2026—2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟进阶提升卷

北师大版2026—2027学年九年级上册期中模拟进阶提升卷 数 学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2025九上·游仙期中）把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2025九上·拱墅期中）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F. 若DE=3，EF=6，AB=4，则AC的长为(　　) A．6 B．8 C．9 D．12 3．（2025九上·游仙期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 4．（2025九上·温州期中） 已知点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)为抛物线. 上两点，且. 则下列说法正确的是(　　) A．若 则 B．若. 则 C．若 则 D．若 则 5．（2025九上·鄞州期中） 如图，，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025九上·奉化期中）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜-1时，y随着x的增大而减小.下列结论①a+b＞0；②若点A（-3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③a（m-1）+b=0；④若c≤-1，则b2-4ac≤4a.其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025九上·东阳期中）如图，二次函数y=ax2+2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4 8．（2025九上·红古期中）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC=（　　） A．125° B．130° C．135° D．145° 9．（2026·潮阳期中） 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， AB=6，点 D是 AB的中点，点 E是以点 B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接 AE，点F为 AE的中点，则 CF长度的最大值是（　　) A． B． C． D． 10．（2025九上·北辰期中）二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程的两根分别为和1； ⑤． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025九上·鄞州期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，若BC=1，则线段AB的长为　 　. 12．（2025九上·平武期中）已知点，点B在直线上运动，把点A绕点B逆时针旋转，点A的对应点为点C，我们发现点C随点B变化而变化．若点C在运动变化过程中始终在抛物线的上方，设点B的横坐标为m，则m的取值范围是　 　． 13．（2025九上·秀洲期中） 已知点 ，，都在二次函数 的图像上，则 ，， 的大小关系是　 　. 14．（2025九上·宁波期中）如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC=12，高AD=10.若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为　 　. 15．（2025九上·深圳期中）如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE=12米；然后沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得DE=3米，眼睛到地面的距离CD=1.6米（此时∠AEB=∠CED），那么凉亭AB的高为　 　米. 16．（2025九上·北辰期中）如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为　 　 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2024九上·沂水期中）解方程： （1）； （2）． 18．（2025九上·甘谷期中）已知关于的一元二次方程（）。 （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长。 19．（2025九上·兰州期中）如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 20．（2025九上·广东期中）某市近日宣布，从2024年10月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到此地旅游．某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元． （1）求每张门票的原定票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率． 21．（2025九上·英德期中）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AD=DE，AF⊥DE于F. （1）求证：AB=AF； （2）若AB=3，AD=5，求EF的长. 22．（2025九上·永康期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式． （2）若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 23．（2025九上·南山期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是______； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长． 学科网（北京）股份有限公司 北师大版2026—2027学年九年级上册期中模拟进阶提升卷 数 学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2025九上·游仙期中）把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】【解答】解：， 移项得：， 配方：方程两边同时加 ， ， 即， 与 比较，得，． 故答案为：D. 【分析】 根据配方法的一般步骤将一元二次方程转化为完全平方形式，对比系数得出和的值即可解答． 2．（2025九上·拱墅期中）如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F. 若DE=3，EF=6，AB=4，则AC的长为(　　) A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【解析】【解答】解：∵l1//l2//l3， ∴ 即 ∴AC=12. 故答案为：D. 【分析】先利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，然后把DE=3，EF=6，AB=4，代入计算即可得到AC的长. 3．（2025九上·游仙期中）某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故答案为：D. 【分析】根据题意，一月份工业产值达50亿元，设平均每月的增长率为，表示出二月份、三月份的产值后，由一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元列出关于x的一元二次方程即可. 4．（2025九上·温州期中） 已知点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)为抛物线. 上两点，且. 则下列说法正确的是(　　) A．若 则 B．若. 则 C．若 则 D．若 则 【答案】D 【解析】【解答】解：抛物线对称轴为直线， 当时，， 则当时，；当时，； 当时，， 则当时，；当时，； 故A、B选项都不正确； 若，则a与同号，由上可知， 故C不正确； 若，则a与异号，由上可知， 故D正确； 故答案为：D . 【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大． 5．（2025九上·鄞州期中） 如图，，则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵AD//EF//BC A.，故该选项正确，不符合题意； B.，故该选项不正确，符合题意； C.，故该选项正确，不符合题意； D.，故该选项正确，不符合题意； 故答案为：B. 【分析】根据平行线分线段成比例，找到对应边，即可求解. 6．（2025九上·奉化期中）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜-1时，y随着x的增大而减小.下列结论①a+b＞0；②若点A（-3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③a（m-1）+b=0；④若c≤-1，则b2-4ac≤4a.其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2 ， 当x＜-1时，y随着x的增大而减小 ， ∴ 抛物线开口向上，抛物线的对称轴为x=， ∴a＞0， ∴0＜＜， ∴a+b＞0，故①正确； ∵ 点A（-3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上 ，而点A到对称轴的距离比点B到对称点的距离要大， ∴ y1＞y2，故②错误； ∵ 抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0）， ∴a-b+c=0，am2+bm+c=0， ∴am2-a+bm+b=0，即a（m+1）（m-1）+b（m+1）=0， ∴a（m-1）+b=0，故③正确； ∵c≤-1， ∴≤-1， ∴b2-4ac≥4a，故④错误， 综上所述，①③正确，共2个， 故答案为：B. 【分析】根据当x＜-1时，y随着x的增大而减小，可得抛物线的开口向上，即a＞0，根据抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（-1，0）和（m，0），且1＜m＜2，可得抛物线的对称轴0＜＜，即可判断①，比较点A、点B到对称轴的距离，即可判断②，根据二次函数图象上点的坐标特征得到a-b+c=0，am2+bm+c=0，进而得出a（m-1）+b=0，即可判断③，根据 c≤-1， 可得≤-1，再利用不等式的性质进行变形即可判断④. 7．（2025九上·东阳期中）如图，二次函数y=ax2+2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意可得，二次函数的对称轴为x＝﹣， ∴x＝﹣＝﹣1， ∴图象的对称轴为x＝﹣1， ∴坐标原点的横坐标在对称轴的右侧， ∴坐标系的原点是Q4． 故选：D． 【分析】先求出二次函数的对称轴，在根据横坐标的值，判断原点的位置即可． 8．（2025九上·红古期中）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC=（　　） A．125° B．130° C．135° D．145° 【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形 是正方形，正方形的对角线平分内角， ∴，即 ； 又∵， ∴； 在 中，根据三角形内角和为 ， ∴， 故答案为：C 【分析】先利用正方形对角线平分内角的性质，得出 ，进而得到 与 的和；再根据已知条件 ，实现角的等量替换，求出 与 的和；最后利用三角形内角和为 ，计算出 的度数。 9．（2026·潮阳期中） 如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， AB=6，点 D是 AB的中点，点 E是以点 B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接 AE，点F为 AE的中点，则 CF长度的最大值是（　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接CD、DE、BE ∵在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点， ∴， ∴BE=BD=3 ∵点D，F分别是AB、AE的中点 ∴ ∵CF≤CD+DF ∴ 故CF最大值为 故答案为：C. 【分析】本题考查了三角形的相关知识点.解题关键是利用三角形不等式将动点距离转化为定点间距离：根据三角形三边关系得到CF＜CD+DF，当C、D、F三点共线时，取最大值，即CF≤CD+DF.利用直角三角形斜边中线的性质“ 直角三角形斜边中线等于斜边一半”求出CD；利用三角形中位线的性质“中位线平行于第三边且等于第三边的一半”求出DF，即可求解. 10．（2025九上·北辰期中）二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ①； ②； ③； ④关于的一元二次方程的两根分别为和1； ⑤． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， ∵ 点在图象上， ∴， ∴ 结论③正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴ 结论①正确； ∵， ∴，不满足， ∴ 结论②错误； ∵ 对称轴，且一根为， ∴ 另一根为， ∴ 方程的两根为和， ∴ 结论④正确； ∵ 函数在处取得最小值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 当时取等号， ∴不恒成立， ∴ 结论⑤错误． 综上，正确结论为①、③、④，一共3个． 故选：B． 【分析】本题以二次函数图象与性质为背景，考查二次函数图象与系数的关系、对称性及与一元二次方程的联系。根据开口方向、对称轴位置及与y轴交点判断系数的符号；利用对称性求另一交点，结合图象上点验证代数式；根据对称轴和开口方向分析函数值大小关系，逐项判断即可。 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2025九上·鄞州期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，若BC=1，则线段AB的长为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC， ∴ ∵BC=1， ∴ ∴ 故答案为：. 【分析】根据黄金分割的比例关系建立方程求解线段长度. 12．（2025九上·平武期中）已知点，点B在直线上运动，把点A绕点B逆时针旋转，点A的对应点为点C，我们发现点C随点B变化而变化．若点C在运动变化过程中始终在抛物线的上方，设点B的横坐标为m，则m的取值范围是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设直线y=2交y轴于点E，过点C作CF垂直于直线y=2于点F， 则△AEB≌△BFC(AAS)， 则点C(m-1，2-m)， 即点C在直线y=-x+1上运动，而点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方， 当2x2=-x+1时，即x=-1或时， 即 故答案为：. 【分析】证明△AEB≌△BFC(AAS)，则则点C(m-1，2-m)，即点C在直线y=-x+1上运动，而点C在运动变化过程中始终在抛物线y=2x2的上方，当2x2=-x+1时，即x=-1或时，，即可求解. 13．（2025九上·秀洲期中） 已知点 ，，都在二次函数 的图像上，则 ，， 的大小关系是　 　. 【答案】y2<y1<y3 【解析】【解答】解：当x=-1时，y1=a×(-1)2-2a×(-1)-1=3a-1； 当x=-0.5时，y2=a×(-0.5)2-2a×(-0.5)-1=1.25a-1； 当x=4时，y3=a×42-2a×4-1=8a-1. ∵a>0， ∴1.25a-1<3a-1<8a-1， ∴y2<y1<y3 故答案为：y2<y1<y3. 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论. 14．（2025九上·宁波期中）如图，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC=12，高AD=10.若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上，则正方体的棱长为　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：设正方形边长MN为a， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∵AD为 的高， ∴ 即正方体的棱长为 故答案为： . 【分析】设正方形边长MN为a，根据平行线的性质得到 ，根据相似三角形的性质可得结论. 15．（2025九上·深圳期中）如图，某数学兴趣小组在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE=12米；然后沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得DE=3米，眼睛到地面的距离CD=1.6米（此时∠AEB=∠CED），那么凉亭AB的高为　 　米. 【答案】6.4 【解析】【解答】解：∵（光的反射性质）， 且 ，，∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， 根据相似三角形对应边成比例，得 ， 代入米、米、米， 得 ， 解得 米。 故答案为：6.4 【分析】本题解题思路是利用“光的反射性质+相似三角形”求解。先由光的反射得到，再结合两个直角（和），判定与相似；然后根据相似三角形对应边成比例的性质，建立与已知线段（、、）的比例关系，代入数值计算即可得到的高度。 16．（2025九上·北辰期中）如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为　 　 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，设交于H，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】本题以正方形旋转为背景，考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质及含30°角的直角三角形的边角关系。通过连接公共部分的分割线，构造全等三角形，利用对应边相等和特殊角求解面积。 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2024九上·沂水期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解： ∴， 则， ∵， ∴， ∴ ​​​​​​​ （2）解： 则， ， 整理得，， ∴或， 解得 【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可求出答案. （2）根据因式分解法解方程即可求出答案. （1）解： ∴， 则， ∵， ∴， ∴ （2）则， ， 整理得，， ∴或， 解得 18．（2025九上·甘谷期中）已知关于的一元二次方程（）。 （1）求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长。 【答案】（1）证明： 即 ∴无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）解：当m=-2时，原方程为 即(2x-5)(x-1)=0， 解得： ∵该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，且 ∴等腰三角形的三边只能为1， ∴等腰三角形的周长为 【解析】【解答】(1)根据方程的系数，结合根的判别式 可得出 结合偶次方的非负性，可得出 进 而可证出：无论m为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； (2)将m=-2代入原方程，利用因式分解法解之可得出方程的两根，结合等腰三角形的性质及三角形三边关系，可得出三角形的三边为1，，再将其相加即可求出结论. 19．（2025九上·兰州期中）如图，已知． （1）求的长． （2）求证： 【答案】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， 解得：． ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． 【解析】【分析】(1)根据平行线分线段成比例得到.AD：AB=AE：AC，进而根据比例性质求解即可； (2)根据平行线分线段成比例定理得到AB：BD=AC：EC，AC：EC=AG：FG，进而可得结论. 20．（2025九上·广东期中）某市近日宣布，从2024年10月1日起，将推出一系列旅游优惠政策，以激励更多游客到此地旅游．某旅游景点为了响应政府号召，将对旅游团体购买门票实行优惠活动，决定在原定票价基础上每张降价40元，这样按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元． （1）求每张门票的原定票价； （2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续两次降价后降为97.2元，求平均每次降价的百分率． 【答案】（1）解：设每张门票的原定票价为x元，依题意得 解得x=120 经检验，x=120是所列方程的解. 所以，每张门票的原定票价为120元。 （2）解：设平均每次降价的百分率为y，依题意得 120(1-y)2=97.2 解得y1=0.1=10%，y2=1.9(不符合题意，舍去) 所以，平均每次降价的百分率为10%. 【解析】【分析】(1)设每张门票的原定票价为x元，则优惠后每张门票的票价为(x-40)元，利用数量=总价÷单价，结合“按原定票价需花费3600元购买的门票张数，现在只花费了2400元”，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出每张门票的原定票价； (2)设平均每次降价的百分率为y，利用经过两次降价后的票价=原定票价×(1-平均每次降价的百分率)2，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论. 21．（2025九上·英德期中）如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AD=DE，AF⊥DE于F. （1）求证：AB=AF； （2）若AB=3，AD=5，求EF的长. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，∠C=∠ADC=90°， ∴∠ADF+∠CDE=90°，∠CDE+∠CED=90°， ∴∠ADF=∠CED， ∵AF⊥DE于F， ∴∠AFD=90°， 在△ADF和△DEC中， ， ∴△ADF≌△DEC， ∴AF=DC， ∴AF=AB； （2）解： 由(1)可知.AF=AB=3，DE=AD=5， 由勾股定理可得： 【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可知AB=CD， AD=BC， ∠C=∠ADC=90°，根据同角的余角相等可证∠ADF=∠CED，利用AAS可证△ADF≌△DEC，根据全等三角形对应边相等，可证结论成立； (2)根据全等三角形对应边相等可得：AF=AB=3，DE=AD=5，利用勾股定理可以求出DF=4，根据线段的和差解答即可. 22．（2025九上·永康期中）已知二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式． （2）若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为，则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线∴图象经过，且开口向上， 当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 当时，最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去 综上所述，n的取值范围为． 【解析】【分析】 （1）运用待定系数法，即可求出二次函数的解析式； （2）先根据平移的性质得到平移后点B的坐标，再将该坐标代入二次函数解析式，即可完成求解； （3）分三种情况讨论：当、、时，分别建立对应方程求解即可. （1）解：设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：∵二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线 ∴图象经过，且开口向上， 当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 当时，最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去 综上所述，n的取值范围为． 23．（2025九上·南山期中）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是______； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿走到点P处，把长绳段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求的长． 【答案】（1），， （2）解：， 方程的两边平方，得， 即， ， 或， ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）解：因为四边形是矩形，所以， 设，则， 因为， ，， ∴， ∴， 两边平方，得， 整理，得， 两边平方并整理，得；即， 所以． 经检验，是方程的解． 答：AP的长为4m． 【解析】【解答】解：（1）， ， ， 所以或或， ，，； 故答案为：，，； 【分析】（1）第一步先对原方程进行因式分解，将其整理为的形式，再分别求解方程得到最终根； （2）对于含二次根式的方程，根据二次根式的非负性可得左边结果非负，因此可得且，再求解整式方程后验根得到原方程的解； （3）设，可以得到，然后利用勾股定理分别表示出线段和的长度，再结合题目给出的条件建立方程，最后求解方程即可得到AP的长度。 （1）解：， ， ， 所以或或， ，，； （2）解：， 方程的两边平方，得， 即， ， 或， ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）解：因为四边形是矩形， 所以， 设，则， 因为， ，， ∴， ∴， 两边平方，得， 整理，得， 两边平方并整理，得；即， 所以． 经检验，是方程的解． 答：AP的长为4m． $