2026-2027学年广东省揭阳市真理中学八年级数学上学期期中模拟卷（北师大版）

2026-2027北师大版广东省揭阳市真理中学八年级上学期期中模拟卷 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（　　） A．﹣3是9的平方根 B．负数没有立方根 C．的算术平方根是﹣2 D．（﹣1）2的平方根是﹣1 2．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（　　） A．76 B．70 C．48 D．24 3．在平面直角坐标系中，若点P（2a+3，﹣1）与点Q（5，b﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．小明利用计算器得到表中的数据： x 8 8.5 9 9.5 10 x2 64 72.25 81 90.25 100 x3 512 614.125 729 857.375 1000 那么在（　　） A．9～9.5之间 B．9.5～10之间 C．90～95之间D．95～100之间 5．下列说法正确的个数是（　　） （1）若ab＝0，则点P（a，b）表示原点（2）点（1，﹣a2）在第四象限 （3）已知A（1，﹣3）与B（1，3），则直线AB平行于y轴 （4）已知A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，数轴上点A表示的数是﹣2，点B表示的数是0，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在正方形OABC中，O是坐标原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标是（　　） A．（，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（，﹣1） 8．如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，则△ABC面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11．使二次根式有意义的x的取值范围是 　 　 ． 12．在平面直角坐标系中，点A（a﹣2，6﹣2a）在x轴上，则a的值为 　 　 ． 13．在△ABC中，AC＝5，BC，AB边上的高为3，则△ABC的面积为 　 　 ． 14．已知，聪明的同学你能不用计算器得出：（1） 　 　 ；（2） 　 　 ． 15．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　 ． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16．计算：． 17．已知x+2的一个平方根是﹣2，2x+y﹣1的立方根是3． （1）求xy的值； （2）求的算术平方根． 18．已知：点P（2﹣a，3），且点P到x轴、y轴的距离相等．求a的值及点P的坐标． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19．如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识回答问题． （1）判断△ABC是什么形状三角形？并说明理由； （2）求△ABC的面积； （3）试求点A到BC的距离． 20．在方格纸上建立如图的平面直角坐标系，△ABC三个顶点均在格点上． （1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）求点B与点C1之间的距离； （3）在x轴上找一点P，使得PA+PC最小，请直接写出P点坐标． 21．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在AB边上的F处，折痕为DE．已知AB＝AC，FD⊥BC． （1）求证：∠AFE＝90°． （2）AF＝4，BF＝6，求AE． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第2 2题1 3分，第2 3题1 4分，共27分） 22．若一个含根号的式子a+b可以写成m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b，则称a+b为“完美根式”，m+n为a+b的“完美平方根”．例如：因为19﹣6，所以19﹣6是“完美根式”，1﹣3是19﹣6的“完美平方根”． （1）已知23是a﹣12的“完美平方根”，求a的值； （2）若m+n是a+b的“完美平方根”，用含m，n的式子分别表示a，b． 23．如图，B、C、D三点在同一直线上，AO⊥BC于O，BC＝CD，且AB＝AC＝5，AO＝3．点P是线段DB上的一个动点，点P从起点D运动到终点B（包括D、B），当△ACP是等腰三角形时，求线段DP的长度． 2026-2027北师大版广东省揭阳市真理中学八年级上学期期中模拟卷 参考答案与试题解析 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B B C C D B B 一．选择题（共10小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．﹣3是9的平方根 B．负数没有立方根 C．的算术平方根是﹣2 D．（﹣1）2的平方根是﹣1 【分析】根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、﹣3是9的平方根，故此选项符合题意； B、负数有立方根，故此选项不符合题意； C、∵，而﹣4没有算术平方根，∴没有算术平方根，故此选项不符合题意； D、∵（﹣1）2＝1，而1的平方根是±1，∴（﹣1）2的平方根是±1，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 2．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（　　） A．76 B．70 C．48 D．24 【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案． 【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8， ∴由勾股定理得：AB10， ∴正方形的面积是10×10＝100， ∵△AEB的面积是AE×BE6×8＝24， ∴阴影部分的面积是100﹣24＝76， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是运用勾股定理及面积公式求解． 3．在平面直角坐标系中，若点P（2a+3，﹣1）与点Q（5，b﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求出a和b的值，再代入a+b中求值即可． 【解答】解：∵点P（2a+3，﹣1）与点Q（5，b﹣1）关于x轴对称， ∴2a+3＝5，b﹣1＝﹣（﹣1）， 解得：a＝1，b＝2， ∴a+b＝1+2＝3． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形的变化—轴对称变换，掌握关于x轴对称的点的坐标特征“横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题关键． 4．小明利用计算器得到表中的数据： x 8 8.5 9 9.5 10 x2 64 72.25 81 90.25 100 x3 512 614.125 729 857.375 1000 那么在（　　） A．9～9.5之间 B．9.5～10之间 C．90～95之间 D．95～100之间 【分析】根据立方根的定义进行判断即可． 【解答】解：∵9.53＝857.375，103＝1000，而857.375＜888＜1000， ∴9.510， 即在9.5～10之间， 故选：B． 【点评】本题考查立方根、平方根，理解立方根的定义是正确解答的前提． 5．下列说法正确的个数是（　　） （1）若ab＝0，则点P（a，b）表示原点 （2）点（1，﹣a2）在第四象限 （3）已知A（1，﹣3）与B（1，3），则直线AB平行于y轴 （4）已知A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析得出答案． 【解答】解：（1）、若ab＝0，则点P（a，b）表示在坐标轴上，故此选项错误； （2）、点（1，﹣a2）一定在第四象限或x轴上，故此选项错误； （3）、已知点A（1，﹣3）与点B（1，3），则直线AB平行y轴，正确； （4）、已知点A（1，﹣3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1）或（1，﹣7），故此选项错误． 说法正确的有1个． 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，掌握坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系是解题的关键． 6．如图，数轴上点A表示的数是﹣2，点B表示的数是0，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】先运用勾股定理求得线段AC的长，再计算出此题结果即可． 【解答】解：由题意得，， ∴， ∴点D表示的数， 故选：C． 【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解． 7．如图，在正方形OABC中，O是坐标原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标是（　　） A．（，1） B．（﹣1，） C．（，1） D．（，﹣1） 【分析】根据正方形的性质证明△OCD≌△AOE即可得点C的坐标． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E， 在正方形OABC中，∠AOC＝90°，AO＝CO， ∵∠AOC＝∠CDO＝90°， ∴∠COD+∠AOE＝∠COD+∠OCD＝90°， ∴∠OCD＝∠AOE， 在△OCD和△AOE中， ， ∴△OCD≌△AOE（AAS）， ∴CD＝OE＝1，OD＝AE， ∴C（，1）． 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　） A． B． C． D． 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为6，圆柱高为3， ∴AB＝3，BC＝BC′＝3， ∴AC2＝32+32＝18， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为． 故选：D． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 9．如图，正方形ABCD中，AB＝6，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（　　） A．1 B．2 C．1.5 D．2.5 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明△ABG≌△AFG，进而得到BG＝GF，由G是BC的中点，AB＝6，得到GF＝CG＝3，在Rt△ECG中有勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：连接AG， 由题意得AD＝AF＝AB，且∠AFG＝∠ABG＝∠D＝90°， ∵AG＝AG， ∴△ABG≌△AFG （HL）， ∴BG＝GF ∵AB＝BC＝CD＝DA＝6，G是BC的中点， ∴BG＝GF＝GC＝3， 设DE＝x，则EF＝x，EC＝6﹣x， 在Rt△ECG中，由勾股定理得： （x+3）2＝32+（6﹣x）2， 解得x＝2，即DE＝2． 故选：B． 【点评】考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、直角三角形的勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中，是解决此类问题常用的方法． 10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为，则△ABC面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】把代入计算即可． 【解答】解：由条件可知a2＝3，b2＝4，c2＝5， ∴ ， 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11．使二次根式有意义的x的取值范围是 　x≥1　 ． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1， 故答案为：x≥1． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，点A（a﹣2，6﹣2a）在x轴上，则a的值为 　3　 ． 【分析】根据x轴的坐标特点得出6﹣2a＝0，进而解答即可． 【解答】解：∵点A（a﹣2，6﹣2a）在x轴上， ∴6﹣2a＝0， 解得：a＝3， 故答案为：3． 【点评】此题考查点的坐标，关键是根据x轴的坐标特点得出6﹣2a＝0解答． 13．在△ABC中，AC＝5，BC，AB边上的高为3，则△ABC的面积为 　或　 ． 【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC为锐角三角形，在直角三角形ACD与直角三角形BCD中，利用勾股定理求出AB的长即可求出△ABC的面积；如图2所示，此时△ABC为钝角三角形，同理求出AB的长即可求出△ABC的面积． 【解答】解：分两种情况考虑： ∵AC＝5，BC，AB边上的高CD＝3， 如图1所示，此时△ABC为锐角三角形， 在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD4； 在Rt△CBD中，根据勾股定理得：DB5， ∴AB＝AD+BD＝4+5＝9， ∴S△ABC； 如图2所示，此时△ABC为钝角三角形， 同理可得：AD＝4，DB＝5， ∴AB＝DB﹣AD＝5﹣4＝1， ∴S△ABC； 故答案为：或． 【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．已知，聪明的同学你能不用计算器得出：（1） 　3.984　 ；（2） 　0.1166　 ． 【分析】根据题意，利用小数点移动规律得到结果即可． 【解答】解：（1）∵， ∴． 故答案为：3.984； （2）∵， ∴， 故答案为：0.1166． 【点评】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键． 15．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 　　 ． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，CE，此时PC+PQ＝EQ取最小值，由“AAS”可证△ACD≌△AED，可得AE＝AC＝5．由面积法可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点E作EQ⊥AC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，CE，此时PC+PQ＝EQ取最小值，如图所示． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12， ∴AC5． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AE＝AC＝5． ∴S△ACEAC•QES△ACB， ∴5QE5×12， ∴QE， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线找到最短路线是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16．计算：． 【分析】根据完全平方公式和平方差公式，进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2和完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2． 17．已知x+2的一个平方根是﹣2，2x+y﹣1的立方根是3． （1）求xy的值； （2）求的算术平方根． 【分析】（1）根据算术平方根的定义列式求出x的值，再根据立方根的定义列式求出y的值，再计算xy即可； （2）把x和y的值代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵x+2的一个平方根是﹣2， ∴x+2＝4， ∴x＝2， ∵2x+y﹣1的立方根是3， ∴2x+y﹣1＝33， ∴4+y﹣1＝27， ∴y＝24， ∴xy＝2×24＝48； （2）由（1）知x＝2，y＝24， ∴4， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2． 【点评】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的定义，熟记概念并求出x、y的值是解题的关键． 18．已知：点P（2﹣a，3），且点P到x轴、y轴的距离相等．求a的值及点P的坐标． 【分析】根据到两坐标的距离相等，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：∵点P（2﹣a，3）到x轴、y轴的距离相等． ∴|2﹣a|＝3， ∴2﹣a＝±3， ∴a＝5或a＝﹣1， ∴点P的坐标（﹣3，3）或（3，3）． 【点评】本题考查了点的坐标，利用到两坐标的距离相等得出关于a的方程是解题关键． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19．如图正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识回答问题． （1）判断△ABC是什么形状三角形？并说明理由； （2）求△ABC的面积； （3）试求点A到BC的距离． 【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、BC、AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状； （2）判断出AB和BC分别为底和高，利用公式直接解答； （3）AB的长即为A到BC的距离． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB； 在Rt△AEC中，AC； 在Rt△BDC中，BC； ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形． （2）∵△ABC是直角三角形， ∴S△ABC26； （3）∵∠B是直角， ∴A到BC的距离AB． 【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面积，充分利用网格是解题的关键． 20．在方格纸上建立如图的平面直角坐标系，△ABC三个顶点均在格点上． （1）画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标； （2）求点B与点C1之间的距离； （3）在x轴上找一点P，使得PA+PC最小，请直接写出P点坐标． 【分析】（1）根据对称的性质作图，再根据图形写出点A1，B1，C1的坐标； （2）取格点M使得BM⊥C1M，根据勾股定理求解即可； （3）由（1）知，点A与A1关于x轴对称，连接A1P，则AP＝A1P，当A1、P、C三点共线时，PA1+PC最小，连接A1C交x轴于点P，点P即为所求． 【解答】解：（1）如图，ΔA1B1C1即为所求， A1（﹣2，1），B1（0，3），C1（1，2）； （2）如图，取格点M使得BM⊥C1M， ∴BM＝1，C1M＝5， ∴， 即点B与点C1之间的距离为； （3）连接A1C交x轴于点P，点P即为所求， ∴P（﹣1，0）． 【点评】本题考查了作图——轴对称图形，对称的性质，勾股定理，解题的关键是数形结合． 21．如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在AB边上的F处，折痕为DE．已知AB＝AC，FD⊥BC． （1）求证：∠AFE＝90°． （2）AF＝4，BF＝6，求AE． 【分析】（1）根据折叠性质和等腰三角形性质得出∠B＝∠C＝∠EFD，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可； （2）根据折叠性质和勾股定理解答即可． 【解答】（1）证明：由折叠性质，∠C＝∠EFD，EF＝CE， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝∠EFD， ∵FD⊥BC， ∴∠B+∠BFD＝90°， ∴∠EFD+∠BFD＝90°， ∴∠AFE＝180°﹣∠EFD﹣∠BFD＝90°； （2）解：∵AF＝4，BF＝6，AB＝AC， ∴AC＝AB＝4+6＝10， ∴EF＝CE＝AC﹣AE＝10﹣AE， 在Rt△AFE中，AF2+EF2＝AE2， ∴42+（10﹣AE）2＝AE2， 解得：． 【点评】本题考查折叠性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余、勾股定理，熟练掌握折叠性质和等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程思想是解答的关键． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第2 2题1 3分，第2 3题1 4分，共27分） 22．若一个含根号的式子a+b可以写成m+n的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+b，则称a+b为“完美根式”，m+n为a+b的“完美平方根”．例如：因为19﹣6，所以19﹣6是“完美根式”，1﹣3是19﹣6的“完美平方根”． （1）已知23是a﹣12的“完美平方根”，求a的值； （2）若m+n是a+b的“完美平方根”，用含m，n的式子分别表示a，b． 【分析】（1）由定义可得a﹣12（23）2，求出a即可； （2）由题意可得a+b（m+n）2，则有a+bm2+7n2+2mn，由此可求解． 【解答】解：（1）∵23是a﹣12的完美平方根， ∴a﹣12（23）2， ∴a﹣1221﹣12， ∴a＝21； （2）∵m+n是a+b的完美平方根， ∴a+b（m+n）2， ∴a+bm2+7n2+2mn， ∴a＝m2+7n2，b＝2mn． 【点评】本题考查了新定义，理解定义，能将所求问题转化为完全平方公式问题是解题的关键． 23．如图，B、C、D三点在同一直线上，AO⊥BC于O，BC＝CD，且AB＝AC＝5，AO＝3．点P是线段DB上的一个动点，点P从起点D运动到终点B（包括D、B），当△ACP是等腰三角形时，求线段DP的长度． 【分析】根据勾股定理求出OB，进而求出BC和BD的长，分CP′＝AC、P′′A＝P′′C、CP′′′＝CA、点P与点B重合四种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴BO＝OC， 在Rt△AOB中，OB4， ∴BC＝2OB＝8， ∵BC＝CD， ∴BD＝8+8＝16， 当CP′＝AC＝5时，DP′＝8﹣5＝3， 当P′′A＝P′′C时，OP′′＝4﹣P′′C， 在Rt△AOP′′中，OA2+OP′′2＝AP′′2，即32+（4﹣CP′′）2＝CP′′2， 解得，CP′′， 则DP′′8， 当CP′′′＝CA＝5时，DP′′′＝8+5＝13， 当点P与点B重合时，AC＝AP，BP＝16， 综上所述，△ACP是等腰三角形时，线段DP的长度为3或或13或16． 【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/28 15:28:54；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $