果n，再数符合条件的结果m，代入P=。 2．【答案】B 解题步骤： ①转盘被等分成6个扇形，其中蓝色区域有2个；②P(蓝)==，故选B。 【知识点睛】一步转盘概率等于目标颜色扇形的个数除以总扇形个数，先数清各颜色份数再求比。 3．【答案】D 解题步骤： ①6个数字等可能，大于3的是4，5，6共3个；②P==，故选D。 【知识点睛】先圈定“大于3”的范围，再数其中结果数，避免把3本身计入。 4．【答案】A 解题步骤： ①放回摸球，每次黄球概率；②两次都黄=()×()=，故选A。 【知识点睛】放回抽取每次条件相同，两步概率相乘。 5．【答案】B 解题步骤： ①四张卡抽两张共6种组合；②积为负需一正一负，即(−2,1)(−1,1)共2种；③P==，故选B。 【知识点睛】积为负等价于一正一负，先判断符号再数组合。 6．【答案】B 解题步骤： ①球共5+3+2=10个，白球3个；②P(白)=，故选B。 【知识点睛】一步摸球概率等于该类球的个数除以袋子中球的总数，先把各类球数相加得到总球数再求比。 7．【答案】C 解题步骤： ①设黄球x个，由P(黄)==；②解得x=6，故选C。 【知识点睛】已知概率反求数量，按P=该类数量÷总数列方程。 8．【答案】D 解题步骤： ①4根选3根共4种取法；②能搭三角形的是(2,3,4)(3,4,5)(2,4,5)共3种，P=，故选D。 【知识点睛】先列举全部取法，再用三角形三边关系筛选，最后求比。 9．【答案】B 解题步骤： ①有序列举共12种结果，积大于−4且小于2的有6种；②P==，故选B。 【知识点睛】限定区间内先排除端点，再有序列举数结果。 10．【答案】C 解题步骤： ①y随x增加而增加需2k−1>0，即k>；②k在(,3]长度为3−=，区间总长6，P=()÷6=，故选C。 【知识点睛】一次函数递增要求斜率为正，再按区间长度之比求概率。 11．【答案】A 解题步骤： ①共3个球等可能，红球1个；②P(红)=，故选A。 【知识点睛】一步抽取直接用该类对象数量除以全部对象总数，本题红球1个、袋中共3个球故为。 12．【答案】B 解题步骤： ①共5个球，红球3个；②P(红)=，故选B。 【知识点睛】不放回的一步抽取仍按该类数量÷总数计算。 【填空题】 13．【答案】 解题步骤： ①画树状图，1红2白同时摸2球共6种等可能结果；②其中摸到红球的有4种，P==。 【知识点睛】同时摸出2个用有序树状图列举，再数含红球的结果数。 14．【答案】必然；不可能 解题步骤： ①盒中只有红球和白球，抽1球非红即白一定发生，是必然事件；②盒中没有黑球，抽到黑球一定不发生，是不可能事件。 【知识点睛】一定发生为必然事件(P=1)，一定不发生为不可能事件(P=0)。 【解答题】 15．【答案】（1）；（2） 解题步骤： （1）数字1，2，3中奇数为1，3共2个，P(奇数)=； （2）列表得(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)共9种等可能结果，和为3的倍数的是(1,2)(2,1)(3,3)共3种，P==。 【知识点睛】两步转盘用列表列出全部组合，按和的条件筛选再求比。 16．【答案】（1）众数8，中位数9；（2） 解题步骤： （1）8分出现5次最多，众数为8；15个数据排序后第8个为9，中位数为9； （2）10分选手4人（七1、八2、九1），画树状图得12种等可能结果，恰好抽到八年级2人的有2种，P==。 【知识点睛】先由频数表求众数中位数，再对抽取对象用树状图列举求概率。 学科网（北京）股份有限公司 $