精品解析：上海市上海外国语大学附属外国语学校松江云间中学2026-2027学年高一上学期第一次学情调研数学试卷

2026学年第一学期第一次学情调研 高一数学 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷共4页，共21题. 2．本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分） 1. 已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】使用集合的包含关系的定义求解. 【详解】当时，，集合中的元素都是1，不符合题意； 当时，，集合，符合题意； 当时，，此时，不符合题意， 综上，. 2. 集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，所以集合， 又因为集合，，且， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 3. 已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，利用基本不等式求解范围得到最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 4. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、， 则，所以， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时，此时，符合题意， 所以当时，取的最小值16. 6. 已知，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 7. 已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【解析】 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 8. 对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得，不符合题意，舍去； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为：. 9. 已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理得到和，代入解出的值，根据判别式判断是否符合题意. 【详解】因为，是的两个实根，由韦达定理得， 所以，即，解得或， 判别式， 当时，，方程无实根，舍去， 当时，，有两个实根，符合条件， 故答案为：. 10. 关于实数的不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的取值，对的正负进行讨论即可求解． 【详解】由题意可得且且， 则，故只需， 当时，，故， 当时，，，故， 当时，，，故， 当时，，，故， 当时，，，故， 当时，，故， 当或3或6时，，故， 综上，原不等式的解集是． 11. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分二次项系数为和不为两种情况讨论，分别结合一次、二次不等式恒成立的条件求解，再取并集得到的取值范围. 【详解】当，即时，原不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意实数恒成立， 则，解得， 综上，实数的取值范围是. 12. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 【答案】3 【解析】 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”，则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故答案为：3 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】联立方程组，解得或， 则交点为，得到. 14. 设集合、是全集的两个子集，则是的（ ） A. 充分但非必要条件 B. 必要但非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用集合的包含关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 15. 已知，为实数，则“”是“成立”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】明确不等式有意义的等价条件，再结合绝对值三角不等式分别判断充分性和必要性即可 【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立. 验证充分性：若，此时； 根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有 ， 不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立. 综上，“”是“成立”的充要条件. 16. 设集合中元素均为正整数，且至少有两个元素，若满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则关于下面两个命题，说法正确的是（ ） 命题：若S有3个元素，则有4个元素． 命题：若有4个元素，则有7个元素． A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除假命题，然后证明命题的正确性即可. 【详解】若取，则，此时，包含5个元素，则命题是假命题； 若取，则，此时，包含7个元素，则命题可能是真命题； 下面来证明： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若，则，故存在，使得， 故，故，故， 此时即中有7个元素. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分.第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17. 已知，． （1）求、、． （2）设且，求集合. 【答案】（1），，． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交、并、补集的运算计算即可； （2）结合（1），根据题意计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，，； 【小问2详解】 因为，， 所以或. 18. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论求范围即可； （2）命题为真命题得到，然后分为真命题，为假命题和为假命题，为真命题两种情况讨论. 【小问1详解】 为真命题时， 当时，，成立； 当时，，解得. 所以时，为真命题， 所以若为假命题，实数的范围为或. 【小问2详解】 若命题为真命题，则，所以，解得， 设，， 当为真命题，为假命题时，的范围为； 当为假命题，为真命题时，的范围为， 综上可得或， 所以的范围为或. 19. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S取得最小值，为2000. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意， 得，所以，即，得， 所以， 所以，解得； 综上 【小问2详解】 由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，取得最小值，为2000. 20. 定义区间、、、的长度均为 ，其中 ． （1）不等式的解区间的长度是多少？ （2）如果数集，都是集合的子集，那么的长度的最小值和最大值分别是多少？（直接写出答案） （3）已知实数 ，求满足的x构成的区间的长度之和． 【答案】（1）4. （2）最小值为，最大值为. （3）2. 【解析】 【分析】（1）对不等式因式分解，求出解集后，即可求得答案； （2）根据子集的含义推出，，取，可得长度的最小值，取 ，可得长度的最大值； （3）原不等式等价于，设方程的两根为，结合求根公式可得该分式不等式的解，即可求得答案． 【小问1详解】 不等式可变为 ， 解得 ，即不等式的解集为 ， ∴该不等式的解区间的长度是﹒ 【小问2详解】 由题意知，， ， 解得，， 取，则，，得， ∴集合的长度取到最小值，最小值为； 取，则，，得 ， ∴集合的长度取到最大值，最大值为. 【小问3详解】 不等式 等价于， 设方程 的两根为 ，且， 则， ， ∴不等式 的解集为， ∴满足的x构成的区间长度为 ． 21. 设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． （1）若的“元和集”为，求：集合； （2）在（1）的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； （3）若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 【答案】（1）当时，，当时，； （2）； （3）或或. 【解析】 【分析】（1）分，，，，讨论，结合定义求的“元和集”由条件列方程求，由此可得结论； （2）由定义可得的“元差集”为，由条件求，再求的真子集个数，由定义可求的“元差集”，讨论结合条件列方程求，再求的真子集个数，相加可得结论； （3）由条件可证明，设，可推出的可能值，讨论结合定义求结论. 【小问1详解】 当时，集合含有个元素的子集为，与条件矛盾， 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为，由已知有， 当时，集合含有个元素的子集有， 不妨设，则， 故集合的“元和集”至少含个元素，与条件矛盾， 当时，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元和集”为， 不妨设，的“元和集”为， 则，，，， 相加可得，故， 所以，故， 当时，集合含有个元素的子集为， 集合的“元和集”为，该集合只有个元素，与条件矛盾， 综上， 当时，满足条件的不存在， 当时，， 当时，； 【小问2详解】 当时，，集合的含有个元素的子集有， 不妨设，则集合的“元差集”为， 由已知，，，故， 此时，其真子集有个， 当时，，集合含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 因为，， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 若， 则， 所以，故， 此时，其真子集有个， 所以所有满足条件的的真子集个数之和， 【小问3详解】 由已知，，都为自然数， 不妨设，则， 因为为元集，且元素之和为，又， 故， 设，则， 因为的“元和集”中最大元素不超过，故， 所以或或或， 当时，，，与条件矛盾， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 当时，，，， 此时的含有个元素的子集有， 所以集合的“元差集”为， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期第一次学情调研 高一数学 考试时长：120分钟 分值：150分 考生注意： 1．本试卷共4页，共21题. 2．本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用黑色水笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分） 1. 已知集合 ， ，若且中含有两个元素，则______. 2. 集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 3. 已知实数，则的最小值是__________. 4. 已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 6. 已知，，则的取值范围为___________. 7. 已知正实数，满足，则的最大值是__________． 8. 对于任意实数，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数的取值范围是_______． 9. 已知，若关于x的方程有两个实根，，且，则a的值为__________. 10. 关于实数的不等式的解集是__________． 11. 不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________． 12. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.每题有且只有一个正确答案，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 14. 设集合、是全集的两个子集，则是的（ ） A. 充分但非必要条件 B. 必要但非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 已知，为实数，则“”是“成立”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 16. 设集合中元素均为正整数，且至少有两个元素，若满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则关于下面两个命题，说法正确的是（ ） 命题：若S有3个元素，则有4个元素． 命题：若有4个元素，则有7个元素． A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题 C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分.第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17. 已知，． （1）求、、． （2）设且，求集合. 18. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 19. 如图，，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点，分别在，上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，且小路要完全位于一个以为顶点的，边长为的正方形内部（包括边界）．记的面积为． （1）设，试用表示，并写出的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 20. 定义区间、、、的长度均为 ，其中 ． （1）不等式的解区间的长度是多少？ （2）如果数集，都是集合的子集，那么的长度的最小值和最大值分别是多少？（直接写出答案） （3）已知实数 ，求满足的x构成的区间的长度之和． 21. 设集合，，，新定义：集合中所有含个元素的子集中个元素之和的不同值组成的集合为“元和集”，集合中所有含个元素的子集中最大元素减去剩余所有元素的和的不同值组成的集合为“元差集”，特别地，当时，认为“剩余所有元素的和”的值为． （1）若的“元和集”为，求：集合； （2）在（1）的条件下，若的“元差集”为，求：对应前提下所有满足条件的的真子集个数之和； （3）若集合，中的元素均为自然数，设，；若为元集且元素之和为且的“元和集”中最大元素不超过，求：所有满足条件的的“元差集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $