13.3与三角形有关的内角和外角 同步练习 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.3与三角形有关的内角与外角 一、单选题 1．如图，已知直线，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，，则等于（　　） A．25° B．35° C．40° D．45° 2．在△ABC中， 若∠A ：∠B ：∠C = 1 ： 2 ： 3 ， 则△ABC 是（　　） A．锐角三角形. B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．如图，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（　　） A．25° B．40° C．50° D．80° 5．如图，直线AB∥CD，∠D＝75°，∠B＝30°，则∠E的度数是（　　） A．30° B．45° C．55° D．70° 6．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，点在延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．将一副三角形板按图所示放置，若AE∥BC，则∠BAD=　 　 10．如图，在正六边形 中，连接 ， 交于点 ，则 　 　°. 11．如图，直线m与的一边射线相交，，向上平移直线m得到直线n．与的另一边射线相交，则　 　． 12．如图，将一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，已知，则　 　． 13．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为　 　 14．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝70°，则∠BOC＝　 　°． 15．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是　 　． 16．一副三角板按如图所示放置，点A在 DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC=　 　. 17．如图，AD∥BC，CE平分∠BCD，∠DAC＝3∠BCD，∠ACD＝20°，当AB与AC互相垂直时，∠B的度数为　 　． 18．如图，已知 ，点 在 上，点 为平面内一点， ，过点 作 平分 平分 ，若 ，则 　 　. 19．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为　 　 20．已知△ABC中，∠A=60°，∠ACB=40°，D为BC边延长线上一点，BM平分∠ABC，E为射线BM上一点.若直线CE垂直于△ABC的一边，则∠BEC=　 　°. 21．在一个四边形中，若存在一个内角是它的对角的一半，我们称这样的四边形为“匀称四边形”，如图，，平分，点C是射线上的动点，连接交射线于点D，若，延长交射线于点F（点F在C右侧），当四边形 “匀称四边形”时，． 22． 如图，已知分别为上一点（），平分，，令．则下列结论：①； ②；③； ④；其中正确的是　 　．（填序号） 三、解答题 23．如图，在中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，，，． （1）求的度数； （2）求的度数． 24．如图，F是的边延长线上的一点，，，，求的度数． 25．如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB=110°.求∠B的度数. 26．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝110°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，求∠ADE的度数． 27．如图所示， ，∠1=95°，∠2=28°，求∠C的度数． 28．如图， 中， ， ， 是 边上的中线， 是 上一点且 ，求 的度数． 29．如图所示，在中，已知，，是上的高，是上的高，是与的交点，求的度数． 30．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求∠CHD的度数． 31．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF相交于点G．若∠BDC=140°∠BGC=100°，求∠A的度数. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 【解析】【解答】因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，得∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则2∠C=180°，即∠C=90°，即三角形是直角三角形．故答案为：B. 【分析】因为三角形的内角和为，所以可知∠C=，三角形为直角三角形. 3．【答案】C 4．【答案】C 【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， 故答案为：C． 【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠BAD，再根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数． 5．【答案】B 【解析】【解答】如图， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠AFE＝75°， ∴∠E＝∠AFE﹣∠B＝75°﹣30°＝45°， 故答案为：B. 【分析】直接利用平行线的性质再利用三角形外角的性质得出答案. 6．【答案】D 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∴， ∵， ∴， ∴平分，故结论③正确； ∵， ∴， ∵是的余角的5倍， ∴， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确； ∵为的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故结论⑤错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故答案为：C． 【分析】利用平行线的判定方法和性质，角平分线定义及角的运算和等量代换逐项分析判断即可. 8．【答案】D 9．【答案】75° 【解析】【解答】解：由题意，∠B=60°，∠DAE=45°， ∵AE∥BC， ∴∠ADB=∠DAE=45°， ∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB =180°﹣60°﹣45° =75°， 故答案为：75°. 【分析】根据三角板的性质和平行线的性质可得∠ADB=∠DAE=45°，∠B=60°，然后根据三角形的内角和定理即可求得∠BAD的度数. 10．【答案】120 【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴∠AFE=∠FED= =120°，AF=EF=DE ∴∠FAE=∠FEA= =30°， ∠EFD=∠EDF= =30° ∴∠AFD=∠AFE-∠EFD=120°-30°=90° ∴∠AOD=∠FAE+∠AFD=30°+90°=120° 故答案为：120 【分析】由正六边形的性质得出∠AFE=∠DEF=120°，AF=EF=DE，由等腰三角形的性质得出∠FAE=∠FEA=∠EFD=∠EDF=30°，求出∠AFD=90°，由三角形的外角性质可求出∠AOD的度数. 11．【答案】 12．【答案】20° 【解析】【解答】解：∵ 直尺 的对边平行，∠2=50°， ∴∠4=∠2=50°， ∵∠1=30°， ∴∠3=∠4-∠1=20°. 故答案为：20. 【分析】由平行线的性质可得∠4=∠2=50°，再利用三角形外角的性质可得∠3=∠4-∠1，即可求解. 13．【答案】125° 【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°， ∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线， ∴∠2+∠4=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°， ∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣55°=125°． 故答案为：125°． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数。 14．【答案】125 【解析】【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=(180°-70°）=55°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°。 故答案为：125. 【分析】首先在△ABC中，根据内角和定理求得∠ABC+∠ACB=110°，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB=55°，最后在△BOC中，根据内角和定理求得∠BOC 的度数即可。 15．【答案】85° 【解析】【解答】∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°， ∴∠C=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=35°， ∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°． 故答案为85°． 【分析】根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数． 16．【答案】100° 【解析】【解答】解：记AC和DF相交于点G，如图： 由题意得：∠E=∠B=90°，∠D=∠EFD=45°，∠BAC=60°，∠C=30°， ∵∠EAC是△ADG的外角，∠EAB=35°， ∴∠EAB+∠BAC=∠EAC=∠D+∠DGA. ∴35°+60°=∠DGA+45°， ∴∠DGA=50°. ∴∠FGC=50°， ∴∠GFC=180°－50°－30°=100°. 故答案为：100°. 【分析】根据三角形的外角性质求出∠DGA的度数，进而可得∠FGC的度数，再利用三角形的内角和定理即可得到结论. 17．【答案】30° 【解析】【解答】解：设∠BCD＝x，如图所示： ∵∠DAC＝3∠BCD， ∴∠DAC＝3x， 又∵AD∥BC， ∴∠DAC+∠BCA＝180°， 又∵∠BCA＝∠BCD+∠ACD， ∠ACD＝20°， ∴x+3x+20°＝180°， 解得：x＝40°， ∴∠BCA＝60°， 又∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， 又∵∠B+∠BAC＝90°， ∴∠B＝30°， 故答案为30°． 【分析】由平行线的性质得∠DAC+∠BCA=180°，构建方程x+3x+20°=180°，解得x=40°，再根据垂直的定义，余角的性质求出∠B的度数为30°． 18．【答案】 【解析】【解答】解：设 平分 ， 平分 在 中 ， 即 解得 故答案为： 【分析】设，可求出，，从而得出，利用三角形内角和求出∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB=，根据补角的性质可得，据此建立方程求出α，由于=2α，从而得出结论. 19．【答案】105° 【解析】【解答】解：如图所示， 由题意可知，∠2=60°，∠1=45°， ∴∠3=60°-45°=15°， ∴∠4=90°-15°=75° ∴∠1=180°-75°=105°. 故答案为：105°. 【分析】本题考查三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，首先通过三角尺知道∠2与∠1的大小，再根据外角的性质求出∠3的值，在求出∠1 的度数. 20．【答案】10°或50°或130° 【解析】【解答】解：①如图1，当CE⊥BC时， ∵∠A=60°，∠ACB=40°， ∴∠ABC=80°， ∵BM平分∠ABC， ∴∠CBE= ∠ABC=40°， ∴∠BEC=90°-40°=50°； ②如图2，当CE⊥AB时， ∵∠ABE= ∠ABC=40°， ∴∠BEC=90°+40°=130°； ③如图3，当CE⊥AC时， ∵∠CBE=40°，∠ACB=40°， ∴∠BEC=180°-90°-40°-40°=10°； 综上所述：∠BEC的度数为10°，50°，130°， 故答案为：10°，50°，130°. 【分析】当CE⊥BC时，首先由三角形内角和定理求出∠ABC的度数，然后根据角平分线的概念可得∠CBE的度数，据此求解； 当CE⊥AB时，根据角平分线的概念可得∠ABE的度数，然后根据直角三角形两锐角互余就可得到∠BEC的度数； 当CE⊥AC时，根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可. 21．【答案】，或者 22．【答案】①②④ 【解析】【解答】解：∵∠AEK+∠HKE=180°， ∴AB//HK， ∵AB//CD， ∴CD//HK，故①正确； ∵AB//HK//C， ∴， ∴， ∵KG平分∠EKF， ∴∠EKF=2∠EKG， ∴，故②正确； ∵KG平分∠EKF， ∴∠EKG=∠FKG， ∵， ， ∴， ∴，故③错误； ∵； ∠BAC+∠AHK=180°， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④. 故答案为：①②④. 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行，得到①正确；根据两直线平行，内错角相等，结合角平分线的定义得到②正确，③错误；根据两直线平行，同旁内角互补，结合三角形的外角性质得到④正确，即可得到答案. 23．【答案】（1）98° （2）64° 24．【答案】 25．【答案】解：∵∠ADB=110°， ∴∠ADE=180°－110°=70°， 又∵AE⊥BC， ∴∠DAE=90°－70°=20°， ∵AD平分∠BAE， ∴∠BAE=40°， 在△ABE中，∠B=90°－40°=50°. 【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，在△ADE中可求得∠DAE的值，根据角平分线的定义可得∠BAE的值，进而求得∠B的值. 26．【答案】解：∵在△ABC中，∠B+∠C=110°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD= ∠BAC=35°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE=∠BAD=35°． 【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADE=∠BAD即可． 27．【答案】解： ， ， ， ， 故 的度数为 ． 【解析】【分析】先根据平行线的性质可得 ，再根据三角形的外角性质即可得． 28．【答案】∵ ， ， 是 边上的中线， ∴∠B= ，AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD= ， 又∵ ， ∴∠BED= ， 又∵∠BED=∠BAD+∠ADE， ∴∠ADE=∠BED-∠BAD= - =15°. 【解析】【分析】先求得∠B、∠BAD的度数，再求∠BED的度数，再根据三角形外角的性质求得∠ADE的度数． 29．【答案】解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54° ∴∠A=180°-∠ABC- ∴∠ACB=180°-66°-54°=60° ∵BE是AC边上的高 ∴∠AEB=∠BEC=90° ∴∠ABE=180°-∠A-∠AEB=180°-60°-90°=30° 同理∠ACF=30° ∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120° 【解析】【分析】根据三角形内角和定理求∠A得度数，根据三角形的高的定义，结合直角三角形的性质求∠ABE与∠ACF的度数，最后利用三角形的外角定理即可求得答案. 30．【答案】解：延长CH交AB于F， 在△ABC中，三边的高交于一点， ∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB， ∵∠ACB＝60°， ∴∠BCF＝45° 在△CDH中，三内角之和为180°， ∴∠CHD＝45°. 【解析】【分析】利用三角形的三条高交于一点解决问题即可。 31．【答案】解：由上例得，∠BGC=∠A+∠2+∠4， ① ∠BDC=∠A+( ∠1+∠2)+( ∠3+∠4)．② 又因为BE平分∠ABD，CF平分∠ACD， 所以∠1=∠2，∠3=∠4. 所以②即∠BDC=∠A+2( ∠2+∠4)． ③ 由①×1- ③得∠A=2∠BGC-∠BDC=2×100°-140°=60°． 【解析】【分析】根据“飞镖定理”可知∠BGC=∠A+∠2+∠4 ①，∠BDC=∠A+( ∠1+∠2)+( ∠3+∠4)②，再根据角平分线性质得∠1=∠2，∠3=∠4；代入②式变形为∠BDC=∠A+2( ∠2+∠4) ③，再由由①×1- ③得即可求得∠A度数. 学科网（北京）股份有限公司 $