2026-2027学年苏科版九年级数学上册 期中备考知识清单

2026-2027学年九年级数学上学期期末备考知识点 第一章 一元二次方程 【清单01】一元二次方程的定义与一般形式 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数是2（二次）的方程。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 【清单02】一元二次方程的解法 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式； ⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【清单03】 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【清单04】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 1.若方程ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根x₁、x₂，则： X₁ + X₂ = X₁X₂ = 2.应用： 验根：不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的两根。 3.求根及未知数系数：已知一个根，求另一个根及未知数系数。 4.求代数式的值：在不解方程的情况下，求关于x₁、x₂的代数式的值。 5.求作新方程：已知方程的两个根，求一元二次方程的一般式。 【清单05】一元二次方程的应用 一.列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审：读懂题目，明确已知量、未知量及等量关系。 设：设未知数，用含未知数的代数式表示相关量。 列：根据等量关系列方程。 解：解方程，求出未知数的值。 验：检验方程的解是否符合题意。 答：写出答案。 二.常见题型： 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 第二章 反比例函数 【清单01】反比例函数的定义 1.核心定义 一般地，如果两个变量、之间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数。 2.三种等价表达形式 ①分式形式：（为常数，）； ②乘积形式：（为常数，）； ③负指数形式：（为常数，）。 3.取值范围 自变量的取值范围是，函数值的取值范围是；实际问题中需结合具体情境进一步限制自变量的范围（如长度、价格为正等）。 【清单02】反比例函数解析式的确定 1.待定系数法求解析式 已知反比例函数上一组、的对应值，代入求出比例系数，即可确定函数解析式。 2.实际问题列解析式的步骤 ①审题：提取常量与变量，明确两个变量之间的等量关系； ②建模：设出变量，根据等量关系变形，整理为的形式； ③定范围：结合实际意义，确定自变量的取值范围。 【清单03】反比例函数的图象 1.图象形状 反比例函数（为常数，）的图象叫做双曲线，由两支独立的曲线组成。图象永远不与轴、轴相交，只是无限靠近坐标轴。 2.描点法作图步骤 ①列表：自变量取若干对互为相反数的非零值，计算对应的函数值； ②描点：以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出对应点； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点，并向两端延伸。 3.对称性 ①中心对称：图象关于原点中心对称。若点在双曲线上，则点也一定在双曲线上； ②轴对称：图象关于直线和直线轴对称。 【清单04】反比例函数的性质 反比例函数的性质由比例系数的符号决定，具体对比如下： 的符号 图象所在象限 增减性 图例 第一、三象限 在每个象限内，随的增大而减小 第二、四象限 在每个象限内，随的增大而增大 注意：增减性必须强调“在每个象限内”，不能笼统地说“随的增大而减小/增大”，因为两支曲线位于不同象限，跨象限时不满足该增减规律。 【清单05】比例系数K的几何意义 1.矩形面积结论 过反比例函数图象上任意一点，分别向轴、轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积恒等于。 2.三角形面积结论 过反比例函数图象上任意一点向其中一条坐标轴作垂线，连接该点与原点，所得直角三角形的面积恒等于。 3.逆向应用 已知相关图形的面积可先求出，再结合图象所在的象限确定的符号，进而得到反比例函数的解析式。 【清单06】用反比例函数解决问题 知识点1：反比例函数实际问题的建模 1.一般解题步骤 ①审题：提取题干中的常量与变量，明确两个变量之间的数量关系； ②建模：设出变量，根据等量关系列出等式，整理为（为常数，）的标准形式； ③求解：代入已知量，计算未知量或参数的值； ④验答：检验结果是否符合实际意义，写出最终答案。 2.自变量的取值范围 纯数学问题中自变量；实际问题中需结合具体情境限定： 长度、速度、时间、价格、数量等变量必须为正数； 受墙长、材料总量、价格上限等条件限制时，需进一步求出自变量的取值范围。 知识点2：常见反比例函数实际应用类型 1.工程与行程类 工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例； 路程一定时，行驶速度与行驶时间成反比例。 2.物理跨学科类 压力一定时，压强与受力面积成反比例； 电压一定时，电流与电阻成反比例； 杠杆平衡时，力与对应的力臂成反比例。 3.经济与生活类 总金额一定时，商品单价与购买数量成反比例； 总工作量一定时，人均工作量与参与人数成反比例。 4.几何图形类 图形面积一定时，对应的底与高、长与宽成反比例。 第三章 圆 【清单01】圆的基本概念 1.圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形，也可以描述为平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。 2.圆心：圆中心的一点，用字母O表示，它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。 4.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示，直径是圆中最长的线段。 5.圆心与半径的关系：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6.圆的性质：在同圆或等圆内，有无数条半径和直径，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径的长度是半径的2倍，即d=2r。 【清单02】圆周角的概念 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【清单04】圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙中， ∵四边是内接四边形 ∴ 【清单05】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【清单06】点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【清单07】过三点的圆 1、 过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、 三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。 【清单08】直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 【清单09】切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线 【清单10】切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 【清单11】三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。 【清单12】正多边形与圆的关系 1.圆的内接正多边形：把一个圆的圆周分成n等份，顺次连接各分点所得图形，即为圆的内接正n边形，这个圆叫做这个正n边形的外接圆。 2.正多边形的相关概念： （1）正多边形的中心：正多边外接圆的圆心。 （2）正多边形的半径：正多边形内切圆半径。 （3）正多边形的中心角：正多边形的边所对的外接圆的圆心角。 【清单13】扇形与圆柱、圆锥之间联系 1、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2） 圆柱的体积： 2、圆锥侧面展开图 （1）= （2）圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长（） 4 学科网（北京）股份有限公司 $