精品解析：广东揭阳市揭东区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期中教学质量监测 八年级数学科试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列三条线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. C. D. 40，50，60 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴能构成直角三角形，故A选项不符合题意， ∵， ∴能构成直角三角形，故B选项不符合题意， ∵， ∴能构成直角三角形，故C选项不符合题意， ∵， ∴不能构成直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 2. 在下列实数：、、、、、…相邻两个1之间0的个数逐次增加中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：在实数、、、、、…相邻两个1之间0的个数逐增次加中，无理数有、…相邻两个1之间0的个数逐增次加，共2个． 故选：B． 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【详解】已知， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解． 4. 在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值. 根据“点M在第二象限”可知，点M的横坐标为负，纵坐标为正，根据“点M到轴的距离为，到轴的距离为”可分别得出点M横坐标与纵坐标的绝对值，即可得出坐标 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∵点M到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点M的坐标是， 故选：C 5. 若，，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限的符号特征以及不等式的简单应用，运用了逻辑推理的思想．解题关键是根据判断出x、y异号，再结合确定x、y的正负，易错点是对象限符号特征记忆不清，导致判断错误． 已知，根据乘法法则“异号得负”，可知x和y符号不同．再由，移项得到，由此可推出y为正、x为负．最后根据平面直角坐标系中第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正的特征，判断出点在第二象限． 【详解】， ∴x与 y 异号． 又，即， ∴ y为正，x为负． 在第二象限． 故选：B． 6. 如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平面展开-最短路径问题，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．先把图中正方体展开，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：解：如图，连接，则线段的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， ∵正方体的棱长为，O为的中点， ∴，，， 由勾股定理得， 故选：A． 7. 已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义和性质，设经过原点的直线解析式为，代入点C求出的值，再利用正比例函数的性质求出，，比较大小即可得出结论． 【详解】解：设经过原点的直线解析式为， 代入，得，解得， ∴直线解析式为， 当时，； 当时，； ∵ ∴， 故选：B． 8. 已知一次函数的图象不经过第四象限，那么一定满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质解答即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图形不经过第四象限， ∴， 当此函数图象经过原点时，， 当此函数图象不经过原点时，， ∴， 故选：． 9. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ， ∴. 故选C. 10. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，…得到螺旋折线（如图），已知点（0，1），（，0），（0，），则该折线上的点的坐标为（ ） A. （，24） B. （，25） C. （，24） D. （，25） 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，找出斐波那契数列的变化规律和点的变化规律，即可求解. 【详解】由题意，在的正上方，推出在的正上方，且到的距离， 所以的坐标为， 故选B． 【点睛】本题主要考查点的坐标变化规律，找出在的正上方，是解题的关键. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，需满足分母且被开方数， 由得，即； 由得， 所以x的取值范围是， 故答案为：． 12. 比较大小：____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】∵为黄金数，约等于0.618，，显然前者小于后者． 或者作差法：， 所以，前者小于后者． 故答案为＜ 13. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标． 【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为，， ∴建立坐标系如图所示： ∴点B的坐标为． 故答案为：． 14. 已知一次函数，当时，y的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的增减性可得y随x的增大而减小，求出时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y的最大值是． 故答案为： 15. 如图，长方形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，， 连接，则的最小值是 _____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，∠， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值=， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 函数是正比例函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． （）根据正比例函数定义列出，然后求出的值即可； （）由题意可得出函数解析式为，当时，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得， ∴函数解析式为， ∴当时，，解得：， ∴的值为． 17. 如图，有一块长方形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，求原长方形木板的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案． 【详解】∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为和， 由题图可知，原长方形的长为，宽为， ∴原长方形的面积为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键． 18. 已知点是平面直角坐标系中的一点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． （1）根据轴上点的横坐标为0即可得到答案； （2）根据平行于轴的直线上各点纵坐标相等进行解答即可． 【小问1详解】 解：因为点在轴上，所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． 【小问2详解】 因为点的坐标为，且轴， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知， （1）求的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 【答案】（1）17 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算以及无理数的小数部分，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，以及利用公式和小数部分的定义进行计算． （1）先对、进行分母有理化，再利用完全平方公式和平方差公式计算的值； （2）先确定的范围，从而得到、的范围，进而确定它们的小数部分、，再代入式子计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 由（1）知， ， 又∵的小数部分为的小数部分为， ． 20. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， （1）已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标； （2）已知点的“a级关联点”为，求的值； （3）已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键 （1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论； （2）根据关联点的定义，得到，，求出a，b的值代入计算解题； （3）根据关联点的定义得到点N，然后分为点N在x轴和y轴上计算即可． 【小问1详解】 解：点的“2级关联点”是， 即点B的坐标为； 【小问2详解】 解：点的“a级关联点”为， 则，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：点的“级关联点”为，即N， 当点N在x轴上时，，解得，这是点N， 当点N在y轴上时，，解得，这是点N， 综上所述，点N的坐标为或． 21. 如图1：正方形的边长为，是直线上一动点，连接，在的右侧以为直角顶点作等腰直角三角形，连接，． （1）当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由． （2）当时，求的长． 【答案】（1） ，理由如下: ∵四边形是正方形， ∴，， 在等腰直角三角形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义等知识点，正确证明全等三角形是解题的关键． （1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质推出，根据角的和差求出，利用证明, 根据全等三角形的性质即可得解； （2）分两种情况根据正方形的性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图， 点在线段上， 由（1）得， ∴， ∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∴； ②如图，点在延长线上，同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴ 综上，故的长为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 阅读下列材料． 材料一：化䈒：． 解：由可知，有隐含条件，解得原式． 材料二：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：． 当时，， ，解得（舍去）； 当时，， ，符合条件； 当时，， ，解得（舍去）． 的取值范围是． （1）按照上面的解法，化简：； （2）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，实数与数轴等知识，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次格式的性质化简即可； （2）先根据数轴得出，， ，，然后根据二次格式的性质化简即可； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得． 【小问1详解】 解：由可知：， ， ， ； 【小问2详解】 解：由数轴知：，， ，， ； 【小问3详解】 解： ， ， 当时，，， ， （舍去）； 当时，，， ，符合条件； 当时，，， ， （舍去）； x的取值范围为． 23. 如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标 （2）在（1）的条件下，在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 【答案】（1） （2）存在，点P的坐标为或或 （3） 证明：过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图：过点作轴于． ∵， ∴， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 存在； 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中教学质量监测 八年级数学科试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列三条线段不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. C. D. 40，50，60 2. 在下列实数：、、、、、…相邻两个1之间0的个数逐次增加中，无理数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，正方体盒子的棱长为，O为的中点，现有一只蚂蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 7 7. 已知点，，都在经过原点的同一条直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 已知一次函数的图象不经过第四象限，那么一定满足（ ） A. B. C. D. 9. 若，则可以表示为（ ） A. B. C. D. ab 10. 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，…得到螺旋折线（如图），已知点（0，1），（，0），（0，），则该折线上的点的坐标为（ ） A. （，24） B. （，25） C. （，24） D. （，25） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是_________ ． 12. 比较大小：____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 13. 2025年第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为，，则点B的坐标为______． 14. 已知一次函数，当时，y的最大值是_____． 15. 如图，长方形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，， 连接，则的最小值是 _____________ ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分 16. 函数是正比例函数． （1）求的值； （2）当时，求的值． 17. 如图，有一块长方形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，求原长方形木板的面积． 18. 已知点是平面直角坐标系中的一点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19. 已知， （1）求的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 20. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即， （1）已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标； （2）已知点的“a级关联点”为，求的值； （3）已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标． 21. 如图1：正方形的边长为，是直线上一动点，连接，在的右侧以为直角顶点作等腰直角三角形，连接，． （1）当点E在线段上运动时，试判断与的数量关系，并说明理由． （2）当时，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分 22. 阅读下列材料． 材料一：化䈒：． 解：由可知，有隐含条件，解得原式． 材料二：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：． 当时，， ，解得（舍去）； 当时，， ，符合条件； 当时，， ，解得（舍去）． 的取值范围是． （1）按照上面的解法，化简：； （2）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______； （3）若，求的取值范围． 23. 如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标 （2）在（1）的条件下，在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $