精品解析：江苏省新海高级中学2024-2025学年高一上学期十二月份考试数学试题

2024—2025学年上学期高一十二月份考试 数学试题部分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】=分别判断出的范围,比较大小即可. 【详解】，即，，即， ，即，所以. 故选：C. 2. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由线面垂直的定义和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义判断即可得到答案. 【详解】若，且，则，， 由于向量所在的直线不一定相交，非零向量所在的直线为， 所以不一定能得到； 若，非零向量所在的直线为，向量是平面内两个不相等的非零向量， 则，，可得，. 综上所述，“，且”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出原函数的单调性，然后结合零点存在定理进行判断. 【详解】显然都是上的单调递增函数， 于是在上递增， 显然在上是连续函数，注意到单调函数至多只有一个零点， 又，，即， 根据零点存在定理，零点所在的区间是， 结合单调函数零点的唯一性，排除ABD. 故选：C. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，判断其奇偶性以及单调性，将化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】设，， ， ，即， 设 ， 由于，故， 故， 则，故为奇函数，且在R上单调递增， 则， 即， 故，解得． 故选：D. 5. 若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的幂函数图象可得，再变形函数并由函数值的特性得解. 【详解】由幂函数图象可得， 函数定义域为， 而，则恒成立，BCD错误，A正确. 故选：A 6. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得到两个等式，两个等式相除求出的值，再根据两个等式相除可求得结果. 【详解】由题可得，两式相除可得， 则，， ∵，解得， 设天后金针菇失去的新鲜度为， 则，又， ∴，，，， 则， 故选：B. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质把自变量变成大于的数，再利用中间值法比较自变量的大小即可得出答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 又因为在上单调递增，且，，， 所以，所以. 故选：D 8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. 函数在上单调递减 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【详解】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共I8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A. B. C. 是减函数 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断B，结合单调性结合特例判断C，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 令可得，解得，故A正确； 令可得，解得， 因为函数的定义域为， 令可得，所以， 因此，函数为奇函数，故B正确； 是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故C错误； 由C可知是上的增函数，当时，，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 方程至多有三个根 D. 函数有最大值为，无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义写出函数解析式，并画出函数图象，观察图象即可得出正确选项. 【详解】由题意可得，， 作出函数图象，如图所示： 由图象可知，为偶函数，故A正确； 方程有两个解，故B正确； 当时，直线与的图象有4个交点，即此时有4个根，故C错误； 由图可知，的最大值为，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求定义域再根据定义判断函数奇偶性判断A,B,应用复合函数单调性判断C,应用函数单调性及范围得出函数值域判断D. 【详解】对于函数，令，解得或， 即函数的定义域为， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确，B不正确； 又由， 因为在上单调递减，且在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，所以C正确； 当时，所以，即； 当时，所以，即， 所以的值域为，故D正确． 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】考虑的对称轴与1比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，对称轴为， 当，即时，此时存在，使得，满足题意； 当，即时，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 要想存在，且，使得， 则，解得：， 与取交集得：. 综上：的取值范圃为. 故答案为：. 13. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上是减函数， ，即， 所以，所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故答案为： 14. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程根的分布，求出的取值范围. 【详解】因为函数为“半缩函数”， 所以存在，使得在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以有两个不等的实数根， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根， 可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用指数运算与对数运算的法则计算；（2）利用诱导公式化简，再根据三角函数的基本关系求解计算； 【详解】解：（1）原式； （2），， . 16. 已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）解方程. 【答案】（1）偶函数，证明：因为且定义域为R，所以是偶函数. （2） 【解析】 【分析】(1)根据奇偶性的定义即可证明； (2)讨论的符号，列出方程组即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得， 解之可得或(舍)， 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得（舍）， 综上，的解为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式. （2）利用单调性定义证明在上单调递增，再利用单调性及奇偶性脱去法则，转化为恒成立求解. 【小问1详解】 任取，则，， 当时，，而符合上式， 所以函数在上的解析式. 【小问2详解】 任取且， ， 由，得，，，， 则，即，因此在上单调递增， 而是奇函数，原不等式化为， 于是，即，依题意，对，恒成立， 而，当且仅当时取等号，从而， 所以实数的取值范围为. 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数． （1）求的解析式； （2）已知时，．若正实数满足，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）结合图象，分类讨论求函数的解析式； （2）由（1）结论，结合基本不等式求最小值． 【小问1详解】 当时，， 当时，； 当时，； 综上所述 【小问2详解】 由（1）知，当时，，或-1（舍去）； 当时，，或3（舍去）； 所以． ， 都是正实数，， 当且仅当，即，时，等号成立， 取最小值，的最小值为． 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由函数的定义域为，根据偶函数的定义即可求解； （2）将函数变形，令，，由基本不等式结合对数函数的单调性即可求解； （3）令，构造新函数，，根据二次函数的性质分情况讨论即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 因为函数为偶函数，所以， 所以，得； 【小问2详解】 ， 设， 所以，， 因为，所以，所以， 当且仅当，，即，时，等号成立， 所以函数的值域为； 【小问3详解】 ，，， 令，所以设，，函数的对称轴， 当，即时，在上单调递增， ，所以，得，成立， 当时，即时，在上单调递减， ，所以，得，舍去， 当时，即，函数的最小值为， 所以，得，舍去， 综上可知，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期高一十二月份考试 数学试题部分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量是平面内两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则“，且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（ ）（结果保留一位小数，） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A. B. 为函数图象的一条对称轴 C. 函数在上单调递减 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共I8分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A. B. C. 是减函数 D. 当时， 10. 对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有两个解 C. 方程至多有三个根 D. 函数有最大值为，无最小值 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上单调递减 D. 的值域为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是______. 13. 已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为________． 14. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是__________ 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： （2）若，求的值. 16. 已知函数 （1）判断的奇偶性并证明； （2）解方程. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，是边长为2的正三角形，记位于直线右侧的图形的面积为函数． （1）求的解析式； （2）已知时，．若正实数满足，求的最小值． 19. 已知函数为偶函数. （1）求实数的值； （2）求函数的值域； （3）若函数，那么是否存在实数，使得的最小值为1，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $