天津市第五十七中学2026-2027学年高三上学期第一次月检测数学试卷

五十七中学2026～2027学年度第一学期第一次月检测 高三数学 （2026.10） 一、单选题（每题5分，共60分） 1．已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．设、、是三条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 6．下列结论中，错误的是（ ） A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B．若随机变量，，则 C．已知经验回归方程为，且，，则 D．根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 7．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A． B． C． D． 9．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．若函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，下列关于函数的说法中，不正确的是（ ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数的单调递增区间为， D．函数是奇函数 11．函数（，，）的部分图像如图所示，给下列说法： ①函数的最小正周期为； ②直线为函数的一条对称轴； ③点为函数的一个对称中心； ④函数的图像向右平移个单位后得到的图像． 其中不正确说法的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分） 13．若复数满足（其中是虚数单位），则的虚部为__________． 14．在的二项展开式中，的系数为__________（请用数字作答）． 15．函数的单调递增区间为__________． 16．若，且，则__________． 17．某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程．甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择，甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有__________种；若定义事件为甲和乙选择的课程不同，事件为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则__________． 18．已知正方形的边长为1，，若，其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为__________． 三、解答题 19．已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）求在上的最大值和最小值． 20．在中，角，，所对边分别为，，，已知，，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值． 21．在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 22．已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）设，（）是函数的两个极值点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $五十七中学2026~2027学年度第一学期第一次月检测参考答案 题号 2 6 P 9 10 答案 B B B C D D A C C C 题号 11 12 答案 A √ 8 45 13.2 14.-80 15.（o0,1) 16.6 17.3015 18.318 19.(1)π kπ- π (2) 12」(keZ) (3)最小值 5,最大值2 【详解】(1)依题意函数 f(x)=/3 1 cos2x+- inr(coix-in rcw) -sin 2x 2 oo2 cosi22sim 所以f()的最小正周期 = 2 2km-T≤2x+T≤2km+ (2)由(1)可 2 2,keZ, 得 x≤m+ 12 12,k∈Z, 所以了四的单调速增区间为众红 12」 keZ)」 (3)最小值V5,最大值2. r 20.(1)3 (2)4 75+√15 (3) 16 【详解】(a)解：csinC-bsin B=a(sinA-sinB) 由正弦定理将角化为边整理得： a2+b2-c2=ab cosC=a+b-2ab I 所以 2ab 2ab 2 又C∈(0，π) C-π 所以3 C-π (2)解：由(1)知， 3,又b=V3,c=6 由正弦定理得：sin B sinC 6 6 sin B sin 即 3 1 sin B= 解得： 4 (3)解：由题知，b=V3,c=6 即b<c B<C= 所以 3 所以B为锐角 1 sin B= 由（2)知， 4 ，115 osB=v1-sinB=\1-16=4 所以 1V1515 sin2B=2 sin Bcos B=2×× 所以 448 cos2B=1-2sinB=1-2x1-7 168 COS 2B-T -cos2Bcos+sin2Bsinx15 所以 6 6828216 cos 2B-π）=75+V15 6 16 21.(1)方法一：如图，过点E作EG/CC,交AD于点G,则有AG=3GD,GD=1, 连接CG,则C,C,E,G四点共面，平面CEF即平面CCEG GD CD 1 由CDBC2,∠GDC=∠DCB=90°，可得△GDC与△DCB相似， 所以∠GCD=∠DBC,则可得∠GCD+∠BDC=90°，所以CG⊥BD. 长方体ABCD-AB,CD中，CCL平面ABCD, 因为BDC平面ABCD,所以CC⊥BD 又CC∩CG=C,CC,CGc平面CEF,所以BD⊥平面CEF. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-2 则D(0,0,0),A(4,0,0）,B(4,2,0）,C(0,20).F(02,2).E10,3) 所以DB=(4,2,0),C正=(1，-2,3).CF=(0,0,2) 所以DB.CE=4-4+0=0,D8.CF=0+0+0=0. 所以DB⊥CE,DB⊥CF,即BD⊥CE,BD⊥CF, 又CE∩CF=C,CE,CFc平面CEF,所以BD⊥平面CEF. 5 (2)5 (3)2 【详解】(1)略 (2)方法一：过点E作EGCC,交AD于点G,则有AG=3GD,GD=1, 连接CG,则C,F,E,G四点共面，平面CEF即平面CFEG. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-2,则 D(0,0,0)A(4,0,0)F(0,2,2）E(1,0,3)G(1,0,0) EF=(-1,2,-),AE=(-3,03),所以AEEF=0, 所以AE⊥EF. r中P,传引-（台》 GP.EF=1+2- 5 2=0 2 2,所以GP⊥EF」 所以异面直线AE与GP所成的角等于平面AEF与平面CEF的夹角. 315 AE.GP cos(AE,GP)= 22 5 AE GP 3V2x305 又 2 15 所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为5. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-z, 则D(0,0,0),A(4,00),B(4,2,0).C(0,2,0.F(02,2).E10,3) 所以4E=（-3,0,3),AF=(-4,2,2). 设平面AEF的法向量为元=(x,八，2). i.AE=-3x+3z=0 则i:F=-4x+2y+2z=0,故可取i=(,1) 由(1)知平面CEF的一个法向量为DB=(4,2,0), cos(i,DB)= DB 4+215 DB v3×255 所以 V15 所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为5. 方法三：由题意可知：AE=3V2,EF=6,AF=2V6 则AE2+EF2=AF2,则AE⊥EF, 过点A作AMIIBD,设AM∩CD=M,AM∩CG=N,连接EN, 0 C E B D C B 由(1)可知：BD⊥平面CEF,则AM⊥平面CEF,可得AM⊥EF,AM⊥EN, 且AE∩AM=A,AE,AMC平面AEM,可得EF⊥平面AEM,则EN⊥EF, 可知平面AEF与平面CEF的夹角为∠AEN, 因为CM=2CD=4,AM=BD=2V5.cos∠CMN=cos∠CDB= 5 MN=CM cos∠CMW=4W5 Aw=65NE-350 则 5,可得 5 5, cos∠AEW=EV、VI5 15 AE5,所以平面AEF与平面CEF的夹角的余弦值为5： （3》方法：由F=(2-),正=(-30,3)，得4正EF=0 所以AE⊥EF B.EF=x32×6=35 所以△AEF的面积为2 由(2)知，平面AEF的一个法向量为元=(L1,1),AC=(4,2,0) AC-4+223 点C到平面AEF的距离为 3 P=×33x23 1 所以三棱锥C-AEF的体积”3 3 =2 所以三棱锥A-CEF的体积为2. AE·DB 1265 DB 2V5 J 方法二：点A到平面CEF的距离为 因为EG/CF,所以E,G到CF的距离相等， xCGxCF=,x、 5×V1+4×2=V5 所以△CEF的面积等于△GCF的面积，即 -x5x65-2 所以三棱锥A-CEF的体积为3 5 ZA A B 方法三：由题意可知：CG=V5,EG=3,CF=2,CG⊥CF, 则△CEF的面积 am2x5-=5 AN=6V5 由(2)可知点A到平面CEF的距离为 5, 1x65xN5=2 一X 所以三棱锥A-CEF的体积3 V=AN.SacE=3x 5 22.(1)4x-2y-3=0 (2)当a≥0时，f(田)的单调递增区间为(0，+0）， 无减区间： 0,-V-a 当Q<0时，f(x)的单调递增区间为 a (x)=f(x)-ax-Ix+4x2-ax 33 则86)=am-4=2s2-x+1 因为，名(0<<)是函数8()=f(x)ax的两个极值点， 即x,七(0<：<，)是方程ax2-ax+1=0的两不等正根， a2-4a>0 x+x32=1>0 1 x2=->0 所以 a ,得a>4, XL=t 令5,0<1<1，则+5=1在= a. 1 1(t+1) a= 得 所以 )s6s)-+号-a-（a5*号-a-h+G-)a =加学+-+a-)=n警-s) h分 2tt+1 n2esog小-nr号，hey-0y- 令h()=2血(+)-t-1,0<t<1, 所以h(0在(0,1)上单调递增， 所以h)<h(0)=2n2-2=2(血2-1)<0， )gtx)广日ha0. 所以 m86)g(s)小k号na 【详解】(1)当a=1时， 用)+则r0-2.0-号 所以切线方程 y=2(-1+2.m4x-2y-3=0, 2)f'()-=+ar-1+ar2 x, 当a≥0时，'(x)>0恒成立，f()在(0，+0)上单调递增，无减区间， 当a<0时，令(x)>0.得0x<-af(x)单 /0 。,()单调递减， 综合得：当口≥0时，（的单调递增区间为(0，+o）,无减区间； 当a<0时.的单速区务。 a (3)略