精品解析：江苏省连云港高级中学2026-2027学年高一上学期第一次学情检测数学试题

2026-2027学年第一学期第一次学情检测 高一数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 中国的直辖市 B. 不大于15的质数 C. 不等式2x－3＞5的解 D. 中国著名的数学家 【答案】D 【解析】 【分析】根据构成集合中元素的确定性判断各项即可. 【详解】根据题意，选项A,B,C中对象都有确定的元素，满足集合的元素的特性，能构成集合， 选项D没有明确的对象，不满足集合的确定性，不能构成集合. 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. 不存在， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”． 3. 若，则有（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项ACD：由题意，取， 得，所以，故A错误， ，所以，故C错误， ，所以，故D错误. 对于选项B：由，所以，所以， 所以，故B正确， 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式的性质化简即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 5. 若实数满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用均值不等式即可得解. 【详解】由均值不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是2. 故选：B. 【点睛】本题考查了均值不等式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 6. 满足的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举出符合条件的集合，即可得出答案. 【详解】满足的集合有：、、. 因此，满足的集合的个数为. 故选：B. 【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 7. “”是“”的（   ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【详解】当时，可能，因此不能推出， 反之，若，则都不为0，可以推出． 综上所述，“”是“”的必要不充分条件． 8. 已知实数x满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知集合，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由集合，得， 因此ACD正确，B错误. 10. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于A：，故选项A不正确； 对于B：，故选项B不正确； 对于C：，故选项C不正确； 对于D：，故选项D正确； 故选：D. 11. 已知函数，且的解集为，则（ ） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 且 C. 若，则不等式的解集为 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解可得方程的根为2和4，且即可根据对称性求解A，根据韦达定理求解B，由一元二次不等式的性质即可求解C，利用基本不等式即可求解D. 【详解】由的解集为，可知方程的根为2和4，且 对于A,对称轴为直线，A正确； 对于B，由韦达定理得，，，则，B错误； 对于C，若，则，所以， 即恒成立，且对应二次函数开口向下， 故不等式的解集为，C正确； 对于D，若，则，所以， 因为，显然等号取不到， 所以，D正确． 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，若，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以由数轴知：实数a的取值范围是. 13. 设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【解析】 【详解】 14. 某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则此最小值为________万元． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知一年总运费为万元； 已知一年总存储费用为万元， 因此总费用之和为： ， 由基本不等式可得：，当且仅当，即时，等式成立， 故一年的总运费与总存储费用之和最小值为万元. 四、解答题：本题共6题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列各不等式： （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得：， 因式分解得：，故或. 【小问2详解】 由得：，故. 16. 已知，，，分别求，，. 【答案】；；或. 【解析】 【分析】根据交集、并集、补集的定义运算即可. 【详解】由交集的定义知，； 由并集的定义知，； 因，，所以或， 所以或. 17. （1）已知，求以及的值； （2）求值：． 【答案】（1）,;（2）. 【解析】 【分析】（1）把已知等式两边平方可得,由此求出,再把这个结果两边平方,即可求出. （2）用、对数的运算性质与负分数指数幂的运算法则逐项化简,再相加. 【详解】（1）由,两边平方得,所以. 由,两边平方得,所以. （2）由对数的性质得. 由对数运算性质得. 因为,所以. 所以原式. 18. （1）设，且，比较两代数式与的大小； （2）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较两个式子大小即可； （2）利用函数零点与方程的关系建立不等式组解出即可. 【详解】（1） ， 因为，且，所以， 则，所以. （2）设二次函数的两个不相等的零点为，且， 由题意得：，解得：， 所以实数的取值范围为． 19. 已知不等式的解集为或. （1）求实数的值； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集，建立与方程的关系，结合根与系数的关系求解即可； （2）结合（1）中的条件，利用基本不等式分析求解即可. 【小问1详解】 由不等式的解集为或， 所以，且的两根为， 所以，解得：. 【小问2详解】 由（1）知，＝ ①当时，当且仅当即时等号成立， 此时的取值范围是； ②当时，，则， 当且仅当即时等号成立，此时的取值范围是， 综上所述，的取值范围是. 20. （1）求函数（）的最小值，并求出取最小值时的x的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1）时，函数有最小值6; （2）,当且仅当且，同号时等号成立; （3）时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）将分式变形后，利用基本不等式计算即得； （2）根据“乘1”法，结合基本不等式与不等式性质即可比较； （3）令，，利用（2）的结论求得，，结合和不等式性质，即可求得的最小值. 【详解】（1）因为，所以，由基本不等式，可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，当时，函数有最小值6. （2） ， 又，当且仅当时等号成立， 所以. 所以，当且仅当且，同号时等号成立. 此时，满足； （3） 令，，则可得， 即得，即满足（2）中的，， 因为，显然， 由得，即. 所以， 当且仅当时，即时取等， 联立，解得 ，，代入，解得. 即当时，取得最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学情检测 高一数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 中国的直辖市 B. 不大于15的质数 C. 不等式2x－3＞5的解 D. 中国著名的数学家 2. 命题“，”的否定是（    ） A. ， B. 不存在， C. ， D. ， 3. 若，则有（    ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若实数满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 满足的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“”的（   ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 8. 已知实数x满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 36 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知集合，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，且的解集为，则（ ） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 且 C. 若，则不等式的解集为 D. 若，，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，若，则实数a的取值范围是____________． 13. 设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 14. 某公司一年购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则此最小值为________万元． 四、解答题：本题共6题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解下列各不等式： （1） （2） 16. 已知，，，分别求，，. 17. （1）已知，求以及的值； （2）求值：． 18. （1）设，且，比较两代数式与的大小； （2）已知二次函数的两个不相等的零点都为正数，求实数的取值范围. 19. 已知不等式的解集为或. （1）求实数的值； （2）当时，求的取值范围. 20. （1）求函数（）的最小值，并求出取最小值时的x的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $