第37讲 复数（3考点+8题型）讲义-2027届高三数学一轮复习

第37讲 复数 目录 Part 1 考点突破 【考点1：复数运算】 【考点2：复数的几何意义】 【考点3：复数的三角形式】 Part2 题型探究 【题型一：复数的概念与虚部、实部】 【题型二：复数的四则运算】 【题型三：复数的几何意义（复平面内的点与位置）】 【题型四：共轭复数】 【题型五：复数的模】 【题型六：复数的综合运算与化简求值】 【题型七：复数中的范围与最值】 【题型八：实系数方程的复数根】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：复数运算】 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 四则运算是地基：除法先写共轭分母实数化；运算中 i²=-1 逢平方即换，别急着展开。 【例1】已知复数，，，下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【考点2：复数的几何意义】 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 复数与点、向量一一对应：实部定横、虚部定纵，模就是点到原点的距离，数形结合看位置。 【例2】在复平面内,复数对应的点的坐标为 A． B． C． D． 【考点3：复数的三角形式】 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． A． B． C．2 D．3 【例3】（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． Part 2 题型探究 【题型一：复数的概念与虚部、实部】 【例1】复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1】复数的虚部是________. 【变式2】已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【题型二：复数的四则运算】 【例2】已知复数，，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．为纯虚数 【变式3】已知复数，，为虚数单位，则（    ） A．当时，为纯虚数 B． C．的最大值为 D．若复数满足，则一定为实数 【变式4】已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 【题型三：复数的几何意义（复平面内的点与位置）】 【例3】若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知复数在复平面内对应的点为，（ 为虚数单位），则（ ） A．4 B．2 C．8 D． 【变式6】已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（    ） A． B．若，则，中至少有个是 C．满足的点形成的图形的面积为 D．若，则的最小值为 【题型四：共轭复数】 【例4】已知 与 互为”共轭复数”，其中 为虚数单位，则 的值为 ______. 【变式7】已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【变式8】复数满足（为虚数单位），则的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 【题型五：复数的模】 【例5】已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为________． 【变式9】已知复数z满足z＋＝0，则|z|＝________. 【变式10】已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，那么|z|＝________. 【题型六：复数的综合运算与化简求值】 【例6】已知复数（，），满足，（为正整数），其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则__________． 【变式11】设复数，，其中． (1)若，且为纯虚数，求的值； (2)若， ，且的实部与虚部相等，求的值． 【变式12】在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【题型七：复数中的范围与最值】 【例7】已知复数z满足，且，则的最小值是______． 【变式13】已知复数满足，则的最大值为 ． 【变式14】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【题型八：实系数方程的复数根】 【例8】已知是方程在复数范围内的根，则 ． 【变式15】若虚数i是方程的一个根，则 . 【变式16】已知关于x的一元二次方程有两根，； (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的值； Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．已知复数，则复数的虚部是（　　） A． B． C． D． 2．已知复数满足,则的虚部是（ ） A．-1 B． C．1 D． 3．复数（为虚数单位）是方程的根，则（ ） A． B．13 C． D．5 4．已知，其中为虚数单位，则（ ） A．0 B．1 C．-1 D．2 5．虚数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．在复平面内，复数对应的向量为，其中是原点，则下列说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第一象限 C．当时，复数为纯虚数 D．向量对应的复数为 7．已知复数满足，则（    ） A．的虚部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点在第四象限 8．已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【提升通关练】 9．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B．的虚部为8 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 11．已知复数，则下列选项正确的是（    ）． A．若z为纯虚数﹐则或 B．若z在复平面内对应的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若，则 12．已知复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 13．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．若，则的最大值为 D．若是关于的方程的一个根，则 14．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数=( ) A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 15．已知复数满足，则( ) A． B． C． D． 16．设为虚数单位，已知复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【培优通关练】 17．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 18．已知复数是方程的解， (1)求； (2)若，且（，为虚数单位），求． 19．关于的方程 在复数范围内的根是，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 20．已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围． 21．对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 22．（新角度）一个九宫格如图所示，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线三个格内的复数和都相等，则表示的复数是_________. 3 23．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 24．设且，满足，则的取值范围为________________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第37讲 复数 目录 Part 1 考点突破 【考点1：复数运算】 【考点2：复数的几何意义】 【考点3：复数的三角形式】 Part2 题型探究 【题型一：复数的概念与虚部、实部】 【题型二：复数的四则运算】 【题型三：复数的几何意义（复平面内的点与位置）】 【题型四：共轭复数】 【题型五：复数的模】 【题型六：复数的综合运算与化简求值】 【题型七：复数中的范围与最值】 【题型八：实系数方程的复数根】 Part3 分层通关 Part 1 考点突破 【考点1：复数运算】 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 四则运算是地基：除法先写共轭分母实数化；运算中 i²=-1 逢平方即换，别急着展开。 【例1】已知复数，，，下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】详解】选项A，，则，但得不到， 例如，满足，但，故A错误； 选项B，令，满足条件，但，且均不为，故B错误； 选项C，下面先证明命题“若，则，或”成立. 证明：设，， 若，则有， 故有，即，两式相乘可得，， 则有，或，或， ①当时，，即； ②当，且时，则， 又因为不同时为，所以，即； ③当，且时，则，同理可得，故； 综上所述，命题“若，则，或”成立. 下面我们应用刚证明的结论推证选项C， ，， ，或，即或，故C正确； 选项D，令， 则， 但，不为，故D错误. 【考点2：复数的几何意义】 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 复数与点、向量一一对应：实部定横、虚部定纵，模就是点到原点的距离，数形结合看位置。 【例2】在复平面内,复数对应的点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 对应的点的坐标为： 本题正确选项： 【考点3：复数的三角形式】 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】， 因为为纯虚数，所以，所以，， 所以. 故选：A. 【例3】（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. Part 2 题型探究 【题型一：复数的概念与虚部、实部】 【例1】复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数除法运算法则求出复数z即可得复数z的虚部. 【详解】由题， 故复数z的虚部为. 故选：B. 【变式1】复数的虚部是________. 【答案】 【解析】复数； 所以复数的虚部是。 【变式2】已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【答案】D 【解析】由题知为纯虚数,实部为.故 .故本题选. 【题型二：复数的四则运算】 【例2】已知复数，，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．为纯虚数 【答案】ABC 【分析】根据复数除法运算可得，即可判断A，根据复数的减法运算以及几何意义可判断B，根据模长公式可判断C，根据乘法运算，结合纯虚数定义可判断D. 【详解】,故A正确， ，对应的点为，故B正确， ，故，C正确， ，不为纯虚数，故D错误， 故选：ABC 【变式3】已知复数，，为虚数单位，则（    ） A．当时，为纯虚数 B． C．的最大值为 D．若复数满足，则一定为实数 【答案】BCD 【分析】详解】当时，，此时不是纯虚数，选项错误； ，选项正确； ， ， 当时， 的最大值为，选项正确； ，， 则， 由，得，设，， 则， 当时，，因为，，所以，此时是实数， 当时，，，此时是实数， 选项正确. 【变式4】已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．复数在复平面内对应的点位于第二象限 B．若复数，则 C．复数的共轭复数 D．若，则的最小值为 【答案】BC 【分析】详解】对于A：复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A错误； 对于B：由，故，故B正确； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：因表示对应的点在以为圆心、半径为2的圆上， 而表示圆上动点到定点的距离，因圆心到定点的距离为3， 故的最小值为，故D错误.    【题型三：复数的几何意义（复平面内的点与位置）】 【例3】若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以，解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得，所以. 【变式5】已知复数在复平面内对应的点为，（ 为虚数单位），则（ ） A．4 B．2 C．8 D． 【答案】D 【解析】由题，故故选：D 【变式6】已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（    ） A． B．若，则，中至少有个是 C．满足的点形成的图形的面积为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】设复数，对于A，分别计算即可；对于B，根据可得即可判断；对于C，由可得即可判断；对于D，由得，并计算即可计算最小值. 【详解】设复数， 对于A，，则 ， 所以， 而，故A正确； 对于B，若， 则，即，则或， 则或，则，中至少有个是，故B正确； 对于C，， 所以，所以点形成的图形面积为，故C错误； 对于D，因为，所以， 且， 所以 ，且 所以， 所以最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【题型四：共轭复数】 【例4】已知 与 互为”共轭复数”，其中 为虚数单位，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】详解】因为 与 互为共轭复数，其中 ， 为虚数单位， 则 故得 . 【变式7】已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 【变式8】复数满足（为虚数单位），则的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 本题正确选项： 【题型五：复数的模】 【例5】已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为________． 【答案】　2 【解析】　设z＝a＋bi，a，b∈R，则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i， 则解得或即|z|＝＝＝2. 【变式9】已知复数z满足z＋＝0，则|z|＝________. 【答案】　 【解析】　由复数z满足z＋＝0，则z2＝－3，所以z＝±i，所以|z|＝. 【变式10】已知i为虚数单位，若复数z满足＝1＋i，那么|z|＝________. 【答案】　 【解析】　∵＝1＋i，z＋i＝(1＋i)，iz＝(2＋i)i，∴z＝2＋i，∴|z|＝＝. 【题型六：复数的综合运算与化简求值】 【例6】已知复数（，），满足，（为正整数），其中i为虚数单位，表示的共轭复数，则__________． 【答案】 【详解】由得， 所以，，由知，， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以； 数列为摆动数列，所以， 故. 【变式11】设复数，，其中． (1)若，且为纯虚数，求的值； (2)若， ，且的实部与虚部相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得为纯虚数， 因为， 所以， 故 （2）由题意：， 由已知，得， 显然，得． 【变式12】在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可； （2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】（1）设， 由，得， 即，整理得， 因为，即， 所以，解得， 所以； （2）由（1）结合， 可得，所以， 所以. 【题型七：复数中的范围与最值】 【例7】已知复数z满足，且，则的最小值是______． 【答案】 【详解】设，则其共轭复数，展开等式可得：左边，右边，两式相等则虚部相等，即，整理得，即或. 又因为，结合复数的几何意义可知，在复平面内对应的点的轨迹为：轴上的线段和轴上的线段. 因为，故的几何意义是点到定点的距离. ①当点在轴上时，，点到的距离为，当时取得最小值； ②当点在轴上时，，点到的距离为，当时取得最小值. 因为，故的最小值为. 【变式13】已知复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】设出的代数形式，利用复数相等求出，再借助复数的几何意义求解即得. 【详解】设复数，由，得， 整理得，于是，即，， 由，得复平面内表示复数的对应点在以表示复数的对应点为圆心，1为半径的圆上， 表示这个圆上的点到表示复数的对应点的距离， 距离的最大值是. 故答案为： 【变式14】（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________. 【答案】3 【分析】根据复数的几何意义分析求解即可. 【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆， 因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1， 则的最小值为， 而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为， 则的最小值为， 又因为的最小值与的最小值相同， 所以，，解得. 故答案为：3. 【题型八：实系数方程的复数根】 【例8】已知是方程在复数范围内的根，则 ． 【答案】 【分析】求出复数根，后求模即可. 【详解】方程解得，得. 故答案为：. 【变式15】若虚数i是方程的一个根，则 . 【答案】1 【分析】把i代入方程，化简方程，利用相等复数的概念得到p、q的值，即可求解. 【详解】因为i是方程的一个根， 所以，即， 得，解得， 所以. 故答案为：1 【变式16】已知关于x的一元二次方程有两根，； (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的值； 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意得， 且， 由得二次方程两根互为共轭复数， 若，方程有两个不相等的实根，此时，不满足题意， 若，方程有两个相等的实根，此时，显然满足， 若，方程有一对共轭虚根，满足， 因此， 解得或. （2）若，即，此时方程有两个实根， 因为，所以两实根同号， 又因为当时，，所以两实根均为正数， 所以，解得，符合， 若，即或，此时方程有一对共轭虚根，即， 根据复数的性质，共轭复数的长相等，即， 则，解得， 代入韦达定理得， ，，故舍去， 符合题意， 综上，的值为或. Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．已知复数，则复数的虚部是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 的虚部为：本题正确选项： 2．已知复数满足,则的虚部是（ ） A．-1 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】由得，所以，所以其虚部为1，故选C. 3．复数（为虚数单位）是方程的根，则（ ） A． B．13 C． D．5 【答案】B 【解析】∵是方程z2﹣6z+b＝0（b∈R）的根， 由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，为方程另一根， 则b＝（3+2i）（3﹣2i）＝13．故选：B． 4．已知，其中为虚数单位，则（ ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B 【解析】依题意有，故. 5．虚数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数相等可得①，②，即可将选项中的值代入验证.或者利用因式分解求解。 【详解】解法一：设复数, 则，化简得， 故，即①，② 此时，对于选项中的值，代入： 若，则，符合要求， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 若，由②得，但不符合①，故舍去， 综上可得 故选：A 解法二：由可得， 故，故或， 由于为虚数，故， 故虚部为1， 故选：A 6．在复平面内，复数对应的向量为，其中是原点，则下列说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．复数对应的点在第一象限 C．当时，复数为纯虚数 D．向量对应的复数为 【答案】BC 【分析】选项A，利用复数的定义可知选项A错误；利用复数的几何意义，即可判断出选项B和D的正误；选项C，利用复数的运算，即可判断出选项C的正误. 【详解】对于选项A，因为，所以复数的虚部为，故选项A错误， 对于选项B，因为，所以，故复数对应的点为，在第一象限，所以选项B正确， 对于选项C，因为，又，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为，所以， 得到向量对应的复数为，所以选项D错误， 故选：BC. 7．已知复数满足，则（    ） A．的虚部为 B． C．为纯虚数 D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AD 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由复数，可得， 对于A中，由的虚部为，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得不是纯虚数，所以C错误； 对于D中，由在复平面内对应的点为位于第四象限，所以D正确. 故选：AD. 8．已知复数（i为虚数单位），则 （      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【分析】详解】， 选项A：共轭复数要求实部不变，虚部变号，因此的共轭复数为，A错误； 选项B：的虚部为，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 【提升通关练】 9．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求． 【详解】，， ，， ， 的共轭复数的虚部为， 故选：． 10．若，则（    ） A． B．的虚部为8 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BC 【分析】根据化简复数得，即可由模长公式求解A，根据复数的乘方可得，根据虚部的概念即可求解B，根据复数的除法运算即可求解C，根据复数对应的点为即可求解D. 【详解】，故，A错误. ，B正确. ，C正确. 在复平面内对应的点位于第四象限，D错误. 故选：BC 11．已知复数，则下列选项正确的是（    ）． A．若z为纯虚数﹐则或 B．若z在复平面内对应的点位于第二象限，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据纯虚数特征求参判断A选项；根据复数的象限判断实部虚部范围解不等式判断B选项，应用模长公式计算判断C选项，应用共轭复数判断D选项. 【详解】若z为纯虚数，则，所以，故A不正确； 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，所以，故B正确； 若，则，所以，故C不正确； 若，则，所以，故D正确． 故选：BD. 12．已知复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举反例排除AD，设，根据复数的运算性质和求模长的公式判断BC，从而得解. 【详解】A选项，令，则，但不满足，A错误； B选项，设，则， ，B正确； 选项，设，则，则，C正确； 选项，令，则，但不满足D错误. 故选：BC. 13．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则复平面内对应的点位于第二象限 C．若，则的最大值为 D．若是关于的方程的一个根，则 【答案】BCD 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，，则复平面内对应的点位于第二象限，B正确； 对于C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，C正确； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D正确． 故选：BCD 14．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z的共轭复数=( ) A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 【答案】B 【解析】由，可得， 所以的共轭复数；故答案选B 15．已知复数满足，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，故选C. 16．设为虚数单位，已知复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】详解】由题意得：，所以，解得，所以，故A错误，所以， 所以，故B正确， 由，故C错误， 由，所以，故D正确. 【培优通关练】 17．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．当时，则 D．当时，则 【答案】AD 【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项. 【详解】设在复平面内的对应点分别为， 由得，所以在直线上. 由得，所以在圆上. 如图所示： 对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故B错误； 对于CD：因为是方程在复数范围内的两根， 所以. 若，即或，此时， 由得或， ∴当或时，； 当时，，故C错误； 若，即，此时，为一对共轭虚根， ，故D正确. 故选：AD. 18．已知复数是方程的解， (1)求； (2)若，且（，为虚数单位），求． 【答案】(1)(2) 【分析】 （1）解出方程即可求解； （2）由，可得，再结合条件求出，，进而求解. 【详解】（1）由，即， 可得，解得， 即 （2）由（1）知，， 因为，所以，， 所以， 所以，解得，， 所以. 19．关于的方程 在复数范围内的根是，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先利用实系数一元二次方程的求根公式求解，再根据复数的运算判断选项. 【详解】由求根公式可知，不妨取，，（本题与的顺序无关）， ，所以，且，故BD正确； ，故A正确； 由A可知，，，所以，故C错误. 故选：ABD 20．已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若z为虚数，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2)且 【详解】（1）当且，且时，复数为纯虚数， 由，得或， 由，且得且， 所以当或时，复数为纯虚数． （2）当且时，复数为虚数， 解得且，所以当且时，复数为虚数 21．对于任意两个复数 ， ，如果满足“ ”或“ ”，那么就称 和 伴随.则当 和 伴随，则 和 伴随的充要条件是（     ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若和伴随，则或， 所以和伴随的充要条件是，即. 22．（新角度）一个九宫格如图所示，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线三个格内的复数和都相等，则表示的复数是_________. 3 【答案】 【分析】详解】设第一行另两个小格内填的复数为，，则每行、每列及对角线三个格内的复数和都等于， 于是正中间那一格为，右下方那一格为， 于是含的对角线三个小格内的复数和为，得， 解得.经检验，满足题设要求. 3 23．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 24．设且，满足，则的取值范围为________________． 【答案】 【分析】判断出对应点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设， ，则， 所以， ，所以， 即对应点在以为圆心，半径为的圆上. ，对应点为， 与关于对称， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 表示与两点间的距离， 圆与圆相交，圆心距为，如图所示， 所以的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $