2026—2027学年浙教版数学八年级上册期中命题趋势预测押题卷

浙教版2026—2027学年八年级上册期中命题趋势预测押题卷 数 学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2025八上·缙云期中）若，则下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025八上·镇海区期中） 如图， 已知BD⊥AE于点B， BC═BE， 要使△ABC≌△DBE， 需补充的条件不可以是(　　) A．AC=DE B．∠A=∠D C．AB=BD D．AC=BD 3．（2025八上·滨江期中）如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B白面积为（　　） A．9 B．12 C．14 D．35 4．（2025八上·萧山期中）如图，在中，分别以顶点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，连接，分别与边相交于点D，E，若的周长为17，则的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．17 5．（2025八上·温州期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜拦在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米.为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了 (　　) A．0.9米 B．1.1 米 C．1.3 米 D．1.5米 6．（2025八上·慈溪期中）如果关于x的方程（a-1）x-4=a（x+2）的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足 则满足条件的整数a有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 7．（2025八上·金东期中）如图，在△ABC 中， ∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点I，过点 I 作DE// BC交 AB 于点D，交 AC 于点 E，且 AB=5， AC=3， ∠A=50°，下列结论： ①△DBI 和△ECI 是等腰三角形； ②DI=EI； ③△ADE 的周长是8； ④∠BIC=115°，其中正确结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025八上·柯桥期中）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2025八上·拱墅期中）如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A．3 B． C． D． 10．（2026八上·河北期中）池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离． 下列判断正确的是（　　） A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行 C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025八上·北仑期中）已知等腰三角形的一个内角为30°，则顶角为　 　度. 12．（2025八上·义乌期中）如图，在中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF= 　 　°. 13．（2025八上·上城期中）已知中，，，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，若厘米，厘米，则的面积为　 　平方厘米． 14．（2025八上·游仙期中）如图所示，是的中线，，，的周长为24，则的周长为　 　 ． 15．（2025八上·海宁期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算m⊗n=mn-m-n+2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2⊗6=2×6-2-6+2=6，请根据上述定义解决问题：若a<4⊗x<7，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是　 　. 16．（2025八上·温州期中） 美术课上，同学们要在长方形画框中粘贴两个全等的正方形图案，图和图是两位同学的设计．如图．两正方形的顶点，分别在，上，且三点共线，点，分别在，上；如图，仅改变正方形的位置，点在上，点在上，且．已知长方形的面积为，则正方形的边长为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025八上·杭州期中）解不等式（组）： （1）； （2）． 18．（2025八上·义乌期中）如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF. （1）求证： DE=DF. （2）已知AC=20， BE=4， 求AB的长. 19．（2024八上·成都期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20．（2025八上·杭州期中）已知： 如图， AC=BD， ∠CAB=∠DBA。 （1）求证： △ABC≌△BAD； （2）若∠ACB=70°， ∠DBC=45°， 求∠AOB 的度数。 21．（2025八上·萧山期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． （1）在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是　 　；（填序号） （2）若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 22．（2025八上·杭州期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是线段AC上的任意一点，在BC的延长线上取一点E，使得BD=DE （1）若∠A=70°，∠CDE=20°，求∠ABD的度数。 （2）若∠A=∠E，求证：BC=DE. （3）如图2，当点D 是线段AC 的中点时，满足∠ABD+∠E=45°，若DE =，求线段 CE 的长. 23．（2025八上·广州期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点A、B、C的坐标分别为，且a、b满足 （1）求点A、B、C的坐标； （2）如图2， 若点P为x轴上一点，且点P在点B的右侧，点E在第四象限，且，连接，求的度数； （3）如图3， 若点G为y轴正半轴上一动点，连接，分别以为边作等边和等边，使点D、H都在第一象限内，连接并延长交y轴于点F，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 浙教版2026—2027学年八年级上册期中命题趋势预测押题卷 数 学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2025八上·缙云期中）若，则下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】、∵，∴，此选项不符合题意； 、∵，∴，此选项不符合题意； 、∵，∴，此选项不符合题意； 、∵，∴，此选项符合题意； 故选：． 【分析】 结合不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不发生改变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向依旧不变；如果不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生改变。对每个选项逐一分析判断就可以得到结果. 2．（2025八上·镇海区期中） 如图， 已知BD⊥AE于点B， BC═BE， 要使△ABC≌△DBE， 需补充的条件不可以是(　　) A．AC=DE B．∠A=∠D C．AB=BD D．AC=BD 【答案】D 【解析】【解答】解：A.若补充条件 AC=DE ，利用HL判定可证明 △ABC≌△DBE，A正确； B.若补充条件 ∠A=∠D ，利用AAS判定可证明 △ABC≌△DBE，B正确； C.若补充条件 AB=BD ，利用SAS判定可证明 △ABC≌△DBE，C正确； D.若补充条件 AC=DE ，不能判定 △ABC≌△DBE，D错误。 故答案为：D . 【分析】本题考查三角形全等的五种判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL各自的适用条件，只要熟练掌握每种判定对应的边角位置关系即可选出答案。 3．（2025八上·滨江期中）如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B白面积为（　　） A．9 B．12 C．14 D．35 【答案】B 【解析】【解答】解：如图， 由正方形的性质得： ∠EFG =∠EGH =∠GMH=90°， EG=GH， ∵∠FEG+∠EGF =90°， ∠EGF+∠MGH= 90°， ∴∠FEG=∠MGH， 在△EFG和△GMH中， ∴△EFG≌△GMH(AAS)， ∴FG= MH ， GM = EF ， ∴正方形B的面积为 故答案为：B. 【分析】证△EFG≌ΔGMH， 推出]FG=MH， GM = EF ， 则再证 代入求出即可. 4．（2025八上·萧山期中）如图，在中，分别以顶点为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，连接，分别与边相交于点D，E，若的周长为17，则的长为（　　） A．8 B．9 C．10 D．17 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可得是线段的垂直平分线， 则， 的周长为， ， ， ， ， ， 即， 故选：． 【分析】先根据尺规作图确定是的垂直平分线，再利用垂直平分线性质得到，最后结合的周长求出的长即可解答． 5．（2025八上·温州期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜拦在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面1.5米.为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移0.9米，则梯子的底端向左移了 (　　) A．0.9米 B．1.1 米 C．1.3 米 D．1.5米 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，由题意可知，AE＝1.5米，BE＝2米，CE＝2.4米，AB＝CD， 由勾股定理得，AB＝， ， 即梯子的底端向左移了1.3米； 故选：C. 【分析】根据题意由勾股定理得出AB的长即可得出BE的长，再根据勾股定理求出BD的长即可得出结果． 6．（2025八上·慈溪期中）如果关于x的方程（a-1）x-4=a（x+2）的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足 则满足条件的整数a有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【解析】【解答】解：解关于x的方程((a-1)x-4=a(x+2)得x=-4-2a， 由题意知-4-2a≥0， ①+②得6x+6y=a+4， ∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ∴满足条件的整数a有-6，-5，-4，-3，-2，共5个， 故答案为：B. 【分析】先解一元一次方程得到x=-4-2a，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出 则可得到 解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案. 7．（2025八上·金东期中）如图，在△ABC 中， ∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于点I，过点 I 作DE// BC交 AB 于点D，交 AC 于点 E，且 AB=5， AC=3， ∠A=50°，下列结论： ①△DBI 和△ECI 是等腰三角形； ②DI=EI； ③△ADE 的周长是8； ④∠BIC=115°，其中正确结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：∵BI平分∠ABC ∴∠IBD=∠IBC ∵DE||BC ∴∠DIB=∠IBC ∴∠DBI=∠DIB ∴△DBI为等腰三角形 同理知△ECI为等腰三角形，故①正确； 由知DI=BD，EI=EC BD与EC不一定相等，故DI与EI不一定相等，故②错误； C△ADE=AD+AE+DE=AD+AE+BD+EC=AB+AC=5+3=8 故③正确； ∵∠A=50° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130° ∴∠IBC+∠ICB=∠ABC+∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=65° ∠BIC=180°-（∠ABC+∠ACB）=115°，故④正确； 故①③④正确. 故答案：C. 【分析】根据角平分线与平行线的性质知 △DBI 和△ECI 都是等腰三角形，正确；结合等腰三角形的性质知BD与EC不一定相等，即DI与EI不一定相等，错误；由DI=BD，EI=EC可得△ADE的周长=AB+AC，即知正确；由角平分线知∠DBC+∠ICB=65°，即得∠BIC的度数. 8．（2025八上·柯桥期中）如图，，，于D，于E，且．若，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】【解答】解：∵∠BAC=90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵BD⊥AE ∴∠BAD+∠ABD=90° ∴∠ABD=∠CAE 又∵AB=AC ∴△ABD≌△CAE(AAS) ∴BD=AE，AD=EC ∴AE=AD+DE=EC+DE=2+3=5 ∴BD=5 故答案：B. 【分析】由∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°得∠ABD=∠CAE，可得△ABD≌△CAE(AAS)，由此得AD=EC，BD=AE，得BD的长. 9．（2025八上·拱墅期中）如图，，点M，N分别是，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、、于点、，，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 同理：， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 【分析】 首先作点P关于的对称点C，再作点P关于的对称点D，依次连接、、，让线段分别和、相交于点、，最后连接、。根据对称的性质可以得到；接下来可以推导得出，由此可以判定是等边三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质可以得到，由此可以算出的长度，再根据线段和差关系，求出的长度；之后设，根据对称性质可得，代入勾股定理即可列出关于x的方程，解出x后将结果乘以2就能得到最终答案. 10．（2026八上·河北期中）池塘两端A，B的距离无法直接测量，某校数学兴趣小组的学生设计了如下甲、乙两种方案测量A，B的距离： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点A，点B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，，，连接，测量出的长即为A，B的距离． 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，测量出的长即为A，B的距离． 下列判断正确的是（　　） A．只有方案甲可行 B．只有方案乙可行 C．方案甲和乙都可行 D．方案甲和乙都不可行 【答案】A 【解析】【解答】解：方案甲： ∵CO=AO，DO=BO， 又∠AOB=∠COD， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB=CD，即测量CD的长度即可得AB的距离， ∴方案甲可行． 方案甲： 在△AOB和△COD中，只知道∠BDC=∠ADB，BD=BD，不能判断△AOB和△COD全等，故方案乙不可行. 综上，方案甲可行，方案乙不可行. 故答案为：A. 【分析】根据全等三角形的判定：SAS（两边及其夹角相等），ASA（两角及其夹边相等），依次对两个方案进行判断即可. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025八上·北仑期中）已知等腰三角形的一个内角为30°，则顶角为　 　度. 【答案】30或120 【解析】【解答】解：此题要分情况考虑： ①30°是它的顶角； ②30°是它的底角，则顶角是180°-30°×2=120°． 故答案为：30或120． 【分析】已知等腰三角形的一个内角为30°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当30°是顶角或者30°是底角两种情况． 12．（2025八上·义乌期中）如图，在中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF= 　 　°. 【答案】10 【解析】【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C=180° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-30°=100° ∵AD⊥BC ∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40° ∵由作图知AF平分∠BAC ∴∠BAF=∠BAC=50° ∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=50°-40°=10° 故答案：10. 【分析】由三角形内角和定理知∠BAC的度数，由作图痕迹知∠BAF的度数，由此可得∠DAF的度数. 13．（2025八上·上城期中）已知中，，，直角的顶点是中点，两边、分别交、于点、，若厘米，厘米，则的面积为　 　平方厘米． 【答案】 【解析】【解答】解：连接， ，是中点， ∴，AP=PC=BP， ∴∠B=∠C=45°，∠PAC=∠C=45°， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ，cm， 又， cm， ， ， ， cm2． 故答案为：． 【分析】连接，根据ASA证明，得到，，推出，再在直角三角形中根据勾股定理可得，最后利用三角形的面积公式即可求解． 14．（2025八上·游仙期中）如图所示，是的中线，，，的周长为24，则的周长为　 　 ． 【答案】26 【解析】【解答】解：∵是的中线， ， ∵的周长为 24 ， ， ， ， ， 又 ∵， ∴周长为：， 故答案为： 26 ． 【分析】根据三角形中线的定义得，再由三角形周长公式即可得到，从而求出答案. 15．（2025八上·海宁期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算m⊗n=mn-m-n+2，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2⊗6=2×6-2-6+2=6，请根据上述定义解决问题：若a<4⊗x<7，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是　 　. 【答案】-5≤a<-2 【解析】【解答】解：由题知， 4⊗x=4x-4-x+2=3x-2 ∵a<4⊗x<7 ∴a<3x-2<7， 解得 ∵此不等式组的整数解有3个 ∴， 解得-5≤a<-2 故答案为：-5≤a<-2. 【分析】根据所给定义的新运算，得出关于x的不等式组，再根据此不等式组的解集中只有3个整数解求出a的取值范围即可. 16．（2025八上·温州期中） 美术课上，同学们要在长方形画框中粘贴两个全等的正方形图案，图和图是两位同学的设计．如图．两正方形的顶点，分别在，上，且三点共线，点，分别在，上；如图，仅改变正方形的位置，点在上，点在上，且．已知长方形的面积为，则正方形的边长为　 　． 【答案】10 【解析】【解答】解：如图1，过点P作RS⊥AD于点R，交BC于点S，如图2，作PT⊥BC于点T， ∵∠GEB+∠BGE=90°，∠GEB+∠PES=90° ∴∠BGE=∠PES 又∵EG=EP，∠B=∠PSE ∴△BGE≌△SEP(AAS) 同理得△EPS≌△FPR≌△HFD，△BEG≌△TPE，△PMT≌△MHC， 设DH=a，DF=b，则PR=b，PS=b，BE=b，ES=a， BC=a+b+a+b=2a+2b，CD=RS=2b， 而EM=CM得b=2a SABCD=(2a+2b)2b=480，得a=2，b=4 GE= 故答案：10. 【分析】如图1，过点P作RS⊥AD于点R，交BC于点S，如图2，作PT⊥BC于点T，由全等可得BC=2a+2b，AB=2b，由EM=MC得b=2a，根据面积可得a、b的值，即可得NGEP的边长. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2025八上·杭州期中）解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， 移项合并同类型得：， 系数化为1得：． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解为． 【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项及系数化为1，求解即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可. （1）解：， 移项合并同类型得：， 系数化为1得：． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解为． 18．（2025八上·义乌期中）如图， DE⊥AB于点E， DF⊥AC于点F，BD=CD，BE=CF. （1）求证： DE=DF. （2）已知AC=20， BE=4， 求AB的长. 【答案】（1）证明：∵DE⊥AB， DF⊥AC， ∴∠E=∠DFC=∠AFD=90°. 在. 和 中， （2）解：由（1）得Rt△BED≌Rt△CFD， ∴DE=DF， CF=BE=4. 在 和 中， . ∴AB=AE-BE=16-4=12. 【解析】【分析】(1)由垂直知∠E=∠CFD=90°，由此可证，即得DE=DF； (2)由(1)中全等知DE=DF，CF=BE，得，由此可得AE=16，AB=12. 19．（2024八上·成都期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）解：由题意得，∠AOB=90°，米，米，OE=3米， ∴在中，（米） 米． 答：处与地面的距离是米； （2）解：由题意得CD=15米，BD=3米，∠AOB=90°，米， 又∵由（1）得OB=9米， ∴（米），∴在中，（米） 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）先根据题意求出OD的长，再由勾股定理求出OC的长，最后利用计算即可． 与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 20．（2025八上·杭州期中）已知： 如图， AC=BD， ∠CAB=∠DBA。 （1）求证： △ABC≌△BAD； （2）若∠ACB=70°， ∠DBC=45°， 求∠AOB 的度数。 【答案】（1）证明：在△ABC和△BAD中， ∴△ABC≌△BAD(SAS)； （2）解：∵△ABC≌△BAD ∴∠D=∠ACB=70°， ∴∠AOB=∠D+∠DBC=70°+45°=115° 【解析】【分析】(1)根据SAS直接证明△ABC≌△BAD即可； (2)根据全等三角形的性质解答即可. 21．（2025八上·萧山期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． （1）在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是　 　；（填序号） （2）若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】（1）② （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是 【解析】【解答】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 22．（2025八上·杭州期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是线段AC上的任意一点，在BC的延长线上取一点E，使得BD=DE （1）若∠A=70°，∠CDE=20°，求∠ABD的度数。 （2）若∠A=∠E，求证：BC=DE. （3）如图2，当点D 是线段AC 的中点时，满足∠ABD+∠E=45°，若DE =，求线段 CE 的长. 【答案】（1）解：， ， ，. ， ， ， （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）解： 如图，过点D作与点F， ， ， ， ，. 是AC的中点 设，则， ， 在中，， 解得 在Rt△CDF中，CF2+DF2=CD2， 解得CF=DF=1 在Rt△DEF中，EF2+DF2=DE2， 解得 EF=3， ∴CE=3-1=2 【解析】【分析】⑴根据等腰三角形性质、三角形的内角和定理及三角形外角性质计算 ∠ABD的度数 . ⑵根据角的和差转化得，从而BD=BC，再根据题意得BC=DE. ⑶根据勾股定理CD=AD=，CF=DF=1， EF=3，从而确定CE的长. 23．（2025八上·广州期中）如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点A、B、C的坐标分别为，且a、b满足 （1）求点A、B、C的坐标； （2）如图2， 若点P为x轴上一点，且点P在点B的右侧，点E在第四象限，且，连接，求的度数； （3）如图3， 若点G为y轴正半轴上一动点，连接，分别以为边作等边和等边，使点D、H都在第一象限内，连接并延长交y轴于点F，求的值． 【答案】（1）解：∵，，， ， ； （2）解：如图2，过点E作轴于M点， 则， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； ​​​​​​​ （3）解：如图3，在y轴上截取 ∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴． 【解析】【分析】（1）根据绝对值与平方的非负性，即可求出a、b的具体数值； （2）过点E作轴，交x轴于点M，此时可得 ，进一步可以证明，再结合已知条件，可推导出，因此是等腰直角三角形，由此可得； （3）先在y轴上截取线段，使得。已知和均为等边三角形，由此不难证得，因此对应边，同时对应角。结合角的关系，可以推导出。接下来，因为，且等边三角形对应边，根据HL斜边直角边判定定理，可以得到，由此可以得到，且，进而推出是等边三角形。结合以上结论，最终就能证明，根据这个关系即可求出对应的结果. （1）解：∵，， ， ， ； （2）解：如图2，过点E作轴于M点， 则， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图3，在y轴上截取 ∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴． $