精品解析：上海市松江一中2024-2025学年高一上学期10月阶段测试1数学试卷

松江一中2024学年度第一学期阶段测试1试卷 高一数学 考生注意： 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）. 1. 设集合，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意结合元素与集合之间的关系可得，即可得结果. 【详解】因为集合，若， 则，解得. 故答案为：3. 2. 设全集，集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 故答案为： 3. 用反证法证明“若，则”时，应假设______． 【答案】 【解析】 【分析】反证法假设命题的结论不成立，即反面成立． 【详解】假设命题的结论不成立，即反面成立，所以应假设，填． 【点睛】反证法的步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）． 4. 已知，若，则的最小值是________， 【答案】2 【解析】 【分析】由重要不等式求出最小值. 【详解】，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 5. 已知方程的两个根为和，则______. 【答案】14 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得. 【详解】方程有实根，则， 所以. 故答案为：14 6. 命题“若，则”是_____命题．（填“真”，“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】解分式不等式可得，进而判断命题的真假性. 【详解】对于不等式，整理可得， 等价于，解得， 由可以推出，所以命题“若，则”是真命题. 故答案为：真. 7. 已知集合，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数、二次函数性质求集合，进而可求交集. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 可得集合，且集合， 所以. 故答案为：. 8. 若，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式. 【详解】因为， 所以, 所以由， 得, 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 9. 若关于的不等式的解集是，则的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知关于的方程的解集是，且，利用韦达定理可得，代入解不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 可知关于的方程的解集是，且， 可得，即， 则即为， 且，可得，解得或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 10. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式化简命题，分析可知是的真子集，结合包含关系运算求解. 【详解】对于不等式，等价于，解得， 对于不等式，可得，解得， 即命题，， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 对于集合，给出如下三个结论： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，，那么. 其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于①，由集合M中元素性质结合即可判断；对于②，先得为偶数且不能被4整除，接着假设得，再根据和同奇或同偶分类讨论是否符合即可得解；对于③，依据，得存在使得，再计算得解· 【详解】对于①：因为，所以，故，故①正确； 对于②：因为，所以为偶数，且不能被4整除， 若，则存在使得， 因为和同奇或同偶， 若和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，故②正确； 对于③：因为，， 所以存在使得， 所以， 因为所以，故③正确. 故答案为：①②③. 【点睛】思路点睛：对于，，探究，要抓住集合M中元素的性质得存在使得，接着计算，并继续根据集合M中元素的性质对计算结果进行变形处理，从而发现满足集合M中元素的性质，进而得. 12. 定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是_____． 【答案】1012 【解析】 【分析】由好集的定义得且，化简可解得或，由P是集合M的三元子集可排除，结合的元素特征可得，，，即可求得好集的个数. 【详解】由好集的定义得，消去可得， 整理可得，则或， 因为可得，则，， 可得，且. 又因为，则且，得， 故集合P为“好集”的个数为. 故答案为：1012 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 13. “”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要非充分 C. 既非充分又非必要 D. 充分非必要 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知“”与“”等价，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，等价于，即， 即“”与“”等价， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A. 14. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由，又，所以，所以D正确. 故选：D 15. 已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A. 12 B. 21 C. 102 D. 201 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合相等的条件，列出所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出的值后代入求值. 【详解】由得的取值情况如下： 当时，，或，，此时不满足条件； 当时，或此时不满足条件； 当时，此时不满足条件； 当时，此时满足条件； 综上得，代入. 【点睛】本题考查集合相等的定义，考查分类讨论思想，注意分类时做到不重不漏. 16. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】解：由题意， 当且仅当时，等号成立， ∴此三角形面积的最大值为． 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求集合，进而可求并集和交集； （2）分析可知，结合包含关系分析求解. 【小问1详解】 对于不等式，等价于，解得， 即集合； 且集合， 所以，. 【小问2详解】 若是的充分条件，则， 可知，且集合， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知集合． （1）若集合，且，求实数的值； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）0或或2 （2） 【解析】 【分析】（1）可得，根据包含关系分、和三种情况运算求解； （2）根据包含关系分、和三种情况运算求解，注意检验. 【小问1详解】 因为集合， 若，且集合，则有： 若，可得； 若，则，可得； 若，则，可得； 所以实数的值为0或或2. 【小问2详解】 因为，且集合，则有： 若，显然，则，可得； 若，则，可得， 此时，不合题意； 若，则，此时，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 19. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行. （1）求的值； （2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值． 【答案】值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为0元 【解析】 【分析】根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将时代入即可算出k的值； 算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式求最值即可． 【详解】由题意，设燃料费为， 当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元， 当时，，可得，解之得． 其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时150元． 航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元 因此，航行100海里的总费用为 ， 当且仅当时，即时， 航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元． 答：值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为元． 【点睛】本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题． 20. 已知关于x的不等式的解集为M． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求实数k的取值范围； （3）是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）直接求解不等式，即可得到结果. （2）讨论二次项系数及不为0时，求出原不等式的解集为时的取值范围． （3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可． 【小问1详解】 当时，不等式为，即，解得， 即x的取值范围为. 【小问2详解】 当时，解得，或， ①当时，不等式化为，时，解集为； ②当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立； ③当时，可得， 则k的取值范围为； 综上所述，实数k的取值范围为. 【小问3详解】 根据题意，得出解集，， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的值为5． 21. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 【答案】（1），集合A是的恰当子集； （2），或，. （3）10 【解析】 【分析】（1）由定义求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，则有，列方程求a，b的值并检验； （3）证明时，存在A是的恰当子集；当时，不存在A是的恰当子集， 【小问1详解】 若，有，由，则， 满足，集合A是的恰当子集； 【小问2详解】 是的恰当子集，则， ，由则或， 时，，此时，，满足题意； 时，，此时，，满足题意； ，或，. 【小问3详解】 若存在A是的恰当子集，并且， 当时，，有，满足， 所以是的恰当子集， 当时，若存在A是的恰当子集，并且，则需满足，由，则有且；由，则有或， 时，设，经检验没有这样的满足； 当时，设，经检验没有这样的满足；， 因此不存在A是的恰当子集，并且， 所以存在A是的恰当子集，并且，n的最大值为10. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江一中2024学年度第一学期阶段测试1试卷 高一数学 考生注意： 本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分）. 1. 设集合，若，则______． 2. 设全集，集合，则___________. 3. 用反证法证明“若，则”时，应假设______． 4. 已知，若，则的最小值是________， 5. 已知方程的两个根为和，则______. 6. 命题“若，则”是_____命题．（填“真”，“假”） 7. 已知集合，，则_____． 8. 若，则不等式的解集为________． 9. 若关于的不等式的解集是，则的解集是_____． 10. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____． 11. 对于集合，给出如下三个结论： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，，那么. 其中正确结论的序号是_________． 12. 定义：实数a，b，c，若满足，则称a，b，c是等差的，若满足，则称a，b，c是调和的．已知集合，集合是集合的三元子集，即，若集合中的元素a，b，c既是等差的，又是调和的，称集合为“好集”，则集合为“好集”的个数是_____． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应位置上，将代表答案的小方格涂黑． 13. “”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要非充分 C. 既非充分又非必要 D. 充分非必要 14. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知集合，且若下列三个关系：①②；③，有且只有一个正确，则 A. 12 B. 21 C. 102 D. 201 16. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 18. 已知集合． （1）若集合，且，求实数的值； （2）若集合，且，求实数的取值范围． 19. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行. （1）求的值； （2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值． 20. 已知关于x的不等式的解集为M． （1）若，求x的取值范围； （2）若，求实数k的取值范围； （3）是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有；对于任意负整数m，都有”，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由． 21. 已知，是的子集，定义集合，若，则称集合A是的恰当子集．用表示有限集合X的元素个数． （1）若，，求并判断集合A是否为的恰当子集； （2）已知是的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是的恰当子集，并且，求n的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $