江西省九江市多校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

2025-2026学年度上学期第一次综合小练 九年级数学 （上册第一-二章） 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 12 4. 若二次三项式可以分解为，则方程的根为（ ） A. 或8 B. 或 C. 2或 D. 2或8 5. 我国北宋文人欧阳修的名言“立身以立学为先，立学以读书为本”道出了读书修身的重要意义．为了鼓励全民阅读，安徽某图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆3000人次，第三个月进馆4320人次，设进馆人次的月平均增长率为x，则下列选项中符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，连接是上一点，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 用配方法解方程，应在方程两边同时加上______． 8. 若正方形的周长为16，则其对角线长为______． 9. 已知方程的两个根是和，则_________． 10. 已知关于x的方程，若该方程的一个根小于，则k的取值范围是_________． 11. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点是边的中点，于点，若，则菱形的面积为___________． 12. 如图，在矩形中，，，E为边上的一点，且，沿过点E的直线折叠矩形，使点B的对应点落在矩形的边上（点B除外），则的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答下列问题： （1）解方程：． （2）如图，在Rt中，M是斜边的中点，以为边作正方形．若正方形的面积为4，求的长． 14. 2026年江西省城市足球超级联赛（简称“赣超”）的常规赛阶段，每两支球队之间都要进行1场比赛，共要比赛55场，求参加2026年“赣超”的球队数量． 15. 已知关于x的一元二次方程． （1）若2是该方程的一个根，求k的值． （2）若k是最小的正整数，a是该方程的一个根，求的值． 16. 如图，延长矩形的边至点E，使，连接，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作的中点F． （2）在图2中，以为对角线作一个菱形． 17. 如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接与相交于点．若，求的度数． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图1，这是一张2026年9月的月历表．在此月历表上可以用一个矩形框任意圈出4个数（如3，4，10，11）．如图2，已知圈出的4个数a，b，c，d中，最小的数． （1）c的值为_________．（用含x的代数式表示） （2）若圈出的4个数中，，求b的值． 19. 如图，在中，，过点作的平行线与的平分线交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）交于点，延长至点，使得，若，，求的长． 20. 某旅行社推出某周边游产品，已知该产品7月份的报名人数为400人，9月份的报名人数增长到576人，且从7月到9月的报名人数月增长率相同． （1）求7月到9月的报名人数的月增长率． （2）该产品的成本为每人300元，当收费标准为每人400元时，月报名人数为600人．若在此基础上，收费标准每提高1元，月报名人数将减少1人．为使月总利润达到100000元，且尽可能让游客得到实惠，该产品的实际收费标准应定为每人多少元？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本变式】 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段上（不与点A，B重合），过点P分别作和的垂线，垂足分别为C，D． 【问题解决】 （1）四边形的形状是______；连接，当时，的长为______． （2）当四边形的面积为时，求点P的坐标． 22. 问题背景： 我们知道，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法，我们还可以用换元法来解某些方程，如：解方程，可以将看作一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程无实数解．故原方程的解为，． 解决问题： （1）请用换元法解方程：． （2）已知实数x，y满足，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与探究 特例探究 如图，在正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，交直线于点． （1）如图1，若点在线段上，求证：． （2）如图2，若点在线段的延长线上，探究线段和之间的数量关系． 拓展应用 （3）如图3，是矩形的边上一动点，连接，在上方作，且，连接，，若，，当时，请直接写出的长． 2025-2026学年度上学期第一次综合小练 九年级数学 （上册第一-二章） 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 【7题答案】 【答案】16 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】2 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】120 【12题答案】 【答案】4或16或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 【13题答案】 【答案】（1）， （2）4 【14题答案】 【答案】参加2026年“赣超”的球队数量为11 【15题答案】 【答案】（1）6 （2）2 【16题答案】 【答案】（1）如图，点F即为所求： （2）如图，四边形即为所求： 【17题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 【18题答案】 【答案】（1） （2）9 【19题答案】 【答案】（1）证明：平分， ． ， ， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． （2） 【20题答案】 【答案】（1）7月到9月的报名人数的月增长率为 （2）该产品的实际收费标准应定为每人500元 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 【21题答案】 【答案】（1）矩形；． （2）点P的坐标为或 【22题答案】 【答案】（1）， （2）9 六、解答题（本大题共12分） 【23题答案】 【答案】（1）证明：过点作于，于． ∵四边形是正方形，是对角线， ∴平分，， ∴，且四边形是正方形，． 又∵， ∴， 因此， 即． 在和中： ∴， 因此； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $