精品解析：天津市第二新华中学2026-2027学年高三年级上学期阶段性质量检测（一）数学试题

第二新华中学2026—2027学年度第一学期高三年级 数学学科阶段性质量检测（一） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知集合，，故. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】，化为，可得或，．即可判断出． 【详解】解：，化为， 或，． 当时，可得或． “”是“”充分不必要条件， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3. 已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，再根据指数函数、对数函数的性质计算可得； 【详解】解：因为，所以，，， 即，，， 所以 故选：D 5. 在中，设，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的减法结合已知等式计算求解. 【详解】在中，设，， 因为，，所以， 即得，即 则. 故选：B. 6. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的投影公式即可求解. 【详解】向量在向量方向上的投影向量. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 8. 已知函数，对于任意的，，，且函数在上单调递增，则的值为（ ） A. 3或9 B. 3 C. 9 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增得到的大致范围，再由，得到函数图象的对称性，最后利用正弦函数的图象与性质分情况求解的值并验证，即可得解. 【详解】设函数的最小正周期为T，因为函数在上单调递增， 所以，得，因此． 由知的图象关于直线对称， 由知的图象关于点对称． ①，得， 解得，故， 所以，因为的图象关于直线对称， 所以，则， 因为，所以，故， 当时，，满足在上单调递增； ②，解得， 解得，故， 所以，因为的图象关于直线对称， 所以，则， 因为，所以，故， 当时，，不满足在上单调递增，故． 故选：B. 9. 已知的内角，，所对的边分别为，，，对于下列判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，，，则符合条件的不存在 D. 若，则为等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据大边对大角，结合正弦定理判断A；利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理判断B；利用余弦定理求解三角形判断C；利用余弦定理化角为边，判断的形状，即可判断D. 【详解】由，得； 由正弦定理，得，所以A正确. 若，则由正弦定理得， 即，所以， 因为，所以为钝角，所以是钝角三角形，故B正确. 若，，， 则由余弦定理， 得， 所以. 因为， 所以方程无解，即符合条件的不存在，所以C正确. 若，则， 所以，即， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误. 二、填空题 10. 函数的单调递减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据定义域，可得x的范围，根据二次函数的性质，可得的单调区间，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，分析即可得答案. 【详解】令，由题意得，解得， 且为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为为单调递减函数，根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 11. 在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用平面向量平行的充要条件、同角三角函数的商数关系、诱导公式化简计算即可. 【详解】由题意可知，即， 所以 . 故答案为： 12. 已知正数、满足，则的最小值是______ 【答案】 【解析】 【分析】先对已知等式变形推导得，结合基本不等式求解目标式的最小值. 【详解】已知正数满足，对等式通分整理得： ，即， 移项得，两边同时加1可得. 由，且，可得，同理可得，故，. 将代入目标式，得： ， 则： ， 当且仅当，即，结合得，即， 此时，满足题设条件，等号成立. 故的最小值为. 13. 已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知，求出，，由，得，再由，得，即可求得的最大值. 【详解】由已知，，，， 则， 又， 所以， 因为，则， 又，所以， 解得， 所以的最大值为. 14. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 15. 对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】先确定函数​的定义域，注意为间断点；再求导，根据导数正负判断不同区间的单调性，得到极小值点和极小值，分析在、的取值范围，为后续判断做基础. 对于②，利用在的单调性，结合和的等量关系，比较与的大小. 对于③，将有3个零点转化为有个不同实根，结合的图像，根据的取值范围求解的范围. 对于④，先对二次方程因式分解，得到或，结合的图像，判断两个方程的实根个数之和为时的取值范围. 对于⑤，将不等式在时变形为，构造新函数，通过研究单调性判断不等式是否恒成立. 【详解】先确定函数​的定义域为，求导得， 令，解得. 对于①，当时，单调递减；当时，单调递减； 当时，，单调递增. 且包含和两个不连续的单调递减区间，表述错误，故①错误. 对于②，，因为在单调递增，且， 因此，即，故②正确. 对于③，有个不同的零点,等价于方程有个不同实根. 在处取得极小值，在上， 因此在上的取值范围为，在上的最小值为. 要使方程有个不同实根，需，解得.故③错误. 对于④，对因式分解得， 即或. 结合图像可知有个不同实根，要使原方程共有个不同的实数根， 需也有个不同实根，因此且. 故④正确. 对于⑤，当时，，不等式等价于. 令，求导得. 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 因此恒成立，在上单调递增， ，即恒成立.故⑤正确. 三、解答题 16. 在中，角的对边分别为．已知，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出，结合三角形内角的范围求出角； （2）由正弦定理结合已知条件求出，利用余弦定理求出； （3）利用已知条件求出，进而求出，利用二倍角公式求出，再利用三角形内角关系结合两角差的余弦公式求解． 【小问1详解】 已知， 由余弦定理得， 整理可得， ， 又， ． 【小问2详解】 由正弦定理得， ． 由（1）知， ． 【小问3详解】 由（2）知，则，解得， 由（2）知， 为锐角，故， ， ，，即， ． 17. 已知函数. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在的最值； （3）若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 【答案】（1），对称中心为（） （2）最大值为3，最小值为0 （3） 【解析】 【分析】（1）应用两角差余弦公式结合辅助角公式化简再应用对称中心计算求解； （2）应用正弦函数的值域计算求解； （3）先根据平移伸缩计算得出，再应用同角三角函数及两角和的正弦公式计算解题. 【小问1详解】 ， 令（），， 所以对称中心为（）； 【小问2详解】 ， 当，即时，函数单调递增， 当，即时，函数单调递减， ，，， 所以最大值为3，最小值为0； 【小问3详解】 ， ， 且， ，， ， ， . 18. 在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3）若，求的值. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算，利用基底表示，再利用数量积的运算律求出长. （2）利用数量积及模求出向量的夹角的余弦值. （3）利用数量积的运算律，结合已知建立等式即可. 【小问1详解】 在中，令，，则； ，，， 所以. 【小问2详解】 由，，得，， 因此， 又， ， . 【小问3详解】 ， ， 则， 即， ，化简得：， 所以. 19. 已知函数，（其中为自然对数的底数）． （1）若，求函数在区间上的最大值． （2）若，关于的方程有且仅有一个根，求实数的取值范围． （3）若对任意的，，不等式均成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可; (2)若,关于的方程有且仅有一个根,即有且只有一个根,令,进而研究函数的性质可得答案； (3)设,因为在单调递增,故原不等式等价于函数和均在上单调递增,再根据函数的单调性可得实数a的取值范围 【小问1详解】 解：当时, ，, 所以，当时，，时，， 所以，在上单调递减,上单调递增, 因为，当时,, 当时,, 所以，在区间上的最大值为． 【小问2详解】 解：当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 所以，有且仅有一个实根, 设, 则, 所以，当时，，当时，， 所以，在和上单调递减, 在上单调递增, 因为, 当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于， 所以，有且仅有一个实根, 则实数的取值范围是． 【小问3详解】 解：不妨设,则恒成立． 因此恒成立, 即恒成立, 且恒成立, 所以，函数和均在上单调递增, 设, 则在上上恒成立, 因此在上恒成立，因此, 因为在上单调递减, 所以，时,，即． 由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此, 设,则，解得 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，，即 综上，实数的取值范围是 【点睛】本题第三问解题的关键在于根据的单调性，将问题转化为函数和均在上单调递增,进而根据函数的单调区间求参数即可. 20. 已知函数，的导函数为，函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）求函数的单调递减区间； （3）若，对于给定实数，总存在4个不同实数，，，，使得关于的方程恰有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）当 时，函数 的递减区间是 ；当 时，函数 的递减区间是 ，； （3）. 【解析】 【分析】（1）先确定的函数表达式，确定切点坐标，再求出导函数并求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可； （2）先确定定义域，判断是偶函数，优先研究的情形，写出导数并对参数分类讨论导数符号；再借助偶函数的导数为奇函数这一性质，推导区间上导数符号与单调性即可； （3）先对原方程变形，把单独放到等号一侧，构造函数，将“存在使得原方程恰有3个实根”转化为水平线与相交的零点问题；研究分子，分析的单调性、最小值，根据最小值正负判断根的个数，进而确定极值点数量，再结合是奇函数、极值对称的特点，验证存在4个不同的条件，最终得到的取值范围即可. 【小问1详解】 ∵当 时，，则 ， ∴ ，又 ， ∴ 在 处的切线方程为 ， 即 . 【小问2详解】 依题意，，函数 的定义域为 ， ∴，函数 是偶函数， 当 时，，则 ， 当 时，，函数 在 上单调递增， 当 时，由 ，得 ；由 ，得 ， 则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴当 时，函数 的递减区间是 ， 当 时，函数 的递减区间是 ，. 【小问3详解】 当 时，， ∴， ， 令， 则，即 ， 令 ，则 ， 令 ，得 ， 当 时，， 当 时，， ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 ， ∵ ， ∴当 ，即 时，， 函数 在 上递增，在 上递增， 则 至多2个不同实数根，不符合题意； 当 ，即 时， 当 时，；当 时，， 则 有4个不同实根， 即当 时， 有2个不同实根， 令 ，则， 当 时，；当 时，， 函数 在 处取得极大值 ， 设 的4个实根为 ， 则 为极大值点， 为极小值点， 为极大值点， 为极小值点， ∵函数 为奇函数，∴极值关于原点对称， ∴，即 ， ∴， 则 ， 当 时， 有3个零点， ∴， 即实数 的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二新华中学2026—2027学年度第一学期高三年级 数学学科阶段性质量检测（一） 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，设，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 8. 已知函数，对于任意的，，，且函数在上单调递增，则的值为（ ） A. 3或9 B. 3 C. 9 D. 6 9. 已知的内角，，所对的边分别为，，，对于下列判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，，，则符合条件的不存在 D. 若，则为等腰三角形 二、填空题 10. 函数的单调递减区间为______． 11. 在平面直角坐标系中，已知向量，且，则的值为______. 12. 已知正数、满足，则的最小值是______ 13. 已知向量，，满足，，，，则的最大值为___________. 14. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 15. 对于函数，下列说法正确的序号是___________. ①在上单调递减，在上单调递增 ② ③设有3个不同的零点，则 ④若方程有四个不同的实数根，则 ⑤不等式在时恒成立 三、解答题 16. 在中，角的对边分别为．已知，． （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值． 17. 已知函数. （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在的最值； （3）若将函数的图象向右平移个单位长度后，横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象，当时，若，求的值. 18. 在中，，，，点，在边上且，． （1）若，用表示，并求线段的长； （2）若，，求的值． （3）若，求的值. 19. 已知函数，（其中为自然对数的底数）． （1）若，求函数在区间上的最大值． （2）若，关于的方程有且仅有一个根，求实数的取值范围． （3）若对任意的，，不等式均成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数，的导函数为，函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）求函数的单调递减区间； （3）若，对于给定实数，总存在4个不同实数，，，，使得关于的方程恰有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $