第2章 反比例函数 知识清单 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第2章　反比例函数　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：2.1反比例函数的概念；2.2反比例函数的图象与性质；2.3用反比例函数解决问题。 【考点地位】反比例函数是函数体系的重要组成，中考常以选择、填空考查概念、象限与增减性，以解答题考查待定系数求解析式、k的几何意义与实际建模。 【学习目标】①理解反比例关系与反比例函数的概念，会判断两个变量是否成反比例；②会用待定系数法求反比例函数解析式，掌握自变量取值范围；③掌握反比例函数的图象（双曲线）与性质，会由k的符号判断象限与增减性；④会用反比例函数建立模型解决实际问题。 【知识结构图】按“章→节→核心知识点”三层呈现，一图速查本章全貌。 节 核心知识点 2.1 反比例函数的概念 xy=k（k为常数，k≠0）；y=；自变量x≠0 2.2 图象与性质 双曲线；k>0在一、三象限；k<0在二、四象限；增减性；关于原点对称 2.3 用反比例函数解决问题 建立y=模型；k的几何意义（矩形面积|k|） 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、公式集中列表，复习时以表代翻书。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 反比例关系 两个变量x、y满足xy=k（k为常数，k≠0），则x与y成反比例关系 xy=k为定值(k≠0)；它描述两变量的乘积关系。 反比例函数 形如y=（k为常数，k≠0）的函数，x是自变量，y是x的函数，自变量x取不等于0的一切实数 k≠0；自变量x≠0，函数值y也不等于0。 图象 双曲线，由两支曲线组成，关于原点对称 双曲线两支不与坐标轴相交，关于原点中心对称。 k>0 图象位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小 增减性只在同一象限内成立，不能跨象限直接比较大小。 k<0 图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大 同样只在每个象限内讨论增减性；k的正负决定所在象限。 k的几何意义 过图象上一点作x轴、y轴垂线，与坐标轴围成矩形面积为|k|，对应三角形面积为 矩形面积=|k|，对应三角形面积=。 【注意】反比例函数分母中自变量x的次数必须是1次；形如y=（k≠0），k是不为0的常数。 三、考点知识梳理 （一）2.1　反比例函数的概念 【知识定位】概念是本章基础，常以选择、填空判断是否为反比例函数。 【反比例关系】一般地，如果两个变量x和y满足xy=k（k为常数，k≠0），那么这两个变量具有反比例关系。例如面积为24cm²的矩形，相邻两边长a、b满足ab=24；匀速行驶60km，时间t与速度v满足tv=60。 【反比例函数】一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 （二）2.2　反比例函数的图象与性质 【知识定位】图象与性质是中考高频考点，由k的符号判断象限与增减性。 【图象画法】用列表、描点、连线的方法画反比例函数图象：取自变量x的若干个值，计算对应函数值y，以x为横坐标、y为纵坐标描点，再用平滑曲线顺次连接。 【图象形状】反比例函数y=的图象是双曲线，由两支曲线组成；k>0时图象位于第一、三象限，k<0时图象位于第二、四象限，两支曲线关于原点对称。 图1 反比例函数 y= 的图象（k>0，位于第一、三象限） 图2 反比例函数 y=− 的图象（k<0，位于第二、四象限） 【增减性】k>0时，在每个象限内y随x的增大而减小；k<0时，在每个象限内y随x的增大而增大。注意增减性必须限定在“同一象限内”，不能跨象限直接比较。 图3 k>0 与 k<0 时反比例函数的图象对比 （三）2.3　用反比例函数解决问题 【知识定位】把实际问题抽象为反比例函数模型，是函数应用的重要内容。 【建模步骤】先确定两个变量的乘积为定值，建立y=模型，用待定系数法由已知点求出k，再代入求值或解决实际问题。 【k的几何意义】过反比例函数图象上一点向x轴、y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于|k|，由该点与原点、垂足构成的三角形面积等于。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】反比例，y=，k不为零是常数；k正一三降，k负二四升；双曲线，两分支，原点对称不相连；矩形面积等于k，绝对值来最稳妥。 【对比记忆】k>0与k<0对比如下表。 k的符号 所在象限 每个象限内增减性 k>0 第一、三象限 y随x增大而减小 k<0 第二、四象限 y随x增大而增大 【易混对比】k>0时在每个象限内y随x的增大而减小，k<0时y随x的增大而增大；增减性只在同一象限内成立，跨象限比较函数值须先看符号，不能直接按增减性排序。 五、解题方法总结 题型1　判断反比例函数与反比例关系 【解题方法】①看解析式能否化为y=（k≠0），分母自变量次数为1；②看两个变量乘积是否为定值。 【数学思想】模型思想：把变量关系抽象为函数模型。 题型2　待定系数法求解析式 【解题方法】①设y=；②把图象上已知点坐标代入求出k；③写出解析式。 【数学思想】方程思想：由点坐标列方程求待定系数。 题型3　由k判断象限与增减性、比较函数值 【解题方法】①由k的符号确定所在象限；②同一象限内按增减性比较；③跨象限的点先看符号再比较大小。 【数学思想】数形结合：由数（k）定形（象限），由形判性。 题型4　k的几何意义与实际建模 【解题方法】①由矩形面积|k|或三角形面积反求k；②实际问题先找乘积定值，建立y=模型再求解。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，先自查再对照下表。 易错点 正确做法 忽略k≠0的限制 反比例函数中k必须是不为0的常数 跨象限直接用增减性比较函数值 增减性只在同一象限内成立，跨象限先比符号 把y=+k等混合式误当反比例函数 必须能化为纯y=（k≠0）形式 矩形面积漏取绝对值 面积为|k|，与k的正负无关 自变量取值范围误写全体实数 反比例函数自变量x≠0 七、高频考点速记 ①反比例函数y=（k为常数，k≠0），自变量x≠0。 ②k>0图象在一、三象限且递减，k<0图象在二、四象限且递增。 ③双曲线两支关于原点对称。 ④过图象一点作坐标轴垂线，矩形面积为|k|，三角形面积为。 ⑤待定系数法设y=，代入已知点求k。 八、学情自测 （一）选择题（共12题） 1．下列函数中，属于反比例函数的是（ ） A．y=2x B．y= C．y=2x² D．y=+1 2．反比例函数y=的图象位于（ ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3．反比例函数y=−的图象位于（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 4．如图，点A、B都在第一象限的同一反比例函数图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，且P是AC的中点。若△ABP的面积为3，则该反比例函数的比例系数k的值为（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 5．已知点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)是反比例函数y=（k>0）图象上的两点，若x₁<0<x₂，则（ ） A．y₁<0<y₂ B．y₂<0<y₁ C．y₁<y₂<0 D．0<y₁<y₂ 6．过反比例函数y=图象上一点向x轴、y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积是（ ） A．k B．|k| C．k² D．1 7．反比例函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A．全体实数 B．x≠0 C．x>0 D．x≥0 8．矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的关系是（ ） A．正比例关系 B．反比例关系 C．一次函数关系 D．没有函数关系 9．在反比例函数y=的图象上有三点(−3，y₁)、(1，y₂)、(3，y₃)，则y₁、y₂、y₃的大小关系是（ ） A．y₁<y₃<y₂ B．y₂<y₃<y₁ C．y₁<y₂<y₃ D．y₃<y₁<y₂ 10．正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象交点个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．A、B是函数y=的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ） A．S=2 B．S=4 C．2<S<4 D．S>4 12．下列各题中，两个量成反比例关系的是（ ） A．正方形的边长与面积 B．路程一定时，速度与时间 C．圆的半径与面积 D．班级人数与平均成绩 （二）填空题（共2题） 13．如图，点M在第二象限的反比例函数图象上，MN⊥x轴于点N，连接MO，若△MON的面积为2，则该反比例函数的比例系数k的值为________． 14．正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于________． （三）解答题（共2题） 15．已知正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3，2)。（1）求正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时反比例函数的值大于正比例函数的值？ 16．已知反比例函数y=（x<0）的图象经过点A(−2，4)，点B在该图象上且横坐标为−4，直线AB与x轴交于点C。（1）求k的值及反比例函数的表达式；（2）求△AOC的面积（O为坐标原点）。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】B 解题步骤： ①反比例函数须能化为y=（k≠0），分母自变量次数为1；②A是正比例、C是二次、D含常数项，只有B符合，故选B。 【知识点睛】判断反比例函数看能否化为纯y=（k≠0），分母中自变量次数必须为1。 2．【答案】B 解题步骤： ①k=6>0；②k>0时图象位于第一、三象限，故选B。 【知识点睛】由k的符号直接定象限，k>0对应第一、三象限。 3．【答案】B 解题步骤： ①k=−6<0；②k<0时图象位于第二、四象限，故选B。 【知识点睛】k<0对应第二、四象限，注意与k>0的一、三象限区分。 4．【答案】C 解题步骤： ①设A(a，，P是AC的中点，故P(a，；B在过P的水平线上且在双曲线上，得B(2a，；②△ABP为直角三角形，两直角边分别为PB=a、AP=，面积=·a·==3，解得k=12，故选C。 【知识点睛】过双曲线上点向坐标轴作垂线，结合中点与水平线段，用坐标表示直角三角形面积，反求比例系数k。 5．【答案】A 解题步骤： ①k>0时，x₁<0得y₁<0，x₂>0得y₂>0；②故y₁<0<y₂，故选A。 【知识点睛】k>0时负半轴点函数值为负、正半轴点函数值为正，按符号直接排序。 6．【答案】B 解题步骤： ①过图象一点作坐标轴垂线，矩形面积等于|k|；②面积非负须取绝对值，故选B。 【知识点睛】k的几何意义：矩形面积为|k|，与k正负无关，必须取绝对值。 7．【答案】B 解题步骤： ①y=分母不能为0；②自变量x≠0，故选B。 【知识点睛】反比例函数分母不能为0，故自变量x取不等于0的一切实数。 8．【答案】B 解题步骤： ①面积一定时ab=定值；②乘积为定值，长与宽成反比例关系，故选B。 【知识点睛】两变量乘积为定值即成反比例关系，区别于比值一定的正比例。 9．【答案】A 解题步骤： ①代入得y₁=−1，y₂=3，y₃=1；②比较得y₁<y₃<y₂，故选A。 【知识点睛】直接代入求函数值再排序，跨象限先看函数值符号。 10．【答案】C 解题步骤： ①联立y=2x与y=，得2x=即x²=3，有两个解；②两图象有2个交点，故选C。 【知识点睛】正比例与反比例（k同号）图象交于关于原点对称的两点。 11．【答案】B 解题步骤： ①设A(a，)，则B(−a，−)，由BC∥x轴、AC∥y轴得C(a，−)；②△ABC为直角三角形，两直角边长为2a和，面积S=×2a×=4，故选B。 【知识点睛】关于原点对称两点配平行坐标轴的垂线，直角三角形面积恒等于4。 12．【答案】B 解题步骤： ①路程一定时速度×时间=路程（定值）；②乘积为定值成反比例，故选B。 【知识点睛】路程一定时速度与时间乘积为定值，成反比例关系。 【填空题】 13．【答案】−4 解题步骤： ①由比例系数k的几何意义，△MON的面积等于|k|的一半，即|k|÷2=2，得|k|=4；②图象位于第二象限，k<0，故k=−4。 【知识点睛】由三角形面积与|k|的关系求出|k|，再由图象所在象限判断k的正负，二者结合确定k。 14．【答案】4 解题步骤： ①A、C关于原点对称，过A作x轴垂线于B；②△ABC面积恒等于|k|=4。 【知识点睛】正比例与反比例交点配垂线，三角形面积恒等于反比例常数|k|。 【解答题】 15．【答案】（1）y=x，y=；（2）0<x<3 解题步骤： （1）把A(3，2)代入y=ax得2=3a，a=，正比例为y=x；代入y=得2=，k=6，反比例为y=； （2）两图象交于A(3，2)，在第一象限内，0<x<3时反比例函数的值大于正比例函数的值。 【知识点睛】待定系数法分别求两解析式，再由交点横坐标定函数值大小区间。 16．【答案】（1）k=−8，y=−；（2）△AOC面积为12 解题步骤： （1）把A(−2，4)代入y=，得k=−8，反比例为y=−；B横坐标为−4，此时y=2，故B(−4，2)； （2）直线AB经过A(−2，4)、B(−4，2)，设y=mx+b，代入求得m=1，b=6，即y=x+6，令y=0得C(−6，0)；OC=6，A到x轴距离为4，S△AOC=×6×4=12。 【知识点睛】先求反比例解析式与交点坐标，再求直线与x轴交点，用底乘高求三角形面积。 学科网（北京）股份有限公司 $