精品解析：江西省赣州市兴国县第五中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年九年级第三次数学综合练习 一、选择题（本题共6小题，每小题3分,共18分） 1. 下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解∶A．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（　　　） A. 不可能事件发生的概率为 B. 随机事件发生的概率为 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件是指在任何条件下都会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1以及概率的意义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不可能事件发生的概率为，原说法正确，符合题意； B、随机事件发生的概率在0到1之间，原说法错误，不符合题意； C、概率很小的事件可能发生，原说法错误，不符合题意； D、投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数不一定是次，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了必然事件、随机事件的概念，概率的意义．必然事件是指在一定条件下，肯定会发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，2） C. （2，3） D. （1，3） 【答案】D 【解析】 【分析】画出旋转后的图形即可求解． 【详解】解：如图，点A′的坐标为(1，3)． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便． 4. 如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查切线的性质、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质推导出，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，，，则下列结论错误的是（ ） A. 弦的长等于圆内接正六边形的边长 B. 弦的长等于圆内接正十二边形的边长 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的性质和圆的相关概念对四个选项逐一进行分析． 【详解】解：A．因为，， 所以， 所以为等边三角形，， 以为一边可构成正六边形，故结论正确，该选项不符合题意； B．因为， 根据垂径定理可知，； 再根据A中结论，弦的长等于圆内接正十二边形的边长，故结论正确，该选项不符合题意； C．根据垂径定理，，故结论正确，该选项不符合题意； D．根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半， ，故结论错误，该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用． 6. 老师给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 同学们讨论得出了下列结论， ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】先求解抛物线的对称轴方程及顶点坐标，结合在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，可判断①，②； 根据函数的对称性，先求解x=4时，y=0，结合函数图象可判断③；由①知，函数的对称轴为x=1，抛物线开口向上，可判断④；由抛物线的顶点坐标为（1，-9），结合函数图象可判断⑤． 【详解】解： 抛物线过点 抛物线的对称轴为： 抛物线的顶点坐标为： 则抛物线的开口向上， 故①符合题意；②不符合题意； 当x=-2时，y=0，根据函数的对称性，则x=4时，y=0， 故当-2＜x＜4时，y＜0，故③正确，符合题意； 由①知，函数的对称轴为x=1，抛物线开口向上， 故当x＞1时，y随x的增大而增大正确，故④符合题意； 抛物线的顶点坐标为（1，-9）， 故方程ax2+bx+c=m有两个不相等的实数根，则m＞-9，正确，故⑤符合题意； 综上：符合题意的有①③④⑤ 故选：C． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 二、填空题（每小题3分,共18分） 7. 点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键． 8. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 9. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据摸到红球的频率稳定于，可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球个数为，根据概率公式列出关于的方程，解之得出答案． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于 ∴可估计摸到红球的概率约为 设袋中红球个数为， 依据概率公式得： 解得 所以可估计袋中约有3个红球 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 10. 已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k的值可以是___．（写出满足条件的一个k的值即可） 【答案】2（答案不唯一，只要小于3即可） 【解析】 【分析】在本题中已知“反比例函数的图像在第一、三象限内”，从而得到3-k＞0，顺利求解k的值即可. 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象在第一、三象限内． ∴3﹣k＞0． 解得：k＜3． 故答案为：2（答案不唯一，只要小于3即可）． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的解题关键. 11. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，OB，证明△AOB是等边三角形，继而求得AB的长，然后利用弧长公式可以计算出的长度，再根据扇形围成圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可作答． 【详解】连接OA，OB， 则∠BAO=∠BAC==60°， 又∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OA=1， ∵∠BAC=120°， ∴的长为：， 设圆锥底面圆的半径为r 故答案为． 【点睛】本题主要考查了弧长公式以及扇形弧长与底面圆周长相等的知识点，借助等量关系即可算出底面圆的半径． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为______． 【答案】（7，4）或（6，5）或（1，4）． 【解析】 【分析】由勾股定理求出PA=PB==，由点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，得出PC=PA=PB=，即可得出点C的坐标． 【详解】∵点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）， ∴PA=PB==， ∵点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心， ∴PC=PA=PB==， 则点C的坐标为 （7，4）或（6，5）或（1，4）； 故答案为（7，4）或（6，5）或（1，4）． 三、解答题（本题共5小题,每题6分,共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）先求出，再根据求根公式代入计算即可． （2）提公因式，得出，则利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 则或， ∴． 14. 已知二次函数 （1）该二次函数图象的顶点坐标为______，与 x轴交点坐标为______，与 y轴交点坐标为______； （2）画出该二次函数的图象． 【答案】（1） ；   ； （2） 函数图象，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，熟悉函数和方程的关系是解题的关键． （1）先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴；再令求出y的值，令求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； （2）根据（1）中抛物线与y轴的交点及对称轴，由函数图象可得出结论． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为， 对称轴为：直线， 当时，， 解得：或， 它与x轴的交点坐标为和； 当时，， 它与y轴的交点坐标为； 【小问2详解】 略 15. 在中，以为直径作，请你根据下列条件仅用无刻度的直尺画出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，，与相交于点D； （2）如图2，点C在上，点D是的中点． 【答案】（1） 如图，连接，则平分， 即为所求； （2） 作射线交于点P，连接即可， AI 为的平分线． 【解析】 【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键． （1）如图，连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据等腰三角形三线合一，得，所以即为所求； （2）作射线交于点P，连接，利用垂径定理得到，即可得到，进而得到为的平分线． 【小问1详解】 解：如图，连接，则平分，理由如下： ∵ 是直径， ∴， 又， ∴是等腰三角形， ∴（三线合一）， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：作射线交于点P，连接即可，理由如下： ∵ 是直径， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线． 16. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． （1）小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ； （2）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种， 所以恰好选中甲和乙两名同学的概率． 17. 如图,二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A左侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． （1）点B的坐标是 ； （2）求二次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴交点，能根据点A坐标及抛物线的对称轴求出抛物线的函数解析式是解题的关键． （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据点A坐标和对称轴，可求出抛物线的函数解析式，进而可解决问题； （3）根据（2）得出C点坐标为，由，，得出，再结合以及面积公式列式计算，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵A点坐标为，对称轴为直线， ∴B点坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 将A点坐标代入函数解析式得， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴②． 由①②解得， ，． ∴抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：将代入函数解析式得，， ∴C点坐标为， ∵，， ∴， ∴． 四、（本题共计3小题,每题8分,共计24分） 18. 已知关于x的方程． （1）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （3）当时，若方程两实根是、，求的值； 【答案】（1）；； （2） 证明：， ， ， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）把代入求解即可；根据根与系数的关系求解即可； （2）先求得，再根据完全平方式的非负性证明即可； （3）当时得方程，根据根与系数的关系得到，，再将变形，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， 设方程的另一根为t， 则， ， 故方程的另一个根为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，方程为， ，， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C、D，且点，点D的纵坐标是． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时x的取值范围是 ； （3）若点E是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点E作轴，垂足为点F，连接，如果，求． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数解析式为； （2）或 （3）8 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，交点确定不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将点代入反比例函数，求出，得到反比例函数的解析式；把代入反比例函数的解析式，求出，得到点坐标，将、两点的坐标代入，利用待定系数法求得一次函数的解析式； （2）根据图象及交点即可得出结果； （3）设，求出，根据，得出，那么，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数图象过点，代入得： ， 反比例函数解析式为； 点的纵坐标是， ， 将、两点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即， 故答案为：或 【小问3详解】 解：一次函数图象与轴交于点，与轴交于点， ，，即，， 设， 在第四象限， ，， ， ， ， ， ， ， ∴． 20. 某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率 （2）经调查，该商品每降价1元，每月可多售出5件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】（1）每次降价百分率为；（2）当销售价为90元时，最大为4500元． 【解析】 【分析】（1）设该商品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解； （2）销售定价为每件元，每月利润为元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得：，， 不符合题意， ， 答：每次降价百分率为； （2）设销售定价为每件元，每月利润为元，则 ， ， 当元时，最大为4500元． 答：当销售价为90元时，最大为4500元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系并列出方程． 五、（本题共计2小题,每题9分,共计18分） 21. 如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）将沿边翻折后，点E恰好与点O重合，且弧的长度为，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）与相切； 证明：连接，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题考查圆与三角形的结合，利用等角对等边、角平分线、圆的切线、等边三角形的判定和性质、平行四边形以及菱形的判定和性质，并熟练掌握扇形面积公式． （1）连接，利用角平分线和半径之间关系推出，结合得，根据切线的判定推出即可； （2）连接，根据折叠的性质得出，再由等边三角形的判定得出为等边三角形，得出，结合弧长公式求解即可； （3）连接，，交于点M，由（2）得为等边三角形，利用半径相等得四边形是菱形，得出阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如图所示： ∵沿边翻折后，点E恰好与点O重合， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵弧的长度为， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，，交于点M， 由（2）得为等边三角形， ∴，， ∴， 又由（1）知，，即， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 22. 在中，． （1）特例证明：如图，点分别在线段上，，求证：； （2）探索发现：将图中的绕点逆时针旋转（）到图位置，（）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图，点在内部，当时，若，，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 成立，证明如下： 由旋转可知，， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（）根据等边对等角和平行的性质得，即得，即可求证； （）证明即可求证； （）把线段绕点逆时针旋转至，连接，由等腰直角三角形的性质得，再证明，得到，，，进而可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，把线段绕点逆时针旋转至，连接， 则，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 六、（本题共计12分） 23. 如图1，在矩形中，已知，点E是的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿向点D运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点D时，另一点也随之停止运动，连接，设动点P运动的时间为t秒，的面积为S，图2中的曲线是动点Q在线段上运动时S与t的函数图象． （1）填空： ①______； ②当时,______；当时,______（用含t的式子表示） ③当时,直接写出S与t的函数解析式为______． （2）经探究，发现当点Q在线段上运动时，S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． （3）在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，（），使得S的值相等． ①当时，求t的值； ②直接写出S的取值范围； ③当时，求S的值． 【答案】（1），， （2），; （3）①或4或6；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，从函数图象获取信息，矩形的性质以及求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）①由图2可得时，点在点处，从而可得，即可得解； ②由中点得，当时，点在上运动，由求解，当时，点P在上运动，由求解即可；③当时，利用三角形的面积公式即可得解： （2）直接由三角形的面积公式求解即可： （3）①将代入解析式中分别求解即可；②根据函数的性质回答即可；③对于，当时，,当时，，从而可得；由得，，从而根据时刻使得的值相等构造方程求解即可得，进而代入求解即可 【小问1详解】 解：①由图2可得时，点在点处， ， 故答案为：6， ②点是的中点， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，运动时间为t，， 当时，点在上运动，由，当时，点P在上运动，； 故答案为：，； ③当时，的高为8，， 故答案为：，自变量的取值范围为； 【小问2详解】 解：如图，当点在线段上运动时， ， 此时, ，自变量的取值范围为; 【小问3详解】 解：①当时，，当时，， 解得，； 当时，，当时，， 解得，； 当时，求t的值为或4或6； ②如图， 对于,当时， ， 当时，， ， ③, ， ， 解得：或(舍去)， 把，代入得： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级第三次数学综合练习 一、选择题（本题共6小题，每小题3分,共18分） 1. 下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　　） A. 不可能事件发生的概率为 B. 随机事件发生的概率为 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次 3. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，则点A′的坐标为（ ） A. （3，1） B. （3，2） C. （2，3） D. （1，3） 4. 如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则下列结论错误的是（ ） A. 弦的长等于圆内接正六边形的边长 B. 弦的长等于圆内接正十二边形的边长 C. D. 6. 老师给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 … y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 同学们讨论得出了下列结论， ①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分,共18分） 7. 点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____． 8. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 9. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球_____________个． 10. 已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k的值可以是___．（写出满足条件的一个k的值即可） 11. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为_________． 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为______． 三、解答题（本题共5小题,每题6分,共30分） 13. 解方程： （1）； （2）． 14. 已知二次函数 （1）该二次函数图象的顶点坐标为______，与 x轴交点坐标为______，与 y轴交点坐标为______； （2）画出该二次函数的图象． 15. 在中，以为直径作，请你根据下列条件仅用无刻度的直尺画出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，，与相交于点D； （2）如图2，点C在上，点D是的中点． 16. 我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． （1）小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ； （2）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 17. 如图,二次函数的图象与x轴交于点A，B（点B在点A左侧），A点坐标为，对称轴为直线，顶点为C，连接． （1）点B的坐标是 ； （2）求二次函数的解析式； （3）求的面积． 四、（本题共计3小题,每题8分,共计24分） 18. 已知关于x的方程． （1）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （3）当时，若方程两实根是、，求的值； 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象交于点C、D，且点，点D的纵坐标是． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时x的取值范围是 ； （3）若点E是反比例函数在第四象限内图象上的点，过点E作轴，垂足为点F，连接，如果，求． 20. 某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率 （2）经调查，该商品每降价1元，每月可多售出5件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 五、（本题共计2小题,每题9分,共计18分） 21. 如图，点O为斜边上的一点，以为半径的⊙O与交于点D，与交于点E，连接，且平分． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）将沿边翻折后，点E恰好与点O重合，且弧的长度为，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（结果保留）． 22. 在中，． （1）特例证明：如图，点分别在线段上，，求证：； （2）探索发现：将图中的绕点逆时针旋转（）到图位置，（）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展运用：如图，点在内部，当时，若，，，求的长度． 六、（本题共计12分） 23. 如图1，在矩形中，已知，点E是的中点．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿向点D运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点D时，另一点也随之停止运动，连接，设动点P运动的时间为t秒，的面积为S，图2中的曲线是动点Q在线段上运动时S与t的函数图象． （1）填空： ①______； ②当时,______；当时,______（用含t的式子表示） ③当时,直接写出S与t的函数解析式为______． （2）经探究，发现当点Q在线段上运动时，S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． （3）在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，（），使得S的值相等． ①当时，求t的值； ②直接写出S的取值范围； ③当时，求S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $