第38讲 平面向量与复数背景下的新定义问题（3题型）讲义-2027届高三数学一轮复习

第38讲 平面向量与复数背景下的新定义问题 目录 Part 1 考点突破 【方法1：平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基】 【方法2：复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与】 Part2 题型探究 【题型一：向量新定义之新概念】 【题型二：向量新定义之新运算】 【题型三：复数新定义】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【方法1：平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基】 1、平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基础知识，又融入新颖定义和复杂信息的数学问题。这类问题要求考生不仅掌握平面向量的基本概念和运算规则，还需要具备良好的分析能力和逻辑推理能力。平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的运算规则或概念。解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确其涉及的向量运算和性质。接着，将新定义应用到具体的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论。这类问题往往信息量大，背景新颖，需要考生耐心分析，细致推理。同时，注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题中的应用，以及如何利用这些特征简化解题过程。最终，通过综合应用平面向量的基础知识和新定义，解决这类复杂而有趣的数学问题。 【方法2：复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与】 2、复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与新颖概念的数学问题。这类问题要求考生不仅熟悉复数的代数表示、模、辐角等基本概念，还需具备灵活运用复数运算规则的能力。解题时，首先要深入理解新定义的本质，明确其涉及的复数运算和性质。接着，将新定义与具体的题目情境相结合，通过复数的加、减、乘、除等运算，推导出所需的结论。这类问题往往考察考生的逻辑推理能力和创新能力，需要考生在新颖的复数运算或概念中找到解题的突破口。最终，通过综合运用复数的基础知识和新定义，解决这类富有挑战性的数学问题。 Part 2 题型探究 【题型一：向量新定义之新概念】 【例1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，再根据向量的线性运算求解即可. 【详解】根据题意，作图如下， 所以，则， 所以， 则. 故选：D. 【变式1】（24-25高一下·河南开封·期末）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，再结合两向量的夹角公式求解． 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， 则． 故选：B. 【题型二：向量新定义之新运算】 【例2】对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，知， 因为，所以 ，， 因为 ，所以，因此， 因为是整数，所以 ，故，， 而 ，即 ，即，所以， 因为 ，，所以，即， 故的取值范围为． 【变式2】已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】设，， 由，得，所以，即， 所以， 设，则，即， 所以根据辅助角公式，，所以，即的最大值为. 【题型三：复数新定义】 【例3】（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论. 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 【变式3】欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（    ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【详解】 ， 因此结果为，选A 典例2．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，若复数满足，则的虚部为__________. 【答案】/ 【分析】详解】根据欧拉公式， 令，得到， 代入，得到， 所以 则的虚部为. 【变式4】欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 【答案】AD 【分析】对于A,B,只需按照欧拉公式赋值代入，计算即可判断；对于C，需要求出的表达式，利用三角函数的值域即得；对于D，需要建立复数与对应向量的一一对应关系，利用向量坐标的夹角公式推出面积的表达式，即可得到. 【详解】对于A，显然为纯虚数，故A正确； 对于B，，其共轭复数为，故B错误； 对于C，因， 故， 因，则，故的最大值为，故C错误； 对于D，由，则有，由，则有， 于是，,则，设, 则，故， 则△面积为， 因，,故△面积的最大值为,故D正确. 故选：AD. Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，，，，则 ． 【答案】 【分析】由得，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果. 【详解】由,可知， ,则 故答案为：． 3．如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用将用表示，由共线定理推论即可求得. 【详解】因为所以 由, 因三点共线，由共线定理推论可得，解得 故选：A. 4．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可. 【详解】由题意可知，，所以， 又，即. 因为三点共线，所以，解得. 故选：D. 5．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 6．已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 7．当时，复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先化简复数，再根据参数范围分别判断实部和虚部范围进而判断点的象限即可. 【详解】因为,且, 所以, 则复数在复平面上对应的点位于第一象限. 故选：A. 8．复数，则的虚部为 ． 【答案】/-2.2 【分析】由复数的除法化简，再由复数虚部的定义得解. 【详解】复数，则，此复数的虚部为. 故答案为： 【提升通关练】 9．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】利用向量的平行四边形法则可知点在的中线上，且，从而可得，根据即可求解. 【详解】    因为， 所以，即， 取中点为点， 则，即， 所以在中线上，且 过，分别作边上的高，垂足为， 则， 所以，， 所以， 所以， 故选：C. 10．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】设为的中点，连接，则由题意可得为的中点，从而可求得结果. 【详解】设为的中点，连接，则 ， 因为，所以， 所以为的中点， 所以， 所以, 故答案为： 11．若，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求得值，根据投影向量的定义公式计算即得. 【详解】由可得，，解得，则， 在方向上的投影向量为. 故选：D. 12．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 13．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 14．已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可 【详解】 由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等， 得,即 故选: 15．已知复数，的模长为1，且，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，分别计算，，，，由可得，即可求得，，即可求解. 【详解】设，， 则，， 所以， ， 因为，，所以，， 因为，所以，所以， 即，所以， 所以，， 所以. 故选：. 16．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 【详解】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 【培优通关练】 17．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解. 【详解】因为，且 ，则， 所以， 所以当反向时，取最大值为4. 18．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 19．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 20．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 【答案】 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 21．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】分析可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界），注意到三点共线，结合数量积的几何意义分析求解. 【详解】由题意可知：在复平面内对应的点为， 因为，， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界）， 因为，即，可知三点共线， 且， 设在方向上的投影向量为，则， 可得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 22．设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】设， 由，得，所以， 由，解得， 则， 所以当时，. 故选：A. 23．（湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试题）设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．是个纯虚数 D．复数z对应的点位于复平面的第一象限 【答案】ACD 【详解】因为，所以，. 选项A，，正确. 选项B，虚部为，错误. 选项C，，属于纯虚数，正确. 选项D，对应点为，属于第一象限，正确. 24．已知，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则至少有1个为0 D．若是两个虚数，，，则为共轭复数 【答案】BCD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据除法运算结合共轭复数概念分析判断；对于C：根据复数乘法结合复数相等分析判断；对于D：根据复数的四则运算结合复数的相关概念分析判断. 【详解】设， 对于选项A：例如，则， 显然，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可得； 又因为， 可得， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 可得，解得或， 即或，所以至少有1个为0，故C正确； 对于选项D：若是两个虚数，则， 因为，则，即， 又因为， 则，即，可得， 所以，即为共轭复数，故D正确； 故选：BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第38讲 平面向量与复数背景下的新定义问题 目录 Part 1 考点突破 【方法1：平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基】 【方法2：复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与】 Part2 题型探究 【题型一：向量新定义之新概念】 【题型二：向量新定义之新运算】 【题型三：复数新定义】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【方法1：平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基】 1、平面向量背景下的新定义问题是一类既涉及平面向量基础知识，又融入新颖定义和复杂信息的数学问题。这类问题要求考生不仅掌握平面向量的基本概念和运算规则，还需要具备良好的分析能力和逻辑推理能力。平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的运算规则或概念。解题时，首先要准确理解新定义的本质，明确其涉及的向量运算和性质。接着，将新定义应用到具体的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论。这类问题往往信息量大，背景新颖，需要考生耐心分析，细致推理。同时，注意平面向量的模、夹角等几何特征在新定义问题中的应用，以及如何利用这些特征简化解题过程。最终，通过综合应用平面向量的基础知识和新定义，解决这类复杂而有趣的数学问题。 【方法2：复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与】 2、复数背景下的新定义问题是一类融合了复数基础理论与新颖概念的数学问题。这类问题要求考生不仅熟悉复数的代数表示、模、辐角等基本概念，还需具备灵活运用复数运算规则的能力。解题时，首先要深入理解新定义的本质，明确其涉及的复数运算和性质。接着，将新定义与具体的题目情境相结合，通过复数的加、减、乘、除等运算，推导出所需的结论。这类问题往往考察考生的逻辑推理能力和创新能力，需要考生在新颖的复数运算或概念中找到解题的突破口。最终，通过综合运用复数的基础知识和新定义，解决这类富有挑战性的数学问题。 Part 2 题型探究 【题型一：向量新定义之新概念】 【例1】（25-26高一下·陕西咸阳·期中）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．设点O，G，H分别为三角形ABC的外心，重心，垂心，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·河南开封·期末）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【题型二：向量新定义之新运算】 【例2】对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【题型三：复数新定义】 【例3】（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【变式3】欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（    ） A． B． C．2 D．-2 【变式4】欧拉公式（其中i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．为纯虚数 B．的共轭复数为 C．的最大值为 D．若，在复平面内分别对应点，，则△面积的最大值为 Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，，，，则 ． 3．如图，在中，若为上一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 6．已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 7．当时，复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．复数，则的虚部为 ． 【提升通关练】 9．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D．2 10．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ． 11．若，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 14．已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 15．已知复数，的模长为1，且，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 16．已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【培优通关练】 17．（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 20．（2025·上海·高考真题）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值__________． 21．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ． 22．设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（湖北省云学联盟2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试题）设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．的虚部为 C．是个纯虚数 D．复数z对应的点位于复平面的第一象限 24．已知，下列命题正确的是（    ） A． B． C．若，则至少有1个为0 D．若是两个虚数，，，则为共轭复数 学科网（北京）股份有限公司 $