2026-2027学年人教版九年级上册数学期中测试卷（考查范围：第25-28章）

学校＿＿＿＿＿＿＿　班级＿＿＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿＿＿　考号＿＿＿＿＿＿＿ 2026—2027 学年上学期期中测试卷（二） 人教版九年级上册数学（2026 秋版新教材） 考查范围：第二十五章至第二十八章　　时间：120 分钟　　满分：120 分 题序 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（　　） A. y＝－3/x　　　B. y＝3x²　　　　C. y＝x/3　　　　D. y＝3/(x－1) 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） 3. 关于 x 的一元二次方程 x²－2x＋m＝0 没有实数根，则 m 的取值范围是（　　） A. m＞1　　　　　B. m＜1　　　　　 C. m≥1　　　　　D. m≤1 4. 抛物线 y＝2x²－8x＋5 的顶点坐标是（　　） A. (2，－3)　　　B. (－2，－3)　　 C. (2，3)　　　　D. (4，5) 5. 如图，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △A′B′C，若 ∠BCB′＝52°，则 ∠ACA′ 的度数为（　　） A. 38°　　　　　B. 52°　　　　　 C. 64°　　　　　D. 76° 6. 已知点 A(－2，y₁)、B(－1，y₂) 在反比例函数 y＝－6/x 的图象上，则 y₁ 与 y₂ 的大小关系是（　　） A. y₁＜y₂　　　　B. y₁＞y₂　　　　C. y₁＝y₂　　　　D. 无法确定 7. 抛物线 y＝x²＋bx＋c 的图象上有两点 (1，3)、(3，3)，则该抛物线的对称轴是直线（　　） A. x＝1　　　　　B. x＝2　　　　　 C. x＝3　　　　　D. x＝4 8. 某校图书馆开展阅读活动以来，进馆阅读人数逐月增加，第一个月进馆 200 人，第三个月进馆 288 人。设进馆人数的月平均增长率为 x，则可列方程为（　　） A. 200(1＋x)²＝288　　B. 200(1＋2x)＝288　　C. 200(1＋x²)＝288　　D. 200×2x＝288 9. 如图，二次函数 y＝ax²＋bx＋c 的图象开口向上，对称轴为直线 x＝－1，与 x 轴的一个交点为 (1，0)。下列结论错误的是（　　） A. b＞0　　　　　B. c＜0　　　　　 C. 方程 ax²＋bx＋c＝0 的两根为 x₁＝1，x₂＝－3　　D. 当 x＞－1 时，y 随 x 的增大而减小 10. 如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，点 E 在边 BC 上，BE＝1，将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △ADF（点 B 的对应点为点 D），连接 EF，则 EF 的长为（　　） A. √17　　　　　B. √34　　　　　 C. 5　　　　　　 D. 4√2 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11. 若关于 x 的一元二次方程 (k－2)x²＋3x＋1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 12. 已知点 A(1，y₁)、B(2，y₂) 在抛物线 y＝－x²＋4x＋1 上，则 y₁＿＿＿y₂（填"＞""＜"或"＝"）。 13. 反比例函数 y＝(2m－1)/x 的图象在第二、四象限，则 m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 14. 设 x₁、x₂ 是一元二次方程 2x²－5x＋1＝0 的两个实数根，则 x₁＋x₂－x₁x₂ 的值为＿＿＿＿。 15. 将 △ABC 绕原点 O 旋转 180° 后与 △DEF 重合，若点 A 的坐标为 (－3，2)，则它的对应点 D 的坐标为＿＿＿＿＿＿。 16. 抛物线 y＝2(x－1)²－3 与 y 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿。 17. 在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O(0，0)、A(4，0)、C(0，3)，反比例函数 y＝k/x（x＞0）的图象经过边 BC 的中点 D，则 k＝＿＿＿＿。 18. 某种商品原价为每件 100 元，经过两次连续降价后售价为每件 81 元。若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 8 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程。（7 分） (1) 3x(x－2)＝2(x－2)； (2) x²－4x＋1＝0（用配方法）。 20. 已知关于 x 的一元二次方程 x²－2x＋k＝0。（7 分） (1) 若该方程有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围； (2) 当 k＝－3 时，求该方程的根。 21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(－3，4)、B(－4，1)、C(－1，2)。（8 分） (1) 将 △ABC 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到 △A₁B₁C₁，画出 △A₁B₁C₁，并写出 A₁、B₁、C₁ 的坐标； (2) 将 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°，得到 △A₂B₂C₂，画出 △A₂B₂C₂，并写出 A₂ 的坐标。 22. 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与反比例函数 y＝m/x 的图象交于 A(－2，3)、B(3，n) 两点。（8 分） (1) 求反比例函数和一次函数的表达式； (2) 求 △AOB 的面积； (3) 根据图象，直接写出不等式 kx＋b＞m/x 的解集。 23. 某农场要开辟一个矩形菜园，一边靠墙（墙足够长），另三边用总长 40 m 的篱笆围成。设垂直于墙的一边长为 x m，菜园面积为 S m²。（8 分） (1) 求 S 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2) 当 x 为何值时，菜园面积最大？最大面积是多少？ (3) 若要求菜园面积不小于 192 m²，求 x 的取值范围。 24. 如图，抛物线 y＝x²＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－2，0)、B(4，0) 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D。（8 分） (1) 求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； (2) 求 △ABC 的面积； (3) 在抛物线上是否存在点 P（不与点 C 重合），使得 △ABP 与 △ABC 的面积相等？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 25. 【探究】如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，将 △ABD 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △ACE，连接 DE。（10 分） (1) 求证：△ADE 是等腰直角三角形； (2) 若 BD＝3，CD＝4，求 DE 的长； (3) 若 BD＝m，CD＝n，直接写出 AD、m、n 之间的数量关系。 26. 如图，抛物线 y＝－x²＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－2，0)、B(1，0) 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D。（10 分） (1) 求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； (2) 连接 AC、BC，求 △ABC 的面积； (3) 点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使得 △ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 参考答案与详解 一、选择题 1．【答案】A　【详解】A. y＝－3/x 符合 y＝k/x（k≠0）的形式，是反比例函数；B. y＝3x² 是二次函数；C. y＝x/3 是正比例函数；D. y＝3/(x－1) 分母是 x－1 而不是 x。故选 A。 2．【答案】C　【详解】等边三角形只是轴对称图形；平行四边形只是中心对称图形；矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；正五边形只是轴对称图形。故选 C。 3．【答案】A　【详解】没有实数根，则 Δ＝(－2)²－4m＜0，即 4－4m＜0，解得 m＞1。故选 A。 4．【答案】A　【详解】x＝－(－8)/(2×2)＝2，y＝2×4－16＋5＝－3，顶点为 (2，－3)。故选 A。 5．【答案】B　【详解】对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故 ∠ACA′＝∠BCB′＝52°。故选 B。 6．【答案】A　【详解】y₁＝－6/(－2)＝3，y₂＝－6/(－1)＝6，所以 y₁＜y₂。（也可由 k＝－6＜0，在每一支上 y 随 x 增大而增大，且 －2＜－1，得 y₁＜y₂。）故选 A。 7．【答案】B　【详解】(1，3) 与 (3，3) 纵坐标相等，它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为 x＝(1＋3)/2＝2。故选 B。 8．【答案】A　【详解】第一个月 200 人，月平均增长率为 x，则第二个月 200(1＋x) 人，第三个月 200(1＋x)² 人，故 200(1＋x)²＝288。故选 A。 9．【答案】D　【详解】对称轴 x＝－b/(2a)＝－1，且 a＞0，则 b＝2a＞0，A 正确；抛物线与 x 轴交于 (1，0)，由对称性另一交点为 (－3，0)，故 y＝a(x－1)(x＋3)，令 x＝0 得 c＝－3a＜0，B、C 正确；开口向上，x＞－1 时 y 随 x 增大而 增大，D 错误。故选 D。 10．【答案】B　【详解】由旋转得 AE＝AF，∠EAF＝90°，所以 △AEF 是等腰直角三角形，EF＝√2·AE。AE＝√(AB²＋BE²)＝√(16＋1)＝√17，所以 EF＝√2×√17＝√34。故选 B。 二、填空题 11．【答案】k≤17/4　【详解】当 k＝2 时，方程为 3x＋1＝0，有实数根；当 k≠2 时，Δ＝9－4(k－2)＝17－4k≥0，得 k≤17/4 且 k≠2。综上 k≤17/4。 12．【答案】＜　【详解】对称轴 x＝2，开口向下，点 A(1，y₁) 离对称轴较远、点 B(2，y₂) 在顶点处取得最大值，所以 y₁＜y₂。 13．【答案】m＜1/2　【详解】图象在第二、四象限，则 2m－1＜0，解得 m＜1/2。 14．【答案】2　【详解】x₁＋x₂＝5/2，x₁x₂＝1/2，所以 x₁＋x₂－x₁x₂＝5/2－1/2＝2。 15．【答案】(3，－2)　【详解】绕原点旋转 180° 即关于原点成中心对称，(x，y)→(－x，－y)，故 D(3，－2)。 16．【答案】(0，－1)　【详解】令 x＝0，y＝2×(0－1)²－3＝2－3＝－1。 17．【答案】6　【详解】BC 的中点 D 的横坐标为 4/2＝2、纵坐标为 3，即 D(2，3)，k＝2×3＝6。 18．【答案】10%　【详解】设每次降价的百分率为 x，则 100(1－x)²＝81，(1－x)²＝0.81，1－x＝0.9（负值舍去），x＝0.1＝10%。 三、解答题 19．【答案】(1) x₁＝2，x₂＝2/3；(2) x＝2±√3　【详解】(1) 移项得 3x(x－2)－2(x－2)＝0，即 (x－2)(3x－2)＝0，所以 x₁＝2，x₂＝2/3。(2) 移项得 x²－4x＝－1，配方得 x²－4x＋4＝3，即 (x－2)²＝3，所以 x＝2±√3。 20．【答案】(1) k＜1；(2) x₁＝3，x₂＝－1　【详解】(1) 有两个不相等的实数根，则 Δ＝4－4k＞0，解得 k＜1。(2) 当 k＝－3 时，方程为 x²－2x－3＝0，因式分解得 (x－3)(x＋1)＝0，所以 x₁＝3，x₂＝－1。 21．【答案】(1) A₁(2，1)、B₁(1，－2)、C₁(4，－1)；(2) A₂(4，3)　【详解】(1) 横坐标加 5、纵坐标减 3，得 A₁(2，1)、B₁(1，－2)、C₁(4，－1)，顺次连接即得 △A₁B₁C₁。(2) 绕原点顺时针旋转 90°：(x，y)→(y，－x)，故 A(－3，4) 的对应点 A₂(4，3)。 22．【答案】(1) y＝－6/x，y＝－x＋1；(2) 5/2；(3) x＜－2 或 0＜x＜3　【详解】(1) 把 A(－2，3) 代入 y＝m/x 得 m＝－6；把 B(3，n) 代入得 n＝－2。将 A(－2，3)、B(3，－2) 代入 y＝kx＋b，解得 k＝－1，b＝1，所以 y＝－6/x 与 y＝－x＋1。(2) 直线与 y 轴交于 E(0，1)，S△AOB＝S△AOE＋S△BOE＝(1/2)×1×2＋(1/2)×1×3＝5/2。(3) 双曲线在直线上方的部分：x＜－2 时及 0＜x＜3 时成立，故 x＜－2 或 0＜x＜3。 23．【答案】(1) S＝－2x²＋40x（7.5≤x＜20）；(2) x＝10 时最大 200 m²；(3) 8≤x≤12　【详解】(1) 平行于墙的一边长为 (40－2x) m，S＝x(40－2x)＝－2x²＋40x；由 40－2x＞0 得 x＜20，由 40－2x≤25 得 x≥7.5，故 7.5≤x＜20。(2) S＝－2(x－10)²＋200，对称轴 x＝10 在取值范围内，故 x＝10 时 S 最大为 200 m²。(3) －2x²＋40x≥192，即 x²－20x＋96≤0，(x－8)(x－12)≤0，得 8≤x≤12，结合取值范围得 8≤x≤12。 24．【答案】(1) y＝x²－2x－8，D(1，－9)；(2) 24；(3) (2，－8)、(1＋√17，8)、(1－√17，8)　【详解】(1) 将 A(－2，0)、B(4，0) 代入得 4－2b＋c＝0 且 16＋4b＋c＝0，解得 b＝－2，c＝－8，所以 y＝x²－2x－8；x＝1，y＝－9，D(1，－9)。(2) AB＝6，点 C(0，－8) 到 x 轴距离为 8，S△ABC＝(1/2)×6×8＝24。(3) 设 P(t，t²－2t－8)，S△ABP＝(1/2)×6×|t²－2t－8|＝24，得 |t²－2t－8|＝8。当 t²－2t－8＝－8 时，t＝0（即点 C，舍去）或 t＝2，得 P(2，－8)；当 t²－2t－8＝8 时，t²－2t－16＝0，t＝1±√17，得 P(1＋√17，8) 或 P(1－√17，8)。 25．【答案】(1) 见详解；(2) 5；(3) 2AD²＝m²＋n²　【详解】(1) 由旋转得 AD＝AE，∠DAE＝90°，所以 △ADE 是等腰直角三角形。(2) 由旋转得 △ABD≌△ACE，则 CE＝BD＝3，∠ACE＝∠B＝45°。又 ∠ACB＝45°，所以 ∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°。在 Rt△DCE 中，DE＝√(CD²＋CE²)＝√(16＋9)＝5。(3) 由 (2) 知 ∠DCE＝90° 恒成立，DE²＝CD²＋CE²＝n²＋m²；又 △ADE 是等腰直角三角形，DE＝√2·AD，所以 2AD²＝DE²，即 2AD²＝m²＋n²。 26．【答案】(1) y＝－x²－x＋2，D(－1/2，9/4)；(2) 3；(3) P(－1/2，－3/2) 或 P(－1/2，5/2)　【详解】(1) 将 A(－2，0)、B(1，0) 代入得 －4－2b＋c＝0 且 －1＋b＋c＝0，解得 b＝－1，c＝2，所以 y＝－x²－x＋2；x＝－1/2，y＝9/4，D(－1/2，9/4)。(2) AB＝3，点 C(0，2) 到 x 轴距离为 2，S△ABC＝(1/2)×3×2＝3。(3) A(－2，0)、C(0，2)，直线 AC 的斜率为 1。① 若直角顶点为 A，则 AP⊥AC，AP 的斜率为 －1，直线 AP：y＝－(x＋2)；当 x＝－1/2 时 y＝－3/2，得 P₁(－1/2，－3/2)。② 若直角顶点为 C，则 CP⊥AC，CP 的斜率为 －1，直线 CP：y＝－x＋2；当 x＝－1/2 时 y＝5/2，得 P₂(－1/2，5/2)。两点均在抛物线对称轴 x＝－1/2 上，符合题意。 学科网（北京）股份有限公司 $