精品解析：江西赣州市兴国县第五中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

兴国五中2026—2027学年第一学期九年级第一次综合练习 说明：考试范围:第25-26章 考试时间：120分钟，满分120分 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下面关于x的方程中一元二次方程是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】、中没有说明，原选项不符合题意； 、中等号左边是分式，原选项不符合题意； 、是一元二次方程，原选项符合题意； 、是一元一次方程，原选项不符合题意； 故选：． 2. 若方程化成一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵方程化成一般形式为， ∴一次项系数为． 3. 若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数的图象与x轴个数由判别式Δ决定．当时，图象与x轴有且仅有一个交点． 【详解】解：二次函数，其判别式为： ， 由题意，图象与x轴仅有一个交点，故，即： ， 解得： ， 因此，实数的值为4， 故选：A． 4. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设宽为x步，则长为步，根据题意列方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是关键． 5. 关于二次函数 下列说法正确的是（ ） A. 其图象的开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 其最小值为5 D. 其图象的对称轴为直线 【答案】B 【解析】 【分析】该二次函数为顶点式，可直接确定开口方向、对称轴、最值，进而判断各选项． 【详解】解：， ，图象开口向下，A错误． 对称轴为直线，D错误． 当时，有最大值5，C错误． 图象开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，B正确． 6. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案． 【详解】解：由的顶点坐标为 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax－a过一，二，四象限， 故C符合题意，D不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 已知点，在抛物线 上，则 ________．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点，在抛物线 上， ∴， ∵， ∴． 8. 若为方程的解，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：为方程的解， ，即， ． 9. 若函数是二次函数，则___________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得． 10. 抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后抛物线的解析式是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后抛物线的解析式是． 11. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的定义结合方程有2个实数根得到且，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个实数根， ∴ 二次项系数，即， 且判别式，解得； 综上：且； 故答案为：且 12. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为__________． 【答案】4或 【解析】 【分析】由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解答案． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 三、解答题（本题共5小题，每题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 14. 抛物线经过点． （1）求的值； （2）写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象上点的坐标特征，直接把（1，-1）代入可求出a=-1； （2）根据顶点式可直接写出顶点坐标与对称轴． 【小问1详解】 解：把（1，-1）代入得=-1， 解得； 【小问2详解】 ∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握顶点式是解题的关键． 15. 某种病毒传播速度非常快，若最初有一个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有144人被感染，设每轮传染中平均一个人传染了x人． （1）经过第一轮传染后，共有 人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） （2）在每轮传染中，平均每人传染了几个人？ 【答案】（1） （2）在每轮传染中，平均每人传染了11个人． 【解析】 【分析】（1）初始有1名感染者，每1人可以传染个人，第一轮新增感染人数为人，用原有感染人数加上新增感染人数，得到第一轮传染后的总感染人数． （2）用第一轮结束后的感染人数作为传染源，列出两轮传染后的总人数方程，解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到平均每人传染的人数． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，则经过第一轮传染后，共有人感染了病毒； 【小问2详解】 解：， ， ∴，， ， ． 答：在每轮传染中，平均每人传染了11个人． 16. 抛物线上有一点， x轴上两点． （1）请用无刻度的直尺在图①作出点； （2）如图②，翻折抛物线 得．请用无刻度直尺作正方形 且使E、F在上． 【答案】（1）解：如图：点D即为所求． （2）解：如图：作正方形即为所求． 【解析】 【分析】（1）如图：连接交y轴于G，连接并延长与抛物线的交点为，由点关于轴对称和抛物线关于轴对称可得关于轴对轴，利用轴对称的性质即可得到； （2）如图：连接交y轴于G，连接并延长与抛物线的交点即为点D，可得，连接并延长分别交抛物线于F、E，利用轴对称性质可得，，然后顺次连接即可得正方形 且使E、F在上． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 17. 阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．分类讨论：当时，去绝对值得到，再求解；当时，原方程化为，利用因式分解法求解． 【详解】解：当时，原方程化为，即， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，原方程化为， 解得：（不合题意，舍去），， ∴原方程的根是． 四、（本题共计3小题，每题8分，共计24分） 18. 已知二次函数 ． （1）填写表中空格处的数值． x …… -1 0 1 2 3 …… …… 2 …… （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图象． （3）根据表格和图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】（1）解：根据题意，填表如下： x …… 0 1 2 3 …… …… 2 3 2 …… （2）解：根据题意，画图象如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据解析式，结合给出的自变量，求对应的函数值，并填表即可； （2）根据列表，描点，连线的基本步骤，画出图象即可． （3）根据函数的增减性，解答即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：根据题意，得． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴ ， ， ， 无论为何值，方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列式计算，证明，即可证得方程总有两个实数根． （2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和、两根之积，再对已知等式变形，代入建立关于的方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，即， 解得． 20. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿线段向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接，设运动时间为，的面积为． （1）写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当为何值时，的面积取得最大值，最大值为多少? 【答案】（1）（）． （2）当时，的面积取得最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（1）用含的式子表示、，写出与的函数解析式及自变量取值范围； （2）把与的解析式化成顶点式，求面积的最大值． 【小问1详解】 解：点、都以的速度同时出发， ，， ． ， ． 点、到达终点分别需、，且一点到达终点时另一点也随之停止，又时点与点重合，不存在， 自变量的取值范围是． （）． 【小问2详解】 解：． ， 当时，取得最大值，且在的范围内， 当时，的面积取得最大值，最大值为． 五、（本题共计2小题，每题9分，共计18分） 21. 素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点为原点，以所在直线为轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． （1）求此抛物线的解析式． （2）受天气影响，水位上升米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】（1）； （2）此时该货船能安全过桥 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为再把，代入进行计算，即可作答； （2）依题意，得平移后抛物线的解析式为把代入进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由题可知，，，抛物线的顶点为点， 可设抛物线的解析式为将，代入得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：此时该货船能安全过桥；理由如下： 由题意得：水位上升0.5米， 相当于将抛物线向下平移0.5个单位长度， 平移后抛物线的解析式为， 把代入， ． ， 此时该货船能安全过桥． 22. 某水果店销售一种进口水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现希望每天获得最大利润，那么每千克应涨价多少元? 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价元 【解析】 【分析】（1）根据连续两次降价的售价等量关系列一元二次方程，结合实际意义求解； （2）根据“总利润=每千克利润×日销售量”列出二次函数关系式，结合自变量取值范围求最大值对应的涨价值． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为（）， 根据题意可得，， 则， 即， 可得或（不符合题意，舍去）， 故每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每千克涨价元，每天的总利润为元， 则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 则，， 解得， 每天的销售利润为，即， 配方得， ， 当时，取得最大值， 故每千克应涨价元． 六、（本题共计12分） 23. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上，也可能在线段的延长线上． （1）如图1，如果把墙全部利用上，则“日”字形的饲养场的面积是 ． （2）如图2，当点F在线段上时， ①设的长为x米，则 （用含x的代数式表示）米； ②若围成的饲养场的面积为132平方米，求饲养场的宽的长； （3）如图3，当点F在线段延长线上，所围成的饲养场的面积能否为156平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②11米 （3）解：不能达到，理由如下： 设的长为y米，则米， 依题意得：，整理得：， ∵， ∴该方程没有实数根，即当点F在线段延长线上时，所围成的饲养场的面积不能达到156平方米． 【解析】 【分析】（1）先列式求出的长，再利用矩形的面积公式求解即可； （2）①根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长；②先根据点F在线段上确定x的取值范围，再利用矩形的面积计算公式列出关于x的一元二次方程求解即可； （3）根据点F在线段的延长线上列出一元二次方程，再根据判别式求解即可． 【小问1详解】 解：如图1：，则“日”字形的饲养场的面积是． 【小问2详解】 解：①设的长为x米，则． ②∵点F在线段上， ∴，即，解得：． 由题意得：， 整理得∶，解得：（不合题意舍去）． 答：饲养场的宽的长为11米． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴国五中2026—2027学年第一学期九年级第一次综合练习 说明：考试范围:第25-26章 考试时间：120分钟，满分120分 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下面关于x的方程中一元二次方程是（     ） A. B. C. D. 2. 若方程化成一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数是（ ） A. 9 B. C. D. 3. 若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则实数c的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 4. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数 下列说法正确的是（ ） A. 其图象的开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 其最小值为5 D. 其图象的对称轴为直线 6. 函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 已知点，在抛物线 上，则 ________．（填“”或“”或“”） 8. 若为方程的解，则的值为_______． 9. 若函数是二次函数，则___________________． 10. 抛物线 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后抛物线的解析式是_______． 11. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 12. 已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为__________． 三、解答题（本题共5小题，每题6分，共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 抛物线经过点． （1）求的值； （2）写出该抛物线顶点坐标，对称轴． 15. 某种病毒传播速度非常快，若最初有一个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有144人被感染，设每轮传染中平均一个人传染了x人． （1）经过第一轮传染后，共有 人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） （2）在每轮传染中，平均每人传染了几个人？ 16. 抛物线上有一点， x轴上两点． （1）请用无刻度的直尺在图①作出点； （2）如图②，翻折抛物线 得．请用无刻度直尺作正方形 且使E、F在上． 17. 阅读下面的例题： 解方程 解： （1）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去） （2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 四、（本题共计3小题，每题8分，共计24分） 18. 已知二次函数 ． （1）填写表中空格处的数值． x …… -1 0 1 2 3 …… …… 2 …… （2）根据上表，在图中画出这个二次函数的图象． （3）根据表格和图象，当时，y的取值范围是 ． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根． （2）若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 20. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿线段向点C移动，动点Q从点C出发，沿线段向点B移动，若点P，Q均以的速度同时出发（当一点移动到终点时，另一点也随之停止），连接，设运动时间为，的面积为． （1）写出与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （2）当为何值时，的面积取得最大值，最大值为多少? 五、（本题共计2小题，每题9分，共计18分） 21. 素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点为原点，以所在直线为轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． （1）求此抛物线的解析式． （2）受天气影响，水位上升米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 22. 某水果店销售一种进口水果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下水果店决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现希望每天获得最大利润，那么每千克应涨价多少元? 六、（本题共计12分） 23. 某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上，也可能在线段的延长线上． （1）如图1，如果把墙全部利用上，则“日”字形的饲养场的面积是 ． （2）如图2，当点F在线段上时， ①设的长为x米，则 （用含x的代数式表示）米； ②若围成的饲养场的面积为132平方米，求饲养场的宽的长； （3）如图3，当点F在线段延长线上，所围成的饲养场的面积能否为156平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $